常数项级数收敛性判别法.ppt

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1、82 常数项级数收敛性判别法常数项级数收敛性判别法 案例研究案例研究 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College案例案例8.2 正整数平方倒数和正整数平方倒数和：研究下面的级数（1）该级数是否收敛？（2）该级数如果收敛，那 么它收敛到多少？湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College分析分析 我们来求它的n项部分和，依次为因为该级数每一项均是非负的，所以部

2、分和数列是单调增加的.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College抽象归纳抽象归纳正正项级项级数的数的审敛审敛法法若常数项级数 的每一项都是非负的，即 un0(n=1，2，3，)，则称级数 为正项级数正项级数.设正项级数 的部分和为 则部分和构成的 数列 是一个单调增加的数列，即 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College定理定理 正项级数收敛的充要条件是

3、它的部分和数列 有界.比较审敛法比较审敛法 设两个正项级数 和 且(n=1,2,).（1）若级数 收敛，则级数 收敛；（2）若级数 发散，则级数 发散.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College证证 设 当 时，则 有（1）当级数 收敛时，数列 有界，从而数列 有界，所以级数 收敛.（2）当级数 发散时，数列 无界，从而数列 无界，所以级数 发散.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relat

4、ions&Trade College例例1 级数称为p级数级数.试讨论它的收敛性.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College解解 当 时，因为 而级数 发散，所以级数 发散.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College当 时，小矩形的面积比同底的曲边梯形的 面积小，所以有 即级数 的部分和数列有界，所以收敛.综上，当p1时，级数 收敛，当 时，级数 发散.

5、湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College案例案例8.2(1)的解的解 因为 是 级数，且 所以该级数收敛.例例2 判定下列级数的收敛性：（1）（2）解解（1）因为 而等比级数 收敛，所以根据比较审敛法，级数 收敛.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College（2）因为n(n+1)(n+1)2，所以 而级数 是调和级数去掉第一项1所成的级数，因此它是发散的

6、，所以根据比较审敛法，级数 发散.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College比值审敛法比值审敛法 对于一个正项级数 若 则当1（或）时，级数 发散；当=1时，级数 可 能收敛也可能发散.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College例例3 3 判定下列级数的收敛性（1）（2）解解（1）因为所以级数收敛.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业

7、业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College（2）因为所以级数发散.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College交交错级错级数的数的审敛审敛法法一个级数若具有以下形式或具有以下形式则称为交错级数交错级数，其中 例例 下面的级数就是一个交错级数 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College交错级数

8、审敛法交错级数审敛法 若交错级数 满足条 件：(1)(2)则交错级 数 收敛.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College例例4 判别交错级数 的收敛性.解解 因为 所以有 且 所以由交错级数的审敛法知，级 数 收敛.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College绝对收敛与条件收敛绝对收敛与条件收敛定义定义 若级数 中各项可以是正数、负数或零，则级数 称为任意

9、项级数任意项级数.定义定义 若级数 收敛，则称级数 绝对收绝对收 敛敛.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College例例 任意项级数 各项取绝对值所得 的级数为 它是收敛的，所以原级数 绝对收敛.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College问：问：如果一个任意项级数绝对收敛，那么该级数是 否一定收敛呢？定理定理 若级数 绝对收敛，则级数 必收敛.证证 令 于

10、是，有 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College因为 均为正项级数，且 收敛，所以 由比较审敛法知，级数 和 收敛.又因为 所以由收敛级数的性质 2知，级数 收敛.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College例例5 证明级数 收敛.解解 因为 而级数 是 p=4的p级数，它是收敛的，所以由比较审敛法知，级 数 收 敛 .所 以 ，级 数 是 绝 对 收

11、敛 的.从 而 级 数 收敛.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College问：问：收敛级数是否一定绝对收敛？试举例说明.例例是收敛的，但是它的各项取绝对值所成的级数却是发散的.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College若任意项级数 收敛，而级数 发散，则 称级数 条件收敛条件收敛.例例 交错级数 是条件收敛的.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College小小结结：1正项级数：（1）定义；（2）审敛法：充要条件、比较审敛法、比值审敛法；2交错级数：（1）定义；（2）审敛法；3任意项级数：（1）绝对收敛与条件收敛；（2）绝对收敛定理 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College