投影的基本知识教程.ppt

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1、2 投影的基本知识p 2.1 投影的形成和分类p 2.2 工程中常用的几种投影图p 2.3 正投影的特性与基本原理p 2.4 点、直线、平面的投影2.1 投影的形成和分类 2.1.1 投影的形成 2.1.2 投影的分类投影三要素投影三要素投射线投射线形体形体投影面投影面2.1.1 投影的形成投影法投影法中心投影法中心投影法平行投影法平行投影法斜投影法斜投影法正投影法正投影法2.1.2 投影的分类中心投影中心投影u中心投影法中心投影法 投射线汇交于一点的投影法。投射线汇交于一点的投影法。PS2.1.2 投影的分类斜投影斜投影P斜投影法斜投影法 投影方向倾斜于投影面。投影方向倾斜于投影面。S2.1

2、.2 投影的分类正投影正投影P正投影法正投影法 投影方向垂直于投影面。投影方向垂直于投影面。S2.1.2 投影的分类2.2 工程中常用的几种投影图2.2 工程中常用的几种投影图u多面正投影图多面正投影图2.2 工程中常用的几种投影图u轴测投影图轴测投影图2.2 工程中常用的几种投影图u建筑效果图建筑效果图2.2 工程中常用的几种投影图u标高投影图标高投影图2.3 正投影的特性与基本原理 2.3.1 正投影的特性 2.3.2 正投影图的原理2.3.1 正投影的特性当直线平行于投影面时，其投影反映实长；当直线平行于投影面时，其投影反映实长；当平面平行于投影面时，其投影反映实形。当平面平行于投影面时

3、，其投影反映实形。BAabecCDEdP真实性真实性a(b)BA当直线垂直于投影方向时，其投影积聚为一点。当直线垂直于投影方向时，其投影积聚为一点。当平面垂直于投影方向时，其投影积聚为一直线。当平面垂直于投影方向时，其投影积聚为一直线。PecCDEd2.3.1 正投影的特性积聚性积聚性点的投影仍然是点。点的投影仍然是点。直线的投影一般还是直线。直线的投影一般还是直线。平面图形的投影一般是原图形的类似形。平面图形的投影一般是原图形的类似形。SPA1AaA22.3.1 正投影的特性类似性类似性PABabCDcd若空间两直线互相平行，则其同面投影也互相平行。若空间两直线互相平行，则其同面投影也互相平

4、行。2.3.1 正投影的特性平行性平行性WHVXOY投影轴投影轴 X、Y、Z 原原 点点 OZ2.3.2 正投影图的原理三面投影体系的建立三面投影体系的建立三投影面三投影面 H、V、W H 水平面水平面 V 正立面正立面 W 侧立面侧立面2.3.2 正投影图的原理三面投影体系的建立三面投影体系的建立水平投影：从上向下投影水平投影：从上向下投影正面投影：从前向后投影正面投影：从前向后投影侧面投影：从左向右投影侧面投影：从左向右投影可见轮廓线：可见轮廓线：实线实线不可见轮廓线：不可见轮廓线：虚线虚线VWHXZYO虚线虚线移去物体移去物体 uV V面不动面不动H H面连同水平投影绕面连同水平投影绕X

5、 X轴向下旋转轴向下旋转W W面连同侧面投影绕面连同侧面投影绕Z Z轴向右旋转轴向右旋转VWHXZYOXZYWOHVWYHHW2.3.2 正投影图的原理三面投影图的展开三面投影图的展开VWHXZYWYHOu正面投影：正面投影：左上方左上方水平投影：正面投影的正下方水平投影：正面投影的正下方侧面投影：正面投影的正右方侧面投影：正面投影的正右方2.3.2 正投影图的原理三面投影图的展开三面投影图的展开VWHXZYWYHO投影面边框一般不画投影面边框一般不画2.3.2 正投影图的原理三面投影图的展开三面投影图的展开VWHXZYWYHO投影轴线也可不画投影轴线也可不画2.3.2 正投影图的原理三面投影

6、图的展开三面投影图的展开X X轴向尺寸（左右）轴向尺寸（左右）长度长度Y Y轴向尺寸（前后）轴向尺寸（前后）宽度宽度Z Z轴向尺寸（上下）轴向尺寸（上下）高度高度正面投影：反映长度和高度正面投影：反映长度和高度水平投影：反映长度和宽度水平投影：反映长度和宽度侧面投影：反映高度和宽度侧面投影：反映高度和宽度VWHXZYO度量对应关系度量对应关系2.3.2 正投影图的原理三面投影图的投影规律三面投影图的投影规律长长宽宽宽宽高高正面投影：反映长度和高度正面投影：反映长度和高度水平投影：反映长度和宽度水平投影：反映长度和宽度侧面投影：反映高度和宽度侧面投影：反映高度和宽度度量对应关系度量对应关系2.3

7、.2 正投影图的原理三面投影图的投影规律三面投影图的投影规律长长宽宽宽宽高高度量对应关系度量对应关系u 长长 对对 正正u 高高 平平 齐齐u 宽宽 相相 等等2.3.2 正投影图的原理三面投影图的投影规律三面投影图的投影规律2.4 点、直线、平面的投影 2.4.1 点的投影 2.4.2 直线的投影 2.4.3 平面的投影 2.4.4 直线与平面、平面与平面的相对位置2.4.1 点的投影 2.4.1.1 点的三面投影及其特性.2 两点的相对位置2.4.1.1 点的三面投影及其特性VWHXZYOAa aa aXaYaZ 空间点空间点AH面投影面投影aV面投影面投影a W面投影面投影a 点的三面投

8、影点的三面投影XZYWOYHHWVa HaWa 移去空间点移去空间点 uV V面不动面不动H H面连同水平投影绕面连同水平投影绕X X轴向下旋转轴向下旋转W W面连同侧面投影绕面连同侧面投影绕Z Z轴向右旋转轴向右旋转VWHXZYOAa aa axayaz2.4.1.1 点的三面投影及其特性点的三面投影点的三面投影VWHXZYOAa aa aXaYaZVWHXZYWYHOa aa aXaZaYHaYW点的投影连线垂直于相应的投影轴点的投影连线垂直于相应的投影轴点的点的H面投影与面投影与V面投影的连线垂直于面投影的连线垂直于OX轴轴a a OX 点的点的V面投影与面投影与W面投影的连线垂直于面投

9、影的连线垂直于OZ轴轴a a OZ2.4.1.1 点的三面投影及其特性点的三面投影的特性点的三面投影的特性VWHXZYOAa aa aXaYaZXZYWYHOa aa aXaZaYHaYW某一投影到投影轴的距离等于该点到相应投影面的距离某一投影到投影轴的距离等于该点到相应投影面的距离a aZ=a aYH=Aa,点到点到W面的距离面的距离aaX =a aZ =Aa ,点到点到V面的距离面的距离a aX=a aYW=Aa,点到点到H面的距离面的距离2.4.1.1 点的三面投影及其特性点的三面投影的特性点的三面投影的特性【例例2-1】已知已知A点的点的H面投影面投影a和和V面投影面投影a，求，求A点

10、的点的W面投影面投影a。XZYWYHOa aa 2.4.1.2 两点的相对位置点的坐标点的坐标XZYWYHOa aa axayazVWHZYOAa aa axayazX45ayyAxAzAxyzH H面投影反映面投影反映x、y坐标，即坐标，即 a（x，y）V V面投影反映面投影反映x、z坐标，即坐标，即 a（x，z）W W面投影反映面投影反映y、z坐标，即坐标，即 a （y，z）zAxAyAxAzAyAYWbXZbbOYHZXYOWVaBHAaabbbCcccaaaccc投影面上的点投影面上的点 在该投影面上的投影与空间点自身重合，在该投影面上的投影与空间点自身重合，另外两个面上投影在相应的坐

11、标轴上。另外两个面上投影在相应的坐标轴上。2.4.1.2 两点的相对位置点的一个坐标为点的一个坐标为0 0YXHVWOfeddDeEfFdefZ投影轴上的点投影轴上的点 在与该投影轴相关的两个投影面上的投影与空间点自身重合，在与该投影轴相关的两个投影面上的投影与空间点自身重合，另一投影面上的投影与坐标原点重合。另一投影面上的投影与坐标原点重合。dddXOZYHYWfffeee2.4.1.2 两点的相对位置点的两个坐标为点的两个坐标为0 0a aa 20axazay1510XZYWYHO【例例2-2】已知点已知点A(20,10,15)，求点，求点A的三面投影图。的三面投影图。AOVWHZYXB

12、根据两点的坐标差，可以确定两点的相对位置根据两点的坐标差，可以确定两点的相对位置两点的左右关系，两点的左右关系，X X坐标大在左，小的在右；坐标大在左，小的在右；两点的前后关系，两点的前后关系，Y Y坐标大在前，小的在后；坐标大在前，小的在后；两点的上下关系，两点的上下关系，Z Z坐标大在上，小的在下。坐标大在上，小的在下。bb b a aa YWXZYHOa aa bb b 2.4.1.2 两点的相对位置两点的相对位置两点的相对位置【例例2-3】已知已知A点在点在B点的右方点的右方10、前方、前方6、上方、上方8，求，求A点的投影。点的投影。8106YWXZYHOa aa bb b b()当

13、空间两点位于同一条投射线上时，则该两点在对应的投当空间两点位于同一条投射线上时，则该两点在对应的投影面上的投影重合为一点，这两点称为对此投影面的影面上的投影重合为一点，这两点称为对此投影面的重影点重影点。OVWHZYXBb b Aa a a2.4.1.2 两点的相对位置重影点及其可见性重影点及其可见性b()OVWHZYXBb b Aa a aYWXZYHOa aa b b b()不可见的投影字母加括号（不可见的投影字母加括号（）表示）表示 判断的基本原则判断的基本原则看第三坐标，大者可见看第三坐标，大者可见2.4.1.2 两点的相对位置重影点及其可见性重影点及其可见性Xb(c )OVWHZYX

14、BCb c cb YWZYHOb b c cb(c )前遮后前遮后上遮下上遮下左遮右左遮右2.4.1.2 两点的相对位置重影点及其可见性重影点及其可见性2.4.2 直线的投影 2.4.2.1 投影面垂直线.2 投影面平行线.3 一般位置直线.4 直线上的点.5 两直线的相对位置2.4.2.1 投影面垂直线u 铅垂线铅垂线H，/V、Wu 正垂线正垂线V，/H、W u 侧垂线侧垂线W，/H、V 垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面垂直于一个投影面，平行于另外两个投影面 铅垂线铅垂线TLTLa(b)OYWXZYHa a b b a(b)b OVWHZYXBAb a a a(b)投影特性投影特性 H

15、 H 积聚为一点积聚为一点V V、W W 反映实长，反映实长，/OZOZ倾角倾角9090002.4.2.1 投影面垂直线正垂线正垂线d OVWHZYXDCc(d)c dcTLTLOYWXZYHc d cdc(d)投影特性投影特性 V V 积聚为一点积聚为一点H H、W W 反反 映映 实实 长长，/OYOY倾角倾角9090002.4.2.1 投影面垂直线侧垂线侧垂线OVWHZYXFEe e(f)fef TLTLOYWXZYHefe f e(f)投影特性投影特性 W W 积聚为一点积聚为一点V V、H H 反反 映映 实实 长长，/OXOX倾角倾角9090002.4.2.1 投影面垂直线侧垂线侧

16、垂线OVWHZYXFEe e(f)fef TLTLOYWXZYHefe f e(f)投影面垂直线的投影特性：投影面垂直线的投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚为一点在所垂直的投影面上的投影积聚为一点在另外两个投影面上的投影平行于相关的在另外两个投影面上的投影平行于相关的投影轴，并反映直线实长投影轴，并反映直线实长TLTL2.4.2.1 投影面垂直线u 水平线水平线/H，V、Wu 正平线正平线/V，H、W u 侧平线侧平线/W，H、V 平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面平行于一个投影面，倾斜于另外两个投影面 2.4.2.2 投影面平行线水平线水平线 TL OVWHZYXBAb b ba a

17、a OYWXZYHa aa bb b 投影特性投影特性 H H 反映实长反映实长,反映反映、倾角倾角V V、W W 长度小于实长长度小于实长,OZOZ2.4.2.2 投影面平行线正平线正平线OVWHZYXc c cd dd 投影特性投影特性 V V 反映实长反映实长,反映反映、倾角倾角H H、W W 长度小于实长长度小于实长,OYOYOYWXZYHd dd cc c TL2.4.2.2 投影面平行线侧平线侧平线OVWHZYXFEf f e OYWXZYHe ee ff f TL 投影特性投影特性 W W 反映实长反映实长,反映反映、倾角倾角V V、H H 长度小于实长长度小于实长,OXOX2.

18、4.2.2 投影面平行线投影面平行线的投影特性：投影面平行线的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实长，在所平行的投影面上的投影反映实长，反映直线与另两个相关的投影面的倾角反映直线与另两个相关的投影面的倾角另外两个投影垂直于相关的投影轴，投另外两个投影垂直于相关的投影轴，投影长度小于实长影长度小于实长侧平线侧平线OVWHZYXFEf f e OYWXZYHe ee ff f TL 2.4.2.2 投影面平行线与三个投影面均倾斜与三个投影面均倾斜OYWXZYHa aa bb b OVWHZYXBAb b ba aa 2.4.2.3 一般位置直线OYWXZYHb bb aa a OVWHZYXA

19、Ba a ab bb 投影特性：投影特性：三个投影均倾斜于投影轴三个投影均倾斜于投影轴投影长度小于实长投影长度小于实长2.4.2.3 一般位置直线bab a ZZTLZBAbab a A1TLOVHZYXOX直角三角形法求实长和直角三角形法求实长和2.4.2.3 一般位置直线直角三角形法求实长和直角三角形法求实长和BAbaa B1YTLOVHZYXb bab a YYTLOX2.4.2.3 一般位置直线OVHXaABa b bZYKk kk W从属性从属性 若点在直线上，若点在直线上，则点的投影必在该直则点的投影必在该直线的同面投影上。线的同面投影上。YWOXZYHb bb aa a a b

20、k kk 定比性定比性 若点将直线分为两段，则两段的实长若点将直线分为两段，则两段的实长之比等于其投影长度之比。之比等于其投影长度之比。AK:KB=ak:kb=a k :k b =a k :k b 2.4.2.4 直线上的点【例例2-4】已知已知AB上一点上一点C的的H面投影面投影c，求求V面投影面投影c。b a abc cOXb1c1定比性定比性【例例2-5】判断点判断点K是否在侧平线是否在侧平线AB上。上。b a a b ab从属性从属性k kk OXYWZYHb a ab定比性定比性k kOXb1k1【例例2-5】判断点判断点K是否在侧平线是否在侧平线AB上。上。WacZVCaOAdDb

21、cdbYcbBdaHXZcdbadbccdabXYWaOYH投影特性投影特性两直线的同面投影相互平行；两直线的同面投影相互平行；两直线的长度之比和同面的投影长度之比相等。两直线的长度之比和同面的投影长度之比相等。2.4.2.5 两直线的相对位置两直线平行两直线平行WacZVCaOAdDbcdbYcbBdaHXZcdbadbccdabXYWaOYH已知已知AB/CD，则则ab/cd,a b /c d ,a b /c d AB:CD=ab:cd=a b :c d =a b :c d 2.4.2.5 两直线的相对位置两直线平行两直线平行判断两直线是否平行判断两直线是否平行对于两一般位置直线，若有两个

22、同面投影均互相平行，对于两一般位置直线，若有两个同面投影均互相平行，则空间两直线平行；则空间两直线平行；对于平行于同一投影面的两直线，若两个同面投影均互对于平行于同一投影面的两直线，若两个同面投影均互相平行，并且其中一投影反映直线实长，则两直线平行。相平行，并且其中一投影反映直线实长，则两直线平行。b a abdc d cXObcb da c a OXd 2.4.2.5 两直线的相对位置两直线平行两直线平行b a c d abd c dca b 【例例2-6】（a）已知两侧平线）已知两侧平线AB和和CD,判断判断AB和和CD是否平行是否平行。【解一解一】作出第三投影作出第三投影【解二解二】字母

23、顺序一样字母顺序一样,投影长度成比例投影长度成比例ZXYWOYHf e g h efh g ghe f 【例例2-6】（b）已知两侧平线）已知两侧平线EF和和GH,判断判断EF和和GH是否平行是否平行。ZXYWOYH【解一解一】作出第三投影作出第三投影【解二解二】EF和和GH的的V、H投投影字母顺序不一样，影字母顺序不一样，EF和和GH的指向不一的指向不一致致空间两直线相交空间两直线相交 三个同面投影均相交，三个同面投影均相交，并且交点符合点的投影特性。并且交点符合点的投影特性。XdbcacbadabdckkkYWYHOZVHAZYBDCdacbWcdbadcabkkkKOX2.4.2.5 两

24、直线的相对位置两直线相交两直线相交c d d c dcb a baa b k kk ZXYWOYH【例例2-7】已知两直线已知两直线AB和和CD,判断判断AB和和CD是否相交是否相交。【解一解一】作出第三投影作出第三投影【解二解二】a k:k b ak:kb两直线既不平行又不相交，称为交叉二直线两直线既不平行又不相交，称为交叉二直线VHDBCAdd cc a abb OXYZb a bacdc d XO2.4.2.5 两直线的相对位置两直线交叉两直线交叉n 可能存在一个或两个同面投影相互平行，但可能存在一个或两个同面投影相互平行，但不存在三个同面投影都平行。不存在三个同面投影都平行。和平行的区

25、别和平行的区别n 可能有一个、两个或三个同面投影相交，但可能有一个、两个或三个同面投影相交，但交点不符合点的投影特性。交点不符合点的投影特性。和相交的区别和相交的区别两直线交叉的投影特性：2.4.2.5 两直线的相对位置两直线交叉两直线交叉VH3 4()DBCAdd cc a abb 1 2341 2()d c dcaba b 3 4 341 2 1 2()()OXYZ判断重影点的可见性判断重影点的可见性2.4.2.5 两直线的相对位置直角投影定理：直角投影定理：若空间两直线若空间两直线垂直，且有一条垂直，且有一条平行于平行于某某一投影面，一投影面，那么在那么在该该投影面上的投影仍然反映直角。

26、投影面上的投影仍然反映直角。AB BC AB Bb AB 平面平面 BbcC有有 AB bc又又 AB ab故故 ab bcHACBacb2.4.2.5 两直线的相对位置两直线垂直两直线垂直直角投影定理的逆定理：直角投影定理的逆定理：若相交两直线的同面投影反映直角，且有一条直线平若相交两直线的同面投影反映直角，且有一条直线平行于行于该该投影面，则两直线必垂直。投影面，则两直线必垂直。HACBacb cO a b c a b X2.4.2.5 两直线的相对位置两直线垂直两直线垂直【例例2-8】已知直线已知直线AB和点和点C的两面投影的两面投影,求求C点到点到AB的距离。的距离。XOaabbccd

27、d距离距离【例例2-9】求交叉直线求交叉直线AB和和CD的距离的距离MN实长及其投影。实长及其投影。XOababccddnnmm距离距离2.4.3 平面的投影 2.4.3.1 平面的表示方法.2 各种位置平面的投影特性.3 平面上的点和直线2.4.3.1 平面的表示方法用几何元素表示平面有五种形式：用几何元素表示平面有五种形式：不在一直线上的三个点；不在一直线上的三个点；一直线和直线外一点；一直线和直线外一点；相交两直线；相交两直线；平行两直线；平行两直线；任意平面图形。任意平面图形。cab ba c a b bc aca b bc acb ba c ac几何元素表示法a b c abcd d

28、迹线表示法迹线：迹线：平面和投影面的交线。平面和投影面的交线。VWHZYOXPPWPHPVXZYWYHOPWPVPH2.4.3.1 平面的表示方法迹线：迹线：平面和投影面的交线。平面和投影面的交线。VWHZYOXQWQHQVXZYWYHOQQVQWQH迹线表示法2.4.3.1 平面的表示方法2.4.3.2 各种位置平面的投影特性u 水平面水平面/H，V、Wu 正平线正平线/V，H、W u 侧平线侧平线/W，H、V 平行于某一投影面，并与另两个投影面垂直平行于某一投影面，并与另两个投影面垂直 投影面平行面2.4.3.2 各种位置平面的投影特性投影特性投影特性 H 反映实形反映实形V、W 积聚成一

29、直线，积聚成一直线，OZ倾角倾角009090水平面VWHZYOXp p pPXZYWYHOp p p（TS）2.4.3.2 各种位置平面的投影特性投影特性投影特性 V 反映实形反映实形H、W 积聚成一直线，积聚成一直线，OY倾角倾角090VWHZYOXqQq q XZYWYHOqq q （TS）正平面2.4.3.2 各种位置平面的投影特性投影特性投影特性 W 反映实形反映实形H、V 积聚成一直线，积聚成一直线，OX倾角倾角090VWHZYOXrr XZYWYHOrr r（TS）r R侧平面2.4.3.2 各种位置平面的投影特性VWHZYOXrr XZYWYHOrr r（TS）r R投影面平行面

30、的投影特性：投影面平行面的投影特性：在所平行的投影面上的投影反映实形在所平行的投影面上的投影反映实形在另外两个投影面上积聚成直线，且垂在另外两个投影面上积聚成直线，且垂直于相关的投影轴直于相关的投影轴侧平面2.4.3.2 各种位置平面的投影特性u 铅垂面铅垂面H，V、Wu 正垂线正垂线V，H、W u 侧垂线侧垂线W，H、V 垂直于某一投影面，并倾斜于另外两个投影面垂直于某一投影面，并倾斜于另外两个投影面投影面垂直面2.4.3.2 各种位置平面的投影特性p p 投影特性投影特性 H积聚成一直线，积聚成一直线，反映反映、倾角倾角V、W反映类似形反映类似形VWHZYOX XZYWYHOpp c p

31、PpP铅垂面2.4.3.2 各种位置平面的投影特性投影特性投影特性 V积聚成一直线，积聚成一直线，反映反映、倾角倾角H、W反映类似形反映类似形 VWHZYX q XZYWYHOqq q OQqq 正垂面2.4.3.2 各种位置平面的投影特性rr 投影特性投影特性 W积聚成一直线，积聚成一直线，反映反映、倾角倾角H、V反映类似形反映类似形VWHZYOXRXZYWYHOrr r r 侧垂面2.4.3.2 各种位置平面的投影特性rr VWHZYOXRXZYWYHOrr r r 投影面垂直面的投影特性：投影面垂直面的投影特性：在所垂直的投影面上的投影积聚成直线，该直线在所垂直的投影面上的投影积聚成直线

32、，该直线与投影轴的夹角反映平面与相关的投影面的倾角与投影轴的夹角反映平面与相关的投影面的倾角在另两个投影面上的投影是类似图形在另两个投影面上的投影是类似图形侧垂面2.4.3.2 各种位置平面的投影特性一般位置平面VWHZYOX一般位置平面一般位置平面 对三个投影面都倾斜的平面对三个投影面都倾斜的平面b a aca c b bc XZYWYHObb b aca c a c ABC2.4.3.2 各种位置平面的投影特性VWHZYOXb a aca c b bc XZYWYHObb b aca c a c ABC一般位置平面的投影特性：一般位置平面的投影特性：三个投影均与平面是类似图形，且面积小于实

33、形面积三个投影均与平面是类似图形，且面积小于实形面积不反映平面对投影面的倾角不反映平面对投影面的倾角一般位置平面2.4.3.2 各种位置平面的投影特性平面内的点平面内的点点在平面内的某一条直线上点在平面内的某一条直线上平面内的直线平面内的直线u通过平面内两个点通过平面内两个点u过平面内一点，且平行于平面内的某一条直线过平面内一点，且平行于平面内的某一条直线AbcHaCBMNmnAbcHaCBMmEe存在条件存在条件2.4.3.3 平面上的点和直线【例例2-10】已知平面已知平面ABC的两面投影及直线的两面投影及直线EF的水平投影的水平投影ef。直线直线EF在平面在平面ABC上，求作上，求作EF

34、的的V面投影。面投影。efabc1a b c e f 1【例例2-11】已知平面图形已知平面图形ABCDEFG的的V面投影及直线面投影及直线AB和和CD的水的水平投影。试完成其平投影。试完成其H面投影。面投影。XOca b ac bd de f efg g2.4.4 直线与平面、平面与平面的相对位置 2.4.4.1 平行问题.2 相交问题.3 垂直问题2.4.4.1 平行问题直线和平面平行 若平面外一直线平行于平面内任一直线，若平面外一直线平行于平面内任一直线，则该直线和平面互相平行。则该直线和平面互相平行。PCDAB【例例2-12】已知已知ABC和和M点，作过点，作过M点的水平线点的水平线M

35、N/ABC。n nm mabcda b c d XO【例例2-13】判断直线判断直线MN与平面与平面ABCD是否平行。是否平行。efefOnmXmadbccdabnObbXappa 当平面的某一投当平面的某一投影具有积聚性时，则影具有积聚性时，则该投影可反映平面和该投影可反映平面和直线的平行关系。直线的平行关系。2.4.4.1 平行问题直线和平面平行 若两平面内分别有一对若两平面内分别有一对相交相交直线直线对应对应平行，平行，则两平面互相平行。则两平面互相平行。BCAPQEDF2.4.4.1 平行问题平面和平面平行【例例2-14】已知已知ABC和和M点点，过过M点作平面平行于点作平面平行于AB

36、C。abca b c mm e ef fXO【例例2-15】判断判断ABC和平面和平面DEFG是否平行。是否平行。XOcbaabcdgffedemnnmgpqqpXO 当两平面均垂直当两平面均垂直于某投影面时，它们于某投影面时，它们有积聚性的投影可直有积聚性的投影可直接反映平行关系。接反映平行关系。2.4.4.1 平行问题平面和平面平行PABKABCMN交交 点点 直线和平面的直线和平面的共有点共有点交交 线线 两平面的两平面的共有线共有线（两个共有点）（两个共有点）P直线和平面相交直线和平面相交平面和平面相交平面和平面相交2.4.4.2 相交问题一般位置直线和特殊位置平面相交 若平面处于特殊

37、位置，其某若平面处于特殊位置，其某一投影具有积聚性，则直线与平一投影具有积聚性，则直线与平面的交点可利用直线与平面的积面的交点可利用直线与平面的积聚性投影相交而直接求得。聚性投影相交而直接求得。ABKPHabk2.4.4.2 相交问题abpa b p kk【例例2-16】一般位置直线一般位置直线AB与铅垂面与铅垂面P相交，求作交点相交，求作交点K。直观判别法可见性判别可见性判别OX投影面垂直线和一般位置平面相交 直线与平面相交，当直线直线与平面相交，当直线的投影有积聚性时，交点的一的投影有积聚性时，交点的一个投影已知，另一投影用个投影已知，另一投影用面上面上取点取点的方法求出。的方法求出。Kk

38、dm(n)bABHaCcDMN2.4.4.2 相交问题m(n)bacdm a b c n d kk 121 2()ee【例例2-17】铅垂线铅垂线MN与平面与平面ABCD相交，求作交点相交，求作交点K。可见性判别可见性判别重影点判别法XO两特殊位置平面相交 两平面相交，且均垂直于某一投影面，其交线必垂直于两平面相交，且均垂直于某一投影面，其交线必垂直于该投影面。则两平面的交线可利用平面的积聚性投影求得。该投影面。则两平面的交线可利用平面的积聚性投影求得。2.4.4.2 相交问题【例例2-18】铅垂面铅垂面P和和Q相交，求作交线相交，求作交线KL，并判别可见性。，并判别可见性。OXpp qq k

39、lk l 一般位置平面与特殊位置平面相交bABPHaCcMNmn 两平面的交线可利用特殊两平面的交线可利用特殊位置平面的积聚性投影求得。位置平面的积聚性投影求得。2.4.4.2 相交问题【例例2-19】求一般位置平面求一般位置平面ABC与与铅垂面铅垂面Q的交线的交线KL。abqa b q c cklk l OX一般位置直线和一般位置平面相交HMNPACBEFK辅助平面法辅助平面法包含一般位置直线作一辅助平面，包含一般位置直线作一辅助平面，通常作投影面的垂直面通常作投影面的垂直面作辅助平面和一般位置平面的交线作辅助平面和一般位置平面的交线求作此交线和一般位置直线的交点求作此交线和一般位置直线的交

40、点2.4.4.2 相交问题k【例例2-20】一般位置直线一般位置直线MN和一般位置平面和一般位置平面ABC相交，相交，求交点求交点K，并判别可见性。，并判别可见性。12eff e nmHMNPABCEFKcam n c a b bPHk 1 2()3 3 4()4 OX两一般位置平面相交可采用直线与平面求交点的方法求得。可采用直线与平面求交点的方法求得。2.4.4.2 相交问题直线与平面垂直直线与平面垂直的几何条件：直线与平面垂直的几何条件：若直线垂直于平面内的两相交直线，则该直线与平面垂直。若直线垂直于平面内的两相交直线，则该直线与平面垂直。若直线与平面垂直，则该直线垂直于平面内的所有直线。

41、若直线与平面垂直，则该直线垂直于平面内的所有直线。PABCDKLEFMN2.4.4.3 垂直问题HaXVaOcbacbmmMNnnABCcmnbmancb直线与平面垂直的投影特性：直线与平面垂直的投影特性：直线的直线的H面投影与平面内水平线的面投影与平面内水平线的H面投影面投影垂直；垂直；直线的直线的V面投影与平面内正平线的面投影与平面内正平线的V面投影垂直；面投影垂直；直线的直线的W面投影与平面内侧平线的面投影与平面内侧平线的W面投影垂直；面投影垂直；X直线与平面垂直2.4.4.3 垂直问题【例例2-21】已知已知ABCD为矩形，试完成其投影。为矩形，试完成其投影。XOca b c bd d1 2 12【例例2-22】求点求点M到直线到直线AB的距离。的距离。Xa b abm mk k2 1 21距离距离平面与平面垂直平面与平面垂直的几何条件：平面与平面垂直的几何条件：若直线若直线垂直于平面垂直于平面，则包含此直线的所有则包含此直线的所有平面和该平面垂直。平面和该平面垂直。若两平面互相垂直，过其中一平面内任一点作另一平面的垂线，若两平面互相垂直，过其中一平面内任一点作另一平面的垂线，则垂线必在该平面内。则垂线必在该平面内。MNQPRPQMN2.4.4.3 垂直问题【例例2-23】过过MN求作一平面垂直于求作一平面垂直于ABC。acc a bb m n nmll OX