导数与微分在经济学中的简单应用(讲课).ppt

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1、 导数与微分在经济学中的简单应用导数与微分在经济学中的简单应用 一一.边际边际二二.弹性弹性要求：掌握边际和弹性的定义；要求：掌握边际和弹性的定义；给具体问题后会计算边际和弹性；给具体问题后会计算边际和弹性；并能够给出相应的经济解释；并能够给出相应的经济解释；1一一.边际分析边际分析 在经济学中在经济学中,边际概念是与导数密切相关的一边际概念是与导数密切相关的一个经济学概念个经济学概念,它反映它反映一种经济变量一种经济变量y y对对另一种另一种经济变量经济变量x x的的变化率变化率.以导数为工具研究经济变以导数为工具研究经济变量的边际变化的方法，就是边际分析方法。量的边际变化的方法，就是边际分

2、析方法。21.1.总成本、平均成本、边际成本总成本、平均成本、边际成本 “总成本总成本”是生产一定量的产品所需要的成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成，总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成，用用C(x)C(x)表示，其中表示，其中x x表示产品的产量，表示产品的产量，C(x)C(x)表示表示当产量为当产量为x x时的总成本。时的总成本。不生产时，不生产时，x=0 x=0，这时，这时C(0)C(0)就是固定成本。就是固定成本。3 “平均成本平均成本”是生产每个单位产品的成本，是生产每个单位产品的成本，若产量由若产量由 变化到变化到则：则：称为称为C C（

3、x)x)在在内的平均成本，它表示内的平均成本，它表示成本成本C C（x x）在）在 内的平均变化率。内的平均变化率。把把 称为称为“平均成本函数平均成本函数”，表示产表示产量为量为x x时平均单位产品的成本。时平均单位产品的成本。4例例1 1：设某种商品的成本函数为设某种商品的成本函数为其中其中x x表示产量（单位：吨），表示产量（单位：吨），C C（x x）表示产量）表示产量为为x x吨时的总成本（单位：元），当产量为吨时的总成本（单位：元），当产量为400400吨吨时的时的总成本总成本及及平均成本平均成本分别为：分别为：5如果产量由如果产量由400400吨增加到吨增加到450450吨时，总

4、成本的平吨时，总成本的平均变化率为：均变化率为：它表示当产量由它表示当产量由400400吨增加到吨增加到450450吨时，平均每吨时，平均每吨增加成本吨增加成本13.72813.728元。元。6表示在产量为表示在产量为400400吨时，再增加吨时，再增加1 1吨产量所增吨产量所增加的成本。加的成本。当产量为当产量为400400吨时再减少吨时再减少1 1吨，即吨，即类似的可以计算当产量为类似的可以计算当产量为400400吨时再增加吨时再增加1 1吨，即吨，即表示在产量为表示在产量为400400吨时，再减少吨时，再减少1 1吨产量所减吨产量所减少的成本。少的成本。7 在经济学中，边际成本定义为产量

5、增加或在经济学中，边际成本定义为产量增加或减少一个单位时所增加或减少的总成本。即减少一个单位时所增加或减少的总成本。即有如下定义：有如下定义：设总成本函数为设总成本函数为C=C(x),C=C(x),且其它条件不变，且其它条件不变，产量为产量为x x0 0 时，增加（减少）时，增加（减少）1 1个单位所增加个单位所增加（减少）的成本叫做产量为（减少）的成本叫做产量为x0时的边际成本，时的边际成本，即：即：8定义定义：设成本函数设成本函数C C（x x）为一可导函数，称）为一可导函数，称为产量是为产量是 时的边际成本。时的边际成本。其其经济意义经济意义是是：若成本函数若成本函数 在区间在区间I I

6、内可导，则称内可导，则称 为为在区间在区间I I内的边际成本函数。内的边际成本函数。9例例2 2：已知某商品的成本函数为：已知某商品的成本函数为：求求（1 1）当）当Q=10Q=10时的平均成本；时的平均成本；（2 2）当）当Q=10Q=10时的边际成本并解释其经济意义。时的边际成本并解释其经济意义。解（解（1 1）平均成本函数为）平均成本函数为当当Q=10Q=10时：时：10（2 2）由）由得边际成本函数为：得边际成本函数为：当产量当产量Q=10Q=10时的边际成本为时的边际成本为5 5，其，其经济意义经济意义为：当产量为为：当产量为1010时，若增加（减少）一个单位时，若增加（减少）一个单

7、位产品，总成本将产品，总成本将近似近似增加（减少）增加（减少）5 5个单位。个单位。112.2.总收益、平均收益、边际收益总收益、平均收益、边际收益 “总收益总收益”是生产者出售一定量产品所得到的是生产者出售一定量产品所得到的全部收入，表示为全部收入，表示为R(x)(x)，其中，其中x x表示为销售量表示为销售量（在以下的讨论中，我们总是假定销售量、产（在以下的讨论中，我们总是假定销售量、产量、需求量均相等）量、需求量均相等）称为称为平均收益函数平均收益函数，表示销售量为，表示销售量为x x时时“平均收益平均收益”。在经济学中，在经济学中，“边际收益边际收益”指生产者每增加指生产者每增加(减减

8、少少)销售一个单位产品所增加销售一个单位产品所增加(减少减少)的销售收入。的销售收入。按照如上边际成本的讨论，可得如下定义：按照如上边际成本的讨论，可得如下定义：12定义定义：设收益函数：设收益函数 R(x)为一可导函数，称为一可导函数，称其其经济意义经济意义是：是：为边际收益函数（为边际收益函数（x x在某区间取值）。在某区间取值）。为销售量量是为销售量量是 时的时的边际收益边际收益。13例例3.3.设某产品的需求函数为设某产品的需求函数为其中其中P P为为价格，价格，x x为需求量，求边际收益函数以及为需求量，求边际收益函数以及x=20 x=20、5050、7070时的边际收益，并解释所得

9、结果的经时的边际收益，并解释所得结果的经济意义。济意义。解：由题设有：解：由题设有：总收益函数为总收益函数为于是边际收益函数为：于是边际收益函数为：14 经济意义经济意义：当销售量为：当销售量为2020个单位时，在增个单位时，在增加销售量可使总收入增加，多销售一个单位产加销售量可使总收入增加，多销售一个单位产品，总收益约增加品，总收益约增加1212个单位；个单位；当销售量为当销售量为5050个个单位时，总收益的变化率为零，增加一个单位单位时，总收益的变化率为零，增加一个单位的销售量，总收益基本保持不变；的销售量，总收益基本保持不变；当销售量为当销售量为7070单位时，在多销售一个单位产品，反而

10、使总单位时，在多销售一个单位产品，反而使总收益约减少收益约减少8 8个单位，或者说，再少销售一个单个单位，或者说，再少销售一个单位产品，将使总收益少损失位产品，将使总收益少损失8 8个单位。个单位。153.3.总利润、平均利润、边际利润总利润、平均利润、边际利润 “总利润总利润”是指销售是指销售x x单位产品所得到的全部单位产品所得到的全部净收入，即总收益与总成本之差，记为净收入，即总收益与总成本之差，记为L L（x x）为总利润，则为总利润，则L（x）=R（x）-C（x）为为“平均利润函数平均利润函数”定义定义：设利润函数：设利润函数L L（x x）为一可导函数，称为一可导函数，称为销售量是

11、为销售量是 时的时的“边际利润边际利润”。16其其经济意义经济意义是：是：17例例4.4.设某工厂每月生产产品的固定成本为设某工厂每月生产产品的固定成本为10001000元元.生产生产x x单位产品的可变成本为单位产品的可变成本为0.01x0.01x2 2+10 x+10 x(元元),),如如果每单位产品的售价果每单位产品的售价3030元元,试求试求:边际成本边际成本,利润利润函数函数,边际利润为零时的产量边际利润为零时的产量.解解 C(x)=0.01x2+10 x+1000所以所以,边际成本函数为边际成本函数为总收入函数为总收入函数为总利润函数为：总利润函数为：L(x)=R(x)-C(x)=

12、-0.01xL(x)=R(x)-C(x)=-0.01x2 2+20 x-1000+20 x-1000于是于是,边际利润函数为边际利润函数为L(x)=0.02(1000-x)L(x)=0.02(1000-x)C(x)=0.02x+10R(x)=px=30 xL(x)=0.02(1000-x)=0 x=1000L(x)=0.02(1000-x)=0 x=100018 可见可见,当月产量为当月产量为10001000个单位时个单位时,边际利润边际利润为零为零,说明当月产量为说明当月产量为10001000个单位时个单位时,再多生再多生产一个单位产品也不会增加利润产一个单位产品也不会增加利润.19 前面所

13、谈到的函数改变量与函数变化率是绝前面所谈到的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与绝对变化率对改变量与绝对变化率.但是仅仅研究函数的绝但是仅仅研究函数的绝对改变量与绝对变化率还是不够的对改变量与绝对变化率还是不够的.例如商品甲例如商品甲每单位价格每单位价格1010元元,涨价涨价1 1元元;商品乙每单位价格商品乙每单位价格10001000元元,也涨价也涨价1 1元元.两种商品价格的绝对改变量两种商品价格的绝对改变量都是都是1 1元元,但各与其原价相比但各与其原价相比,两者涨价的百分比两者涨价的百分比却有很大的不同却有很大的不同,商品甲涨了商品甲涨了10%,10%,而商品乙涨了而商品乙涨了0.1%.

14、0.1%.因此我们还有必要研究函数的相对改变量因此我们还有必要研究函数的相对改变量与相对变化率与相对变化率.二二.弹性弹性1.1.点弹性与弧弹性点弹性与弧弹性20 例如例如 y=xy=x2 2,当当x x 由由1010改变到改变到1212时时,y,y由由100100改变改变到到144,144,此时自变量与因变量的绝对改变量分别此时自变量与因变量的绝对改变量分别为为x=2,y=44x=2,y=44而而这表示当这表示当x=10 x=10改变到改变到X=12,xX=12,x产生了产生了20%20%的改变的改变,y y产生了产生了44%44%的改变的改变.这就是这就是相对改变量相对改变量.这表示在这表

15、示在(10,12)(10,12)内内,从从x=10,xx=10,x改变改变1%1%时时,y,y平平均改变均改变2.2%,2.2%,我们称它为从我们称它为从x=10 x=10到到x=12,x=12,函数函数y=xy=x2 2的的平均相对变化率平均相对变化率.21定义定义设函数设函数y=f(x)y=f(x)在点在点x=xx=x0 0称为函数称为函数f(x)f(x)从从x=xx=x0 0到点到点x=xx=x0 0+x+x两点间的两点间的平均平均相对变化率相对变化率,经济上经济上也叫做这两点间的也叫做这两点间的“弧弹性弧弹性”.”.的某邻域内有定义，的某邻域内有定义，且且 ，如果极限，如果极限存在存在

16、,则称此极限为函数则称此极限为函数y=f(x)y=f(x)在点在点 处的处的点弹性，点弹性，记为记为而称比值而称比值表示表示f(x)在在x=x0处的处的相对变化率相对变化率22由定义可知由定义可知如果函数如果函数y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)内可导内可导,且且f(x)f(x)0 0，则，则称称为函数为函数y=f(x)y=f(x)在在(a,b)(a,b)内的内的点弹性函数，点弹性函数，简称为简称为弹性函数。弹性函数。相对变化率相对变化率平均相对变化率平均相对变化率23 由定义可知，函数的弹性是一个与度量由定义可知，函数的弹性是一个与度量单位无关的量，这使得弹性概念在经济学中单位

17、无关的量，这使得弹性概念在经济学中得到广泛的应用，因为在经济中各种经济变得到广泛的应用，因为在经济中各种经济变量的计量单位是不尽相同的，比较不同商品量的计量单位是不尽相同的，比较不同商品的弹性时不受计量单位的限制。的弹性时不受计量单位的限制。弹性的弹性的经济意义经济意义：1%1%的改变时的改变时,:表示在点表示在点x=xx=x0 0处处,当当x x产生产生f(x)f(x)近似地改变近似地改变242.2.需求对价格的弹性需求对价格的弹性定义：设某商品的市场定义：设某商品的市场需求量为需求量为Q Q，价格为价格为P P，需求函数为需求函数为Q=Q(P)Q=Q(P)可导，则称可导，则称为该商品的需求

18、价格弹性，简称为需求弹性，为该商品的需求价格弹性，简称为需求弹性，通常记为通常记为25 需求弹性需求弹性 表示某商品需求量对价格表示某商品需求量对价格p p变动变动反应的灵敏程度，由于需求量与价格反方向变动，反应的灵敏程度，由于需求量与价格反方向变动，即需求函数为价格的减函数，故需求弹性为负值，即需求函数为价格的减函数，故需求弹性为负值，即即 0 0，因此需求价格弹性表明当商品的价格上，因此需求价格弹性表明当商品的价格上涨（下降）涨（下降）1%1%时，其需求量将减少（增加）约时，其需求量将减少（增加）约 在经济学中，为了便于比较弹性的大小，通在经济学中，为了便于比较弹性的大小，通常取常取 的绝

19、对值的绝对值 并根据并根据 的大小，将需的大小，将需求弹性划分为以下几个范围：求弹性划分为以下几个范围：26（1 1）当）当 时时,称为称为单位弹性单位弹性，这时当商品，这时当商品价格增加价格增加(减少减少)1%)1%时，需求量相应地减少时，需求量相应地减少(增加增加)1%)1%，即需求量与价格变动的百分比相等。，即需求量与价格变动的百分比相等。（2 2）当）当 时时,称为称为高弹性高弹性,这时当商品价格增这时当商品价格增加加(减少减少)1%)1%时，需求量相应地减少时，需求量相应地减少(增加增加)%,)%,即即需求量变动的百分比大于需求量变动的百分比大于1%1%，价格变动对需求量，价格变动对

20、需求量的影响较大。的影响较大。（3 3）当）当 时，称为时，称为低弹性低弹性，这时当商品价格增，这时当商品价格增加加(减少减少)1%)1%时时,需求量相应地减少需求量相应地减少(增加增加)%,)%,即即需求量变动的百分比小于需求量变动的百分比小于1%1%，价格变动对需求量的，价格变动对需求量的影响不大。影响不大。27 在商品经济中，商品经营者关心的是提价在商品经济中，商品经营者关心的是提价 或降价或降价 对总收益的影响，下面我们利用弹性对总收益的影响，下面我们利用弹性的概念来分析需求的价格弹性与销售者的收益之间的概念来分析需求的价格弹性与销售者的收益之间的关系。的关系。事实上事实上,由于由于可

21、见价格可见价格P P的微小变化的微小变化 引起的销售收益引起的销售收益R=PQR=PQ的改变量的近似值为的改变量的近似值为28即即 当当 时，当价格发生时，当价格发生1%1%的改变时，对收的改变时，对收益没有明显的影响；益没有明显的影响；当当 时，需求量增加时，需求量增加(减少减少)的百分比大的百分比大于价格下降于价格下降(上浮上浮)的百分比的百分比,降低价格降低价格 会使消费者用于购买商品的支出增加，这时销售会使消费者用于购买商品的支出增加，这时销售者的收益增加者的收益增加 可以采取薄利多销多收益可以采取薄利多销多收益的经济策略；的经济策略；29 当当 时，需求量增加时，需求量增加(减少减少

22、)的百分比小的百分比小于价格下降于价格下降(上浮上浮)的百分比，降低价格的百分比，降低价格 会会使消费者用于购买商品的支出减少，这时销售者使消费者用于购买商品的支出减少，这时销售者的收益减少的收益减少 ,提高价格会使总收益增加。提高价格会使总收益增加。综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，综上所述，总收益的变化受需求弹性的制约，高弹性商品适合采取薄利多销经济策略；低弹性高弹性商品适合采取薄利多销经济策略；低弹性商品采取提高价格增加经济收益的策略。商品采取提高价格增加经济收益的策略。30例例1 1 设某商品的需求函数为设某商品的需求函数为Q=400-100p,Q=400-100p,求求p=1,

23、2,3p=1,2,3时的需求价格弹性时的需求价格弹性,并给以适当的经济解释并给以适当的经济解释.解解 当当p=1p=1时时,1/31,1/31,31,为高弹性为高弹性,此时降价将使总此时降价将使总收益增加收益增加,提价使总收益减少提价使总收益减少.31例例2 2：已知某种产品的需求弹性在之间：已知某种产品的需求弹性在之间,如果该如果该企业准备明年将价格降低企业准备明年将价格降低10%10%，问这种商品的需，问这种商品的需求量预期会增加多少？总收益预期会增加多少求量预期会增加多少？总收益预期会增加多少？解解：)32当当当当 明年企业降价明年企业降价10%10%，需求量预期将增加约，需求量预期将增加约13%-13%-21%21%；总收益预期将增加约；总收益预期将增加约3%-11%3%-11%。33