复合函数与初等函数的导数.ppt

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1、2.3复合函数与初等函数的导数一、复合函数的微分法一、复合函数的微分法一、复合函数的微分法一、复合函数的微分法定理定理 1 1此法则又称为复合函数求导的链式法则 可导，则设或复合函数的导数为推推论论设设 y y=f f(u u)，u u=(v v)，v v=(x x)均均可导，则复合函数可导，则复合函数 y y=f f (x x)也可导，也可导，且且说明：说明：1、利用复合函数的求导法则，关键是弄清复合函数的复合关系即由哪些基本初等函数或简单函数复合而成。2、熟练地掌握了复合函数的分解及链式法则后，可以不写出中间变量，采用逐层求导的方式计算复合函数的导数。例例 1 1设设 y y=(2=(2x

2、 x+1 1)5 5，求，求 y y .解解把把 2 2x x+1 1 看成中间变量看成中间变量 u u，y y=u u5 5，u u=2=2x x+1 1复合而成，复合而成，所以所以 将将 y y=(2=(2x x+1)1)5 5看成是看成是由于由于例例 2 2设设 y y=sin=sin2 2 x x，求，求 y y .解解这个函数可以看成是这个函数可以看成是 y y=sin=sin x x sin sin x x,可利可利用乘法的导数公式，用乘法的导数公式，将将 y y=sin=sin2 2 x x 看成是由看成是由 y y=u u2 2，u u=sin=sin x x 复合而成复合而成

3、.而而所以所以这里，这里，我们用复合函数求导法我们用复合函数求导法.复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必写出.求求 y y .解解将中间变量将中间变量 u u=1=1-x x2 2 记在脑子中记在脑子中.这样可以直接写出下式这样可以直接写出下式例例 3 3例例 4 4求求 y y .解解这个复合函数有三个复合步骤这个复合函数有三个复合步骤把这些中间变量都记在脑子中把这些中间变量都记在脑子中解解先用除法的导数公式，遇到复合时，再先用除法的导数公式，遇到复合时，再用复合函数求导法则用复合函数求导法则.例例 5 5,求求 y y .例例 6 6设设 y y

4、=sin(=sin(x xln ln x x)，求求 y y .解解先用复合函数求导公式，先用复合函数求导公式，再用乘法公式再用乘法公式y y =cos(=cos(x xln ln x x)()(x xln ln x x)=cos(=cos(x xln ln x x)()(x x (ln (ln x x)+x x ln ln x x)=(1=(1+ln ln x x)cos()cos(x x ln ln x x).).例例 7 7解解先用复合函数求导公式，先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，再用加法求导公式，然后又会遇到复合函数然后又会遇到复合函数 的求导的求导.二、反函数的二、反函数的导

5、数数 如果函数xj(y)在某区间Iy内单调、可导且j(y)0，那么它的反函数yf(x)在对应区间Ix内也可导，并且 简要证明：简要证明：因为yf(x)连续，所发当Dx0时，Dy0。例例1 1求(arcsin x)及(arccos x)。如果函数xj(y)在某区间Iy内单调、可导且j(y)0，那么它的反函数yf(x)在对应区间Ix内也可导，并且 解：解：因为yarcsin x是xsin y的反函数，所以即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.例例2 2求(arctan x)及(arccot x)。如果函数xj(y)在某区间Iy内单调、可导且j(y)0，那么它的

6、反函数yf(x)在对应区间Ix内也可导，并且 解：解：因为yarctan x是xtan y的反函数，所以例例3 3解解特别地当特别地当时有时有解解 y y=e=etan tan x x 可以看成是由可以看成是由 y y=e=eu u，u u=tan=tan x x 复合而成，复合而成，所以所以例例 4 4设设 y y=e=etan tan x x，求，求 y y .例例 5 5设设 f f(x x)=arcsin(=arcsin(x x2 2)，求，求 f f (x x).).解解例例 6 6求求 y y .解解三、参数方程导数例如例如消去参数消去参数 t t问题问题:消参数困难或无法消去参数

7、时如何求导消参数困难或无法消去参数时如何求导?设xj(t)具有反函数 tj1(x)，且tj1(x)与yy(t)构成复合函数yyj1(x)。若xj(t)和yy(t)都可导，则例例7 7四、导数的基本公式(1)(C)0，(2)(xm)m xm1，(3)(sin x)cos x，(4)(cos x)sin x，(5)(tan x)sec2x，(6)(cot x)csc2x，(7)(sec x)sec x tan x，(8)(csc x)csc x cot x，(9)(ax)ax ln a，(10)(ex)ex，练习题练习题2.3 1、（、（2）（）（5）（）（8）（）（14）（）（20）2、（2）（

8、）（6）（）（10）3、（、（3）作业：作业：P362.4 隐函数求导法一、隐函数的求导一、隐函数的求导 形如形如 y y sin sin x x ，y y ln ln x x e e x x 的函数都是显函数。的函数都是显函数。显函数与隐函数：显函数与隐函数：隐函数隐函数隐函数的显化隐函数的显化 我们所遇到的函数大都是一个变量明显用另一个变我们所遇到的函数大都是一个变量明显用另一个变量表示的形式量表示的形式-y=f(x),这种形式称为这种形式称为显函数显函数.定义定义:隐函数的显化隐函数的显化问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导?对于这样的函数例如例如,

9、数是由方程形式给出的.但这个函对于对于隐函数的求导法则隐函数的求导法则隐函数一般可用隐函数一般可用F(x,y)=0表示表示.现在的问题是通过现在的问题是通过方程方程F(x,y)=0确定了确定了y是是x的函数，如何来的函数，如何来求求 y的导数的导数.容易看出：容易看出：“先将形式隐函数显化，然后再求导先将形式隐函数显化，然后再求导”不不是一个好的办法，因为将隐函数显化，即将其变成显是一个好的办法，因为将隐函数显化，即将其变成显函数形式一般是非常困难的，甚至是不可能的函数形式一般是非常困难的，甚至是不可能的.对于对于隐函数求导，可以采用这样的方法：隐函数求导，可以采用这样的方法：首先在等式两边首

10、先在等式两边对对x求导，遇到求导，遇到 y 时将其认作中间变量，利用复合函时将其认作中间变量，利用复合函数的求导法则，得到含数的求导法则，得到含的方程，解出的方程，解出即可即可.例例1 1求由方程eyxye0所确定的隐函数y的导数。解：解：方程中每一项对x求导得 (e y)(xy)(e)(0)，即 e y yyxy0，解：解：把方程两边分别对x求导数得 因为当x0时，从原方程得y0，所以 解：解：把椭圆方程的两边分别对x求导，得所求的切线方程为 解：解：方程两边对x求导，得 上式两边再对x求导，得二、对数求导法二、对数求导法 在求导运算中，常会遇到下列两类函数在求导运算中，常会遇到下列两类函数

11、的求导问题，一类是幂指函数，即形如的求导问题，一类是幂指函数，即形如 的函数，还有一类是一系列函数的函数，还有一类是一系列函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数的乘、除、乘方、开方所构成的函数.所谓所谓对数求导法对数求导法，就是在，就是在 y=f(x)的两的两边分别取对数，然后用隐函数求导法求导边分别取对数，然后用隐函数求导法求导的方法的方法.观察函数观察函数方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数，将连乘积、商函将连乘积、商函数或幂指函数简化为和差函数，然后利用隐数或幂指函数简化为和差函数，然后利用隐函数的求导方法求出导数函数的求导方法求出导数.适用范围适用范围:于是 例例5 5求yx sin x(x0)的导数。解：解：两边取对数，得ln ysin x ln x，上式两边对x 求导，得 这种幂指函数的导数也可按下面的方法求：yx sin xe sin xln x，解：解：先在两边取对数，得上式两边对x求导，得课堂练习：课堂练习：作业：作业：P39P39练习题2.4 1（1）（3）（5）；2；4、（1）（6）