数学物理方法2复变函数的积分.ppt

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1、1学习要求与内容提要目的与要求目的与要求：掌握复变函数积分的概念、基本性掌握复变函数积分的概念、基本性质及运算；柯西定理、不定积分、柯西公式。质及运算；柯西定理、不定积分、柯西公式。重点：重点：难点：难点：1.1.复积分的基本定理；复积分的基本定理；2.2.柯西积分公式与高阶导数公式。柯西积分公式与高阶导数公式。复合闭路定理与复积分的计算。复合闭路定理与复积分的计算。2（一）积分的定义（一）积分的定义l,)(110bzzzzzanbaBlBzfwnkk=-LL设分点为设分点为个弧段个弧段任意分成任意分成把曲线把曲线的一条光滑的有向曲线的一条光滑的有向曲线终点为终点为内起点为内起点为为区域为区域

2、内内定义在区域定义在区域设函数设函数,),2,1(1kkknkzzz z上任意取一点上任意取一点在每个弧段在每个弧段L=-2.12.1复变函数的积分复变函数的积分(与实函数积分相似，定义为和的极限与实函数积分相似，定义为和的极限)复平面上的线积分复平面上的线积分3,)()()(111knkknkkkknzfzzfSD D=-=-z zz z作和式作和式 ,1这里这里kkkzzz-=D D,无限增加无限增加当当nl ,)(,记为记为的的积分积分沿曲线沿曲线函数函数那么称这极限值为那么称这极限值为一极限一极限zfl ,有唯有唯的取法如何的取法如何的分法及的分法及如果不论对如果不论对Snkz z4关

3、于定义的说明关于定义的说明:.d)(,)1 1(lzzfl记为记为那么沿此闭曲线的积分那么沿此闭曲线的积分是闭曲线是闭曲线如果如果 .),()(,)2(定积分的定义定积分的定义实变函数实变函数这个积分定义就是一元这个积分定义就是一元而而轴上的区间轴上的区间是是如果如果xuzfbxaxl=注注注注:闭曲线是有向曲线闭曲线是有向曲线闭曲线是有向曲线闭曲线是有向曲线,并定义区域总是在观察并定义区域总是在观察并定义区域总是在观察并定义区域总是在观察者左侧的曲线为正者左侧的曲线为正者左侧的曲线为正者左侧的曲线为正5注意到：注意到：积分的计算法积分的计算法1:化为二元实函数的第二型曲线积分(二二二二).)

4、.).).积分的计算法积分的计算法积分的计算法积分的计算法代入积分定义有：代入积分定义有：6积分的计算法积分的计算法2:2:参数方程法设路径设路径l的方程（参数方程）为的方程（参数方程）为:z=z(t)(t)由求导法则，由求导法则，dz=z(t)dt,则有则有(三三)性质：性质：(1)全路径上的积分等于各段上积分之和光滑曲线光滑曲线相互连接所组成的按段相互连接所组成的按段等光滑曲线依次等光滑曲线依次是由是由其中其中.,21nllllL设设l是简单逐段光滑曲线是简单逐段光滑曲线，f,g在在l上连续，则上连续，则7(3)常数因子可以移到积分号外(4)函数的和的积分等于各函数积分之和(2)若l和l-

5、是同线段但走向相反,则(5)积分不等式 特别地，若在特别地，若在l上有上有 ，l的长记为的长记为l，则性质则性质(5)(5)成为成为8例例1 1 解解:采用参数方程方法采用参数方程方法 y=3x/4,令令x=t.直线的参数方程直线的参数方程:.43 :,d 的的直线段直线段从原点到点从原点到点计算计算ilzzl+在在l上，上，z=x+iy9例例2 解解积分路径积分路径(圆心在原点圆圆心在原点圆)的参数方程为的参数方程为 .2 :,d=zlzzl圆周圆周为为其中其中计算计算)2(=z因为因为10例例3 解解积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为.,d)(1 010为整数为整数径的正向圆周径的正

6、向圆周为半为半为中心为中心为以为以求求nrzlzzzln+-11重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关.12定理定理1 1：单连通区域柯西定理：单连通区域柯西定理讨论讨论复变函数积分值复变函数积分值与与积分路径积分路径的关系的关系(一一)单连通区域柯西定理单连通区域柯西定理2.2 2.2 2.2 2.2 柯西定理柯西定理柯西定理柯西定理 如果函数如果函数f(z)在在闭闭单连通域单连通域B上上解析解析，则沿则沿B上任一分段光上任一分段光滑闭曲线滑闭曲线l（也可以是也可以是B的边界），的边界），有有13连续，且连续，且同理同理连续，且连续，且证明：格林

7、公式格林公式积分值的实部积分值的实部:由格林公式化成面积分由格林公式化成面积分14推论：单连通域的积分只与各积分曲线的起点和终点有推论：单连通域的积分只与各积分曲线的起点和终点有推论：单连通域的积分只与各积分曲线的起点和终点有推论：单连通域的积分只与各积分曲线的起点和终点有关。关。关。关。例例1 1解解根据柯西定理根据柯西定理,有有 ,1 321 内解析内解析在在函数函数-zz15 由于围线由于围线l所包含的面积范围内所包含的面积范围内含有不属于区含有不属于区域的点，所以围道积分不一定为零域的点，所以围道积分不一定为零.那么如何计算那么如何计算?（二）复连（二）复连通域柯西定理通域柯西定理 下

8、图表示一个由边界下图表示一个由边界L和和l1 构成的闭二连通区域构成的闭二连通区域B.设设f(z)在在B内解析内解析,在闭区域边界上连续在闭区域边界上连续.GLl116 作割线把原来以围线作割线把原来以围线l和内边界为和内边界为l1的二连通区域转化为除原来围线和内的二连通区域转化为除原来围线和内边界线以外和割线边界线以外和割线AD与与DA组成的新边组成的新边界的单连通区域界的单连通区域。则则由柯西定理或或 l与与l1方向相反，方向相反，但与但与 l-1方向相同方向相同。又又17 此式说明,在区域内的一个解析函数沿着闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内部作连续变形而改变它的值,只要在变形过程中曲线不

9、经过函数的奇点.-闭路变形原理闭路变形原理18(多连通域柯西定理多连通域柯西定理)设设B是以是以边为界的边为界的n+1闭闭连通区域，其中连通区域，其中l1，l2，ln是简单光滑是简单光滑闭曲线闭曲线l内部互相分离的内部互相分离的n条简单光滑闭曲线。若条简单光滑闭曲线。若f(z)在在 边界上连续，在边界上连续，在B内解析，则有内解析，则有其中其中C取关于区域取关于区域B的正向，或写为的正向，或写为：19例例2 2 解解圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复合定理,.1 2 ,d 所组成所组成向圆周向圆周和负和负为正向圆周为正向圆周计算积分计算积分=G

10、 G G Gzzzzez,上处处解析上处处解析在此圆环域和其边界在此圆环域和其边界函数函数zez20例例3 3解解.,d)(1 1为整数为整数的任一简单闭路的任一简单闭路为含为含求求nazazn l+l-,内部内部在曲线在曲线因为因为la ,l:1内部内部含在含在使使r rl=-az,)(111内处处解析内处处解析为边界的复连通域为边界的复连通域在以在以+l+l-naz ,r r故可取很小的正数故可取很小的正数xya21由复合闭路定理由复合闭路定理,=p p=-l+.0,00,2d)(1 1nnizazn故故xya 此结论非常重要此结论非常重要,闭曲线闭曲线不必不必是圆是圆,a也不必是圆的圆心

11、也不必是圆的圆心,只要只要a在简单闭曲线内即可在简单闭曲线内即可.22（五）柯西定理小结（五）柯西定理小结固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分固定起点和终点，积分路径的连续形变不改变积分1.单通区域上的解析函数沿区域内任一条光滑闭曲单通区域上的解析函数沿区域内任一条光滑闭曲线的积分为零。线的积分为零。2.闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向的积分和为零。向的积分和为零。3.闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向闭复通区域上的解析函数沿外境界线逆时针方向的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分的的积分等于沿所有内境界线逆时针方向的积分

12、的和。和。23思考题思考题答答:即为一元实函数的定积分即为一元实函数的定积分.24答答:(1)注意定理的条件注意定理的条件“单连通域单连通域”.”.(2)注意定理的不能反过来用注意定理的不能反过来用.思考题思考题应用柯西定理应注意什么应用柯西定理应注意什么?25 2.3.1 ,d zz-1(1)直线段；直线段；积分路经是积分路经是计算计算(2)单位圆的上半单位圆的上半；(3)单位圆的下半单位圆的下半；1 ,dez 求下列复变函数的围道积分求下列复变函数的围道积分zz2+5z+6|z|=1|=1261 原函数原函数 证证:利用解析函数利用解析函数F(z)在区域在区域内任意一点可导的思路证明内任意

13、一点可导的思路证明,即即用导数的定义来证用导数的定义来证.2.3 不定积分 ,内任一点内任一点为为设设Bz,CRBz领域领域内的内的为中心作一含于为中心作一含于以以.)()(,d)()(,)(0zfzFBfzFBzfzz=即即析函数析函数同时同时是是 的原函数的原函数内的一个解内的一个解必为必为那么那么函数函数内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数z zz z)(zf27 在在zz0 0的极限，的极限，积分路线积分路线 与与的的路线相同路线相同.所以：所以：d)(0 z+zzfz zz z d)(0 zzfz zz z2829分析下列极限分析下列极限:下面先由分析绝对号内下面

14、先由分析绝对号内函数的特性函数的特性30 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导此定理与微积分学中的对变上限积分的求导此定理与微积分学中的对变上限积分的求导此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似定理完全类似定理完全类似定理完全类似.证毕证毕证毕证毕 312.2.不定积分的定义不定积分的定义:3.3.牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式.)(d)(,)()()()(czFzzfzfcczFzf+=+记作记作的不定积分的不定积分为为为任意常数为任意常数的的原函数原函数的一般表达式的一般表达式称称.,)()(d)(,)()(,)(211221内的两点内的两点为域为域这里这里那么那么的一个原

15、函数的一个原函数为为内处处解析内处处解析在单连通域在单连通域如果函数如果函数BzzzFzFzzfzfzFBzfzz-=32证证根据柯西定理根据柯西定理,证毕证毕说明说明:有了有了有了有了牛顿牛顿牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式莱布尼兹公式莱布尼兹公式,复变函数的积复变函数的积复变函数的积复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.,)(d)(1的原函数的原函数也是也是因为因为zfzzfzz ,)(d)(1czFzzfzz+=所以所以 ,1时时当当zz=,)(1zFc-=得

16、得 ,)()(d(11zFzFzzfzz-=所以所以 .)()(d)(1221zFzFzzfzz-=即即33例例1 1解解由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知,34例例2 2解解采用微积分学中的采用微积分学中的“凑微分凑微分”法处理法处理35例例3 3采微积分中采微积分中“分部积分法分部积分法”处理处理解解36(一一)、问题的提出、问题的提出2.4 2.4 柯西公式柯西公式 .,0中一点中一点为为为一单连通域为一单连通域设设BzB .)(,)(00不解析不解析在在那末那末内解析内解析在在如果如果zzzzfBzf-37 如果如果f()在闭单连通区域在闭单连通区域B内内处处解析处处解析，l为

17、为B内的边界线内的边界线，为为B内的任一点，那么内的任一点，那么 称为称为柯西积分公式柯西积分公式柯西积分公式柯西积分公式,简称简称柯西公式柯西公式柯西公式柯西公式(二二二二)、柯西积分公式柯西积分公式柯西积分公式柯西积分公式1 1 有界区域的单连通柯西积分公式有界区域的单连通柯西积分公式证明38由复积分性质知道根据由复积分性质知道根据 在在 连续，则对任意小连续，则对任意小 ,对应于对应于R足够小，有足够小，有 ，又显见该积分的值与又显见该积分的值与R无关这就证明了无关这就证明了 柯西积分公式柯西积分公式柯西积分公式柯西积分公式39关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明:(1)把函数在

18、把函数在l内部任一点的值用它在边界上的内部任一点的值用它在边界上的积分值表示积分值表示.(这是解析函数的又一特征这是解析函数的又一特征)(2)公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法积分的一种方法,而且给出了解析函数的一个而且给出了解析函数的一个积分表达式积分表达式.(这是研究解析函数的有力工具这是研究解析函数的有力工具)(3)一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值上的平均值.402 2有界区域的复连通柯西积分公式有界区域的复连通柯西积分公式41 如图：假设如图：假设|z|,|z|,f(z)在某一闭曲线在

19、某一闭曲线在某一闭曲线在某一闭曲线l l的外部的外部的外部的外部解析解析解析解析，则对于，则对于l外部区域中的点外部区域中的点f(z)有有3 3 无界区域中的柯西积分公式无界区域中的柯西积分公式 上面对柯西积分公式的讨论所涉上面对柯西积分公式的讨论所涉及的积分区域都是有限的区域，及的积分区域都是有限的区域，若遇到函数在无界区域求积分的若遇到函数在无界区域求积分的问题又如何求解？问题又如何求解？式中式中 有界。有界。解析解析解析解析42 证明证明 如图如图:设设CR 为以为以O为为原点，半径为原点，半径为R的包含的包含任意点任意点z的大圆周的大圆周,因为函数因为函数 f(z)在闭回路的在闭回路的l外部解外部解析析,故在故在l和和CR构成的复连通区域内构成的复连通区域内,由复连通区域的由复连通区域的柯西积分公式得柯西积分公式得 现分析第二个积分现分析第二个积分,由于由于f(z)在无限远处连续，即任在无限远处连续，即任给给0，总找到以，总找到以O为中心半径为为中心半径为R1 1的圆的圆,使得使得|z|R1 1时，时，|f(z)-f()|=CzCzzezzzrzC.d)1()2(;d)1(cos)1(.1:,225为正向圆周为正向圆周其中其中1.1.计算下列积分计算下列积分542.4 1.2.5556