教学课件第二节罗尔中值定理及其应用.ppt

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1、定理定理3.2(罗尔定理罗尔定理)(1)在闭区间在闭区间a,b上连续上连续;(2)在开区间在开区间(a,b)内可导内可导;(3)使得使得3.2 罗尔中值定理及其应用罗尔中值定理及其应用证证若函数若函数 f(x)满足满足:必有最大值必有最大值M和最小值和最小值m.由由费尔马引理费尔马引理 推论推论3.2 可微函数可微函数 的任意两个零点之间至少的任意两个零点之间至少 有有 的一个零点的一个零点例例1 证明证明 是是方程方程 的唯一实根的唯一实根.证证矛盾矛盾.由由罗尔定理罗尔定理,原命题得证原命题得证.使得使得例例2 设常数设常数 满足满足:试证方程试证方程分析：分析：注意到注意到在在(0,1)

2、内存在一个实根内存在一个实根.证证 设设且且 由由罗尔定理罗尔定理即即在在(0,1)内可导内可导,在在0,1上二阶可导上二阶可导,且且则在则在 内至少存在一点内至少存在一点例例3 若若证证使得使得使得使得上使用上使用罗尔定理罗尔定理,使得使得使用使用罗尔定理罗尔定理,两种常用的构造辅助函数的方法：两种常用的构造辅助函数的方法：1.常数常数k 法法基本思路是令待证等式中的常数为基本思路是令待证等式中的常数为k，通过通过恒等变形将含有的式子写成恒等变形将含有的式子写成 的形式，的形式，然后用罗尔定理然后用罗尔定理则则 就是需要的辅助函数就是需要的辅助函数,进行证明进行证明.例例4 设设分析分析证证令令罗尔定理罗尔定理,整理得整理得使得使得故故即即2.因子法因子法如果待证等式为如果待证等式为 如果如果作辅助函数作辅助函数且且只要只要因此因此,另一因子另一因子 可通过可通过确定确定.(f(x)是一个因子是一个因子)则则问题转化为证问题转化为证证证 设辅助函数设辅助函数在在0,1上用上用罗尔定理罗尔定理,使得使得即有即有例例5 设设分析分析: