复变函数的级数.ppt

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1、第四章第四章 复变函数的级数复变函数的级数1 1 复数项级数复数项级数2 2 复变函数项级数复变函数项级数3 3 泰勒级数泰勒级数4 4 洛朗级数洛朗级数11.复数序列的极限复数序列的极限极限：极限：数列：数列：记作记作2复数列收敛与实数列收敛的关系：复数列收敛与实数列收敛的关系：证明证明3定理说明定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别可将复数列的敛散性转化为判别 两个实数列的敛散性。两个实数列的敛散性。4例例1 下列数列是否收敛下列数列是否收敛?如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.解：解：(1)所以所以5而该极限不存在而该极限不存在，故该极限不存在。故该极限不存在。2.复数项级数复数项级

2、数表达式表达式称为称为复数项级数复数项级数.6前前 n 项的和项的和称为级数的前称为级数的前 n 项项部分和部分和.级数收敛与发散的概念级数收敛与发散的概念例例27解：解：复数项级数与实数项级数收敛的关系：复数项级数与实数项级数收敛的关系：8证明：证明：因为因为根据复数列收敛定理根据复数列收敛定理9所以原级数发散所以原级数发散.例例3解解级数收敛的必要条件：级数收敛的必要条件：10重要结论重要结论:证明：证明：称为称为条件收敛条件收敛.如果如果 收敛收敛,称级数称级数 为为绝对收敛绝对收敛.定义：定义：如果如果 收敛收敛,而而 不收敛的级数不收敛的级数11绝对收敛级数的性质：绝对收敛级数的性质

3、：证明：证明：由于由于而而根据实数项级数的绝对收敛性根据实数项级数的绝对收敛性,知知12而而解解 数列数列 是否收敛？是否收敛？例例4 413例例5 5 解：解：级数满足必要条件级数满足必要条件,而而故原级数发散。故原级数发散。14例例6 6故原级数收敛故原级数收敛,且为绝对收敛且为绝对收敛.所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:因为因为解解r1r,r1时发散时发散r=r=1时可能收敛或发散时可能收敛或发散151.复变函数项级数复变函数项级数称为称为复变函数项级数复变函数项级数。称为该级数前称为该级数前n n项的项的部分和部分和.级数前级数前n n项的和项的和2 2 复变函

4、数项级数复变函数项级数16称为该级数在区域称为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果级数在如果级数在D内处处收敛内处处收敛,那么它的那么它的和和收敛：收敛：和函数：和函数：且且17当当时，时，幂级数是函数项级数的特殊情形幂级数是函数项级数的特殊情形得到的级数称为得到的级数称为2.幂级数的定义幂级数的定义其中其中Cn(n=0,1,2,)及及z0为常为常数数幂级数幂级数，即即183.幂级数的敛散性幂级数的敛散性定理：定理：如果级数如果级数在在收敛收敛,那么当那么当时时,级数绝对收敛。级数绝对收敛。Abel(阿贝尔阿贝尔)推论：推论：4.4.收敛圆与收敛半径收敛圆与收敛半径对于一个幂级数对于一个幂

5、级数,其收敛的情况有三种其收敛的情况有三种:19(1)对任意的复数都收敛对任意的复数都收敛.由由Abel定理定理:级数在复平面内绝对收敛级数在复平面内绝对收敛.例如例如,级数级数对任意给定的对任意给定的 z,则从某个则从某个n开始开始,有有于是于是该级数对任意的实数该级数对任意的实数 z 均收敛均收敛.该级数在复平面内绝对收敛该级数在复平面内绝对收敛.(2)对任意的复数对任意的复数(除除 z=z 0外外)都发散都发散.20(3)既存在使级数发散的复数既存在使级数发散的复数,也存在使级数收也存在使级数收敛的复数敛的复数.通项通项nnzn不趋于零不趋于零,例如例如,级数级数级数发散级数发散.由函数

6、收敛的必要条件由函数收敛的必要条件,由由Abel定理，级数在定理，级数在21.收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径.由由Abel定理的推论，级数在定理的推论，级数在22在收敛圆上是收敛还是发散在收敛圆上是收敛还是发散,要对具要对具体级数进行具体分析体级数进行具体分析.级数对于任意复数都发散时级数对于任意复数都发散时,R=0级数对于任意复数都收敛时级数对于任意复数都收敛时,R=定义：定义：注意：注意：约定：约定：5.收敛半径的计算方法收敛半径的计算方法23方法方法1(比值法比值法)方法方法2(根值法根值法)例例1 试求幂级数试求幂级数(p为正整数为正整数)的收敛半径的收敛半径.解解=124例例2 级数级

7、数 的收敛半径，的收敛半径，并讨论它们在收敛圆上的敛散性。并讨论它们在收敛圆上的敛散性。解：解：根据比值法，三个级数都有根据比值法，三个级数都有由于由于令令z=cosj j+isinj,j,则则25故故 在收敛圆周上无收敛点在收敛圆周上无收敛点;故故 在收敛圆上处处收敛；在收敛圆上处处收敛；266.幂级数的性质幂级数的性质27则则内解析内解析.设幂级数设幂级数的收敛半径为的收敛半径为R,28解解:把函数把函数写成如下的形式写成如下的形式:其中，其中，a与与b是不相等的复常数是不相等的复常数.例例3 把函数把函数表成形如表成形如的幂级数的幂级数29级数收敛级数收敛,且其和为且其和为z=b时，级数

8、发散时，级数发散由由Abel定理，级数在定理，级数在故级数的收敛半径为故级数的收敛半径为例例4 求级数求级数的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解30利用逐项积分利用逐项积分,得得:所以所以例例7 求级数求级数的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解31321.Taylor级数展开定理级数展开定理定理定理z0到边界上各点的最短距离为到边界上各点的最短距离为d,设设f(z)在区域在区域D内解析，内解析，z0为为D内一点，内一点，时时,f(z)可以展开成幂级可以展开成幂级数数当当其中其中.d3 Taylor(3 Taylor(泰勒泰勒)级数级数33那么那么即即因此因此,任何解析函数展开成幂级

9、数的结果就任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数是泰勒级数,且解析函数的泰勒级数唯一且解析函数的泰勒级数唯一.泰勒展开式是唯一的泰勒展开式是唯一的34 函数解析的充要条件是在该点的邻域内函数解析的充要条件是在该点的邻域内 可以展开为幂级数。可以展开为幂级数。若若f(z)在在z0解析，设解析，设为为f(z)距距z0最近的最近的 奇点，则奇点，则35常用方法常用方法:直接法直接法和和间接法间接法.1.直接法直接法:由由Taylor展开定理直接计算系数展开定理直接计算系数2.函数展开为函数展开为Taylor级数级数例如：例如：36故有故有372.间接法间接法:借助于一些已知函数的展开式借助于一些

10、已知函数的展开式,结合幂级结合幂级数运算性质数运算性质(逐项求导逐项求导,积分等积分等)和其它数学技和其它数学技巧巧(代换等代换等),求函数的求函数的Taylor展开式展开式.例如：例如：38例例2 2分析分析xy-10 039即即 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分,得得解解40附附:常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式4142例例3 3 解解43例例4 4 解解44例例4 4解解上式两边逐项求导上式两边逐项求导,45例例5 5解解461 1 问题的引入问题的引入上节研究了如下的幂级数：上节研究了如下的幂级数：对于一般的函数项级数对于一般的函数项级数应该可以取具有负幂的应

11、该可以取具有负幂的 ：4 Laurent(洛朗洛朗)级数级数49负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛Laurent级数级数收敛收敛50收敛半径收敛半径收敛域收敛域收敛半径收敛半径收敛域收敛域两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分R51结论结论:.常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域:.52(1)任一幂级数，如果收敛，必在圆域内任一幂级数，如果收敛，必在圆域内 (2)收敛，且和函数在圆域内解析。收敛，且和函数在圆域内解析。已知：已知：如果如果Laurent级数收敛，必在圆环级数收敛，必在圆环域内收敛，且和函数在圆

12、环域内解析。域内收敛，且和函数在圆环域内解析。问题：在圆环域内解析的函数是否可以展问题：在圆环域内解析的函数是否可以展开成开成Laurent级数级数?幂级数的特征：幂级数的特征：(2)在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数。在圆域内的解析函数一定能展开成幂级数。532.Laurent级数展开定理级数展开定理C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任的任 称称cn为为Laurent系数系数.定理定理一正向简单闭曲线一正向简单闭曲线.54 Laurent级数展开式必是唯一的级数展开式必是唯一的假设假设Laurent级数还有另一展开式为：级数还有另一展开式为：故故区域为圆盘有泰勒展式，为圆环则有洛朗展式。区域为

13、圆盘有泰勒展式，为圆环则有洛朗展式。泰勒展开式是洛朗展开式的特殊情形泰勒展开式是洛朗展开式的特殊情形603.函数的函数的Laurent展开式展开式(1)直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数然后写出然后写出 根据根据Laurent级数展开式的唯一性级数展开式的唯一性,运用代换、求导和积分等方法去展开运用代换、求导和积分等方法去展开.(2)间接展开法间接展开法61例如，例如，都不解析都不解析,而在圆环域而在圆环域及及内都解析内都解析.62也可以展开成级数：也可以展开成级数：Laurent展开式是唯一的展开式是唯一的.唯一性唯一性:指函数在某一个给定的圆环域内的指函数在某一个

14、给定的圆环域内的63例例1 1解解由已知函数由已知函数 的展开式的展开式可以直接得到可以直接得到64例例2 2 内解析内解析,把把 f(z)展成展成Laurent级数级数.解解oxy16512oxy由由66且仍有且仍有672oxy由由仍有仍有此时此时68例例3 3内的内的Laurent展开式展开式.解：解：2i-ixyo702i-ixyo7172作作 业业P101 T5(2)(3)(6)T7(1)(2)(4)T8(1)(3)(4)74复数项级数复数项级数函数项级数函数项级数充充要要条条件件必必要要条条件件幂级数幂级数收敛半径收敛半径R复复 变变 函函 数数绝绝对对收收敛敛运算与性质运算与性质收

15、敛条件收敛条件条条件件收收敛敛复数列复数列收敛半径的计算收敛半径的计算Taylor 级数级数Laurent级数级数主要内容主要内容755.将下列各函数展开为将下列各函数展开为z的幂级数，并指出的幂级数，并指出 收敛区域。收敛区域。解：解：ab时时76a=b时时，则则77解解2：78因为因为1为为f(z)的唯一奇点，故收敛半径的唯一奇点，故收敛半径R1.79解解2：f4(0)=17.指出下列函数在指定点指出下列函数在指定点z0处的泰勒展开式。处的泰勒展开式。解：解：8081解：解：828.将下列函数在指定圆环内展开为洛朗级数。将下列函数在指定圆环内展开为洛朗级数。解解1：解解2：83解：解：84解解1：85解解2：86