复变函数讲义第5章.ppt

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1、一、复数项无穷级数二、复变函数项级数第一节第一节 幂级数幂级数三、小结1复数列及其极限2复数项级数的概念及其收敛性的判定1复数函数项级数的概念2幂级数及其收敛性1一、复数列的极限一、复数列的极限1.1.定义定义22.2.复数列收敛的条件复数列收敛的条件此定理说明此定理说明:可将复数列的敛散性转化为判别两可将复数列的敛散性转化为判别两个实数列的敛散性个实数列的敛散性.3下列数列是否收敛下列数列是否收敛,如果收敛如果收敛,求出其极限求出其极限.而而解解 例例1 14解解 所以数列发散所以数列发散.5二、复数项二、复数项(无穷无穷)级数的概念级数的概念1.1.定义定义表达式表达式称为复数项无穷级数称

2、为复数项无穷级数.其最前面其最前面 n 项的和项的和称为级数的部分和称为级数的部分和.部分和部分和6收敛与发散收敛与发散说明说明:与实数项级数相同与实数项级数相同,判别复数项级数敛散判别复数项级数敛散性的基本方法是性的基本方法是:782.2.复数项级数收敛的条件复数项级数收敛的条件定理定理2说明说明 复数项级数的审敛问题复数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题实数项级数的审敛问题(定理定理2)9解解所以原级数发散所以原级数发散.课堂练习课堂练习10级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件重要结论重要结论:11不满足必要条件不满足必要条件,所以原级数发散所以原级数发散.启示启示:判别级数的敛散性时判

3、别级数的敛散性时,可先考察可先考察?级数发散级数发散;应进一步判断应进一步判断.123.3.绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛定理定理3条件收敛条件收敛.如果如果 收敛收敛,那末称级数那末称级数 为为绝对收敛绝对收敛.定理3说明，绝对收敛的级数本身一定是收敛的；但反过来，13证证由于由于而而根据实数项正项级数的比较审敛法根据实数项正项级数的比较审敛法,知知由定理由定理2可得可得证毕证毕（实数项）（实数项）正项级数正项级数14说明说明所以，由正项级数的比较审敛法知15都收敛都收敛,故原级数收敛故原级数收敛.但是级数但是级数条件收敛条件收敛,所以原级数非绝对收敛所以原级数非绝对收敛,是条件收敛的

4、是条件收敛的.解解 因为因为例例2 2(1)(1)级数级数 是否绝对收敛是否绝对收敛?(2)(2)级数级数 是否绝对收敛呢是否绝对收敛呢?16例例3 3故原级数收敛故原级数收敛,且为绝对收敛且为绝对收敛.因为因为所以由正项级数的比值判别法知所以由正项级数的比值判别法知:解解17为复变函数项级数为复变函数项级数.为该级数前为该级数前n项的项的部分和部分和.设设 是定义在区域是定义在区域D上的复变函数列上的复变函数列,称称三、复变函数项级数三、复变函数项级数1.1.定义定义18S(z)称称为该级数在区域为该级数在区域D上的上的和函数和函数.如果对如果对 级数级数 收敛收敛,即即 则称级数则称级数

5、在在 点收敛点收敛,且且 是级数的和是级数的和.如果级数如果级数 在在D内处处收敛内处处收敛,则称其在则称其在 区域区域D内收敛内收敛.此时级数的和是此时级数的和是D内的函数内的函数2.2.收敛概念及和函数收敛概念及和函数19这类函数项级数称为这类函数项级数称为幂级数幂级数.或或 的特殊情形的特殊情形函数项级数函数项级数三、幂级数三、幂级数1.1.定义定义20定理定理4 (Abel定理定理)若级数若级数 在在 处收敛，则当处收敛，则当 时时,级数级数 绝对收敛绝对收敛;若级数若级数 在在 处发散，则当处发散，则当 时时,级数级数 发散发散.2.2.幂级数的敛散性幂级数的敛散性21收敛圆与收敛半

6、径收敛圆与收敛半径(1)级数在复平面内处处绝对收敛级数在复平面内处处绝对收敛.(2)级数仅在级数仅在 z=0(即原点处即原点处)收敛，除原点外处收敛，除原点外处处发散处发散.(3)在复平面内既存在使级数发散的点在复平面内既存在使级数发散的点,也存在也存在使级数收敛的点。使级数收敛的点。由由 ,幂级数幂级数 收敛情况有三种收敛情况有三种:22.收敛圆收敛圆收敛半径收敛半径幂级数幂级数的收敛范围是以原点为中心的圆域的收敛范围是以原点为中心的圆域.设设 时时,级数收敛级数收敛;时时,级数发散级数发散.如图如图:23 幂级数幂级数的收敛范围是的收敛范围是因此，因此，事实上事实上,幂级数在收敛圆周上敛散

7、性的讨幂级数在收敛圆周上敛散性的讨问题：问题：幂级数在收敛圆周上的敛散性如何幂级数在收敛圆周上的敛散性如何?以以 为中心的圆域为中心的圆域.收敛半径根据前面所述的三种情形收敛半径根据前面所述的三种情形,分别分别规定为规定为论比较复杂论比较复杂,没有一般的结论没有一般的结论,要对具体级数要对具体级数进行具体分析进行具体分析.24收敛半径的求法收敛半径的求法设级数设级数(比值法比值法)如果如果则收敛半径则收敛半径 (根值法根值法)如果如果则收敛半径则收敛半径 当当 时时,收敛半径收敛半径 当当 时时,收敛半径收敛半径 25解解级数级数收敛收敛,级数级数发散发散.绝对收敛绝对收敛,且有且有在在 内内

8、,级数级数例例4 4 求级数求级数 的和函数与收敛半径的和函数与收敛半径.所以收敛半径所以收敛半径26例例5求下列幂级数的收敛半径：求下列幂级数的收敛半径：(1)(2)27由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此由于幂级数在收敛圆的内部绝对收敛，因此可得出下面几个性质：可得出下面几个性质：(1)设级数设级数 和和 的收敛半径分别的收敛半径分别为为 和和 则在则在 内内,3.3.幂级数的性质幂级数的性质28(2)幂级数幂级数 的和函数的和函数在收敛圆在收敛圆 内是解析的；且幂级数在其收敛圆内，可以逐项内是解析的；且幂级数在其收敛圆内，可以逐项求导和逐项积分。求导和逐项积分。29(3)设级数设级数

9、的收敛半径为的收敛半径为 r.如果在如果在 内内,函数函数 解析解析,并且并且则当则当 时时,30例例6 6 求求 的收敛半径与和函数的收敛半径与和函数.解解 因为因为 所以所以当当 时时,又因为又因为 从而从而,31例例7 7 把函数把函数 表示成形如表示成形如的幂级数的幂级数,其中其中a与与b是不相等的复常数是不相等的复常数.代数变形代数变形,使其分母中出现使其分母中出现凑出凑出 把函数把函数 写成如下的形式写成如下的形式:32当当 即即 时时,所以所以33三、小结三、小结1.1.复数项无穷级数复数项无穷级数34非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数条件收敛级数.复级数的绝对收敛与条件收敛如

10、果 收敛,那末称级数 为绝对收敛绝对收敛.绝对收敛绝对收敛 条件收敛条件收敛35方法方法1 1:比值法比值法方法方法2:根值法根值法收敛半径的求法收敛半径的求法那末收敛半径那末收敛半径那末收敛半径那末收敛半径2.2.幂级数幂级数36幂级数的运算与性质幂级数的运算与性质37第三节第三节 泰勒级数泰勒级数二、泰勒展开定理三、将函数展开成泰勒级数一、问题的引入四、典型例题五、小结与思考38一、问题的引入一、问题的引入问题问题:任一个解析函数能否用幂级数来表达？任一个解析函数能否用幂级数来表达？.内任意点内任意点如图如图:.K.39由柯西积分公式由柯西积分公式,有有其中其中 K 取正方向取正方向.则则

11、4041由高阶导数公式由高阶导数公式,上式又可写成上式又可写成其中其中可知在可知在K内内42令令则在则在K上连续上连续,43即存在一个正常数即存在一个正常数M,44在在内成立内成立,从而在从而在K内内 圆周圆周的半径可以任意增大的半径可以任意增大,只要只要内成立内成立.在在的的泰勒展开式泰勒展开式,在在泰勒级数泰勒级数45如果如果到到的边界上各点的最短距离为的边界上各点的最短距离为那末那末在在的泰勒展开式在内成立的泰勒展开式在内成立因为凡满足因为凡满足的的必能使必能使由上讨论得重要定理由上讨论得重要定理泰勒展开定理泰勒展开定理在在的泰勒级数的泰勒级数的收敛半径的收敛半径至少等于，至少等于，但但

12、46二、泰勒展开定理二、泰勒展开定理其中其中泰勒级数泰勒级数泰勒展开式泰勒展开式定理定理设设在区域在区域内解析内解析,为为 内的一内的一为为到到的边界上各点的最短距离的边界上各点的最短距离,那末那末点点,时时,成立成立,当当47说明说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多时弱得多;(想一想想一想,为什么为什么?)48因为解析，可以保证无限次可导因为解析，可以保证无限次可导即各阶导数连续即各阶导数连续.所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广的多要比实变函数广的多.注意注意问题：问题：利用泰勒级数

13、可以将函数展开为幂级利用泰勒级数可以将函数展开为幂级数数，展开式是否唯一？展开式是否唯一？49那末那末即即因此因此,任何解析函数展开成幂级数的结果就是任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数泰勒级数,因而是唯一的因而是唯一的.50三、将函数展开成泰勒级数三、将函数展开成泰勒级数常用方法常用方法:直接法和间接法直接法和间接法.1.直接法直接法:由泰勒展开定理计算系数由泰勒展开定理计算系数51例如，例如，故有故有52仿照上例仿照上例,532.间接展开法间接展开法:借助于一些已知函数的展开式借助于一些已知函数的展开式,结合解析结合解析函数的性质函数的性质,幂级数运算性质幂级数运算性质(逐项求导逐项

14、求导,积分积分等等)和其它数学技巧和其它数学技巧(代换等代换等),求函数的泰勒展求函数的泰勒展开式开式.间接法的优点间接法的优点:不需要求各阶导数与收敛半径不需要求各阶导数与收敛半径,因而比直因而比直接展开更为简洁接展开更为简洁,使用范围也更为广泛使用范围也更为广泛.54例如，例如，55附附:常见函数的泰勒展开式常见函数的泰勒展开式5657例例1 1解解四、典型例题四、典型例题58上式两边逐项求导上式两边逐项求导,59例例2 2分析分析如图如图,60即即 将展开式两端沿将展开式两端沿 C 逐项积分逐项积分,得得解解61例例3 3 解解62例例4 4解解63五、小结与思考五、小结与思考 通过本课

15、的学习通过本课的学习,应理解泰勒展开定理应理解泰勒展开定理,熟记熟记五个基本函数的泰勒展开式五个基本函数的泰勒展开式,掌握将函数展开成掌握将函数展开成泰勒级数的方法泰勒级数的方法,能比较熟练的把一些解析函数能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数展开成泰勒级数.64奇、偶函数的泰勒级数有什么特点奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题思考题65 奇函数的泰勒级数只含奇函数的泰勒级数只含 z 的奇次幂项的奇次幂项,偶函数偶函数的泰勒级数只含的泰勒级数只含 z 的偶次幂项的偶次幂项.思考题答案思考题答案放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.66第四节第四节 洛朗级数洛朗级数二、洛朗级数的概念

16、三、函数的洛朗展开式一、问题的引入五、小结与思考四、典型例题68一、问题的引入一、问题的引入问题问题:负幂项部分负幂项部分正幂项部分正幂项部分主要部分主要部分解析部分解析部分同时收敛同时收敛收敛收敛69收敛半径收敛半径收敛域收敛域收敛半径收敛半径收敛域收敛域两收敛域无公共部分两收敛域无公共部分,两收敛域有公共部分两收敛域有公共部分R70结论结论:.常见的特殊圆环域常见的特殊圆环域:.71例如，例如，都不解析都不解析,但在圆环域但在圆环域及及内都是解析的内都是解析的.而而2.问题问题:在圆环域内解析的函数是否一定能展开在圆环域内解析的函数是否一定能展开成级数成级数?72所以所以即即内可以展开成级

17、数内可以展开成级数.也可以展开成级数：也可以展开成级数：73二、洛朗级数的概念二、洛朗级数的概念定理定理C为圆环域内绕为圆环域内绕 的任一正向简单闭曲线的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数为洛朗系数.74证证对于第一个积分对于第一个积分:Rr.z.75对于第二个积分对于第二个积分:76其中其中77下面证明下面证明78则则79如果如果C为在圆环域内绕为在圆环域内绕 的任何一条正向简单的任何一条正向简单闭曲线闭曲线.则则可用一个式子表示为可用一个式子表示为:证毕证毕80说明说明:函数函数在圆环域内的在圆环域内的洛朗展开式洛朗展开式在圆环域内的在圆环域内的洛朗洛朗(Laurent)级数级数.1)2)某一

18、圆环域内的解析函数展开为含有正、负某一圆环域内的解析函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，幂项的级数是唯一的，这就是这就是 f(z)的洛朗级数的洛朗级数.定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数定理给出了将圆环域内解析的函数展为洛朗级数的一般方法的一般方法.81三、函数的洛朗展开式三、函数的洛朗展开式常用方法常用方法:1.直接法直接法 2.间接法间接法 1.直接展开法直接展开法利用定理公式计算系数利用定理公式计算系数然后写出然后写出缺点缺点:计算往往很麻烦计算往往很麻烦.82根据正、负幂项组成的的级数的唯一性根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开用

19、代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.优点优点:简捷简捷,快速快速.2.间接展开法间接展开法83四、典型例题四、典型例题例例1 1解解由定理知由定理知:其中其中84故由柯西故由柯西古萨基本定理知古萨基本定理知:由高阶导数公式知由高阶导数公式知:85另解另解本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心 z=0 既是各负幂项的奇点既是各负幂项的奇点,86例例2 2 内是处处解析的内是处处解析的,试把试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.解解87oxy18812oxy由由且仍有且仍有892oxy由由此时此时90仍有仍有91注意注意:奇点但却不是函数奇点但却不是函数的奇点的奇点

20、.本例中圆环域的中心本例中圆环域的中心是各负幂项的是各负幂项的说明说明:1.函数函数在以在以为中心的圆环域内的洛朗级为中心的圆环域内的洛朗级数中尽管含有数中尽管含有的负幂项的负幂项,而且而且又是这些又是这些项的奇点项的奇点,但是但是可能是函数可能是函数的奇点的奇点,也可能也可能的奇点的奇点.不是不是922.给定了函数给定了函数与复平面内的一点与复平面内的一点以后以后,函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开函数在各个不同的圆环域中有不同的洛朗展开式式(包括泰勒展开式作为它的特例包括泰勒展开式作为它的特例).回答：不矛盾回答：不矛盾.朗展开式是唯一的朗展开式是唯一的)问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾问题：这与洛朗展开式的唯一性是否相矛盾?(唯一性唯一性:指函数在某一个给定的圆环域内的洛指函数在某一个给定的圆环域内的洛93例例2 2 试把试把 f(z)在这些区域内展开成洛朗级数在这些区域内展开成洛朗级数.94解解 练习练习95练习练习解解 96五、小结与思考五、小结与思考 在这节课中在这节课中,我们学习了洛朗展开定理和函我们学习了洛朗展开定理和函数展开成洛朗级数的方法数展开成洛朗级数的方法.将函数展开成洛朗级将函数展开成洛朗级数是本节的重点和难点数是本节的重点和难点.97