第7章 正弦稳态分析.ppt

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1、电路简明教程电路简明教程主编主编 余本海余本海中国水利水电出版社中国水利水电出版社7 7 正弦稳态分析正弦稳态分析 7.1 7.1 正弦量正弦量 7.2 7.2 复数复数 7.3 7.3 相量表示法相量表示法 7.4 7.4 相量法基础相量法基础 7.5 7.5 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 7.6 7.6 电阻、电感、电容的电阻、电感、电容的VCRVCR相量形式相量形式 7.7 7.7 阻抗与导纳阻抗与导纳 7.8 7.8 正弦交流电路的相量分析法正弦交流电路的相量分析法 7.9 7.9 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率 7.10 7.10 复功率复功率 7.11 7.1

2、1 最大功率传输最大功率传输本章重点本章重点（1）相量；相量分析法。（2）基本电路元件R、L、C的VCR相量形式；（3）复阻抗；RLC串联电路的VCR相量关系；（4）复导纳；RLC并联电路的VCR相量关系；（5）基尔霍夫定律的相量形式；（6）正弦交流电路的相量分析法；（7）有功功率P，无功功率Q，视在功率S；（8）复功率（9）最大功率传输定理。本章难点本章难点（1）相量分析法；（2）复杂正弦稳态电路的分析；（3）含受控源电路的有源、无源线性二端网络的分析。7.1 7.1 正弦量正弦量正弦量大小和方向随时间按正弦规律变化的 电流或电压。（也称正弦交流电）。正弦交流电路含有正弦交流电源的电路。正弦

3、交流电的三要素频率、初相位、振幅。正弦交流电流数学表达式为：振幅 角频率初相位图7.1 正弦交流电的波形7.1.1 7.1.1 变化的快慢变化的快慢 T T、f f、（1）T周期正弦交流电循环往复变化一周所需的时间。用T表示，单位为秒（s）。T愈大，表示正弦量变化变化愈慢；反之T小，变化快。（2）f频率单位时间（每秒）正弦量变化的次数。频率f愈大，正弦量变化愈快；反之愈慢。用f表示，单位赫兹（Hz或1/s）、千赫兹（kHz）、兆赫兹（MHz）。T与f的关系：f=（3）角频率 正弦交流电变化一个周期，相当于正弦函数变化2弧度，称为电角度。每秒钟内交流电变化的角度即相位随时间变化的速率称为角频率，

4、单位为弧度/秒（rad/s）。7.1.2 7.1.2 变化的起始位置变化的起始位置（1）相位 t+把随时间变化的角度 称为正弦交流电的相位，反映正弦量随时间变化的进程，单位为弧度(rad)或度（）表示。（2）初相位 把t=0的相位角称为正弦量的初相。初相与选择的时间起点有关。离纵轴最近的最大值若在计时零点之左，；反之，在计时零点之右，。（3）相位差相位差两个同频率的正弦量在任一时刻的 相位角之差，反映两个同频率正弦 量的相对位置关系，相位差角 与计时起点无关。则 超前 则 滞后则 与 同相则 与 正交则 与 反相波形如图7.2所示。(a)(b)(c)（d)(e)图7.2 与 的相位差7.1.3

5、 7.1.3 有效值有效值电工中常用有效值反映正弦量在电路中产生的做功效果（即热能，机械能，光能等效应），用大写字母 表示。交流电的有效值是指在相同时间内与交流正弦量平均做功能力等效的直流电数值。在一个周期T内，电阻R消耗的交流电能为 R消耗的直流电能为 由定义知 故有效值又称为均方根值。将 代入上式得：同理有：其物理意义是：最大值为1A 的正弦交流电所消耗的能量与 的直流电在同样时间内耗能相等。交流电压表、交流电流表测得的数值均为有效值。如交流220伏、5A等均指有效值。例7-1 求出正弦电压 伏的有效值、角频率、周期和初相，并绘出其波形图。解：波形图如图7-3所示。图7.3 例7-1的图7

6、.2 7.2 复数复数本节复习有关复数知识，以后再讨论如何用复数表示正弦量并计算正弦量。7.2.1 7.2.1 复数的形式复数的形式复数有四种表示形式。（1）代数形式（2）三角形式 （7-6）（3）复指数形式：由欧拉公式：（4）极坐标形式：上述四种表示形式可以互换，由任一形式通过（7-6）式转换为其它三种形式。它们表示同一复数，只是表示形式不同，一般复数加减运算写成代数形式，乘除运算写为复指数或极坐标形式。7.2.2 7.2.2 复数的运算复数的运算（1）复数的加减：设有两个复数 复数的加减运算即是实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，复数相加或相减可在复数平面上用矢量相加减表示，如图7.5所示

7、。（2）复数的乘、除即模相乘，辐角相加。在复平面上将 复数逆时针旋转 角、并将其扩大 倍，如图7.6（a）所示。即模相除，辐角相减。在复平面上将复数 顺时针旋转 角、并将其缩小 倍，如图7.6(b)所示。（3）旋转 算子图7.7 旋转 90的算子j 若有一个复数 乘以j，则有：在复平面上复数 乘以j就表示模不变，辐角加 ，在复平面上将复数逆时针转，故称j为旋转 的算子。任何复数乘以j，均逆时针旋转，如图7.7所示。（4）旋转因子 ，模为1，辐角为t，旋转角速度为一常数，辐角随时间t变化，故在复平面上它是一个不断旋转的旋转复数，转迹是一个单位圆，如图7.8所示。图7.9 旋转复数 若有一个复数

8、,乘以 ,则 在复平面上复数 乘以 其结果是模不变，辐角 为时间的函数,在复平面上相当于把复数 逆时针方向以 角频率不断旋转，轨迹是一个半径为A的圆，故把 称为旋转因子，任何复数乘以后均变为旋转复数，如图7.9所示。例7-3 已知求 相量用复数表示的正弦量。用复数形式可以表示正弦量，为了与其它复数区别，用 表示，即在I、U、E符号上方标记圆点“”表示电流相量、电压相量、电动势相量。7.37.3相量表示法相量表示法、幅模A表示正弦量的振幅（A=），幅角 表示正弦量的初相（），则可以用 表示复数，写成：称为正弦量的幅值相量。对上式取实部，即得正弦电流：其中 称为旋转相量，称为复常数。相量和复数一样

9、，可以在复平面上用矢量表示出来，如图7.10所示，在复平面上表示的相量称为相量图。图7.10 相量图 在复平面上表示为最大值相量（幅值相量）角频率逆时针旋转，在任一时刻在实轴上的投影，如图7.11所示。旋转相量旋转一周，对应实轴上的投影点往复变化一周，则交流电变化一个周期，如图7.12所示。图7.11 旋转相量 图7.12 旋转相量与正弦量的对应 正弦量可表示为相量，相量也可表示为正弦量。但应注意的是，正弦量不等于相量，也不等于旋转相量，用相量表示正弦量，仅是一种数学变换。正弦量常用有效值表示，则把正弦量的有效值相量称为相量。记为 如何用相量表示正弦量（以电流为例说明。）（1）将正弦量写为余弦

10、函数形式（不是余弦形式的转换为余弦形式）。（2）将余弦函数表示为复指数形式取实部。（3）写出相量形式：即用幅值（或有效值）和初相表示的复数去掉符号“Re”及旋转因子 ，得到幅值相量为：去掉符号“Re”、得到有效值相量为：若线性受控源控制量电压或电流为正弦量，则受控量电压或电流为同频率的正弦量。受控源的相量形式为：VCVS VCCS CCVS CCCS 如VCCS电路模型及其相量模型如图7.13所示。图7.13 VCCS电路模型及其相量模型例7-4 已知，V，写出各正弦量相量，并画出相量图。解：、相量图如图7.14所示，（a）为 、相量，（b）为 相量，因为 不同，不能与 、画在同一相量图上。图

11、7.14 例7-4的图7.4 7.4 相量法基础相量法基础 相量法指相量分析法相量法的重点是将时域内正弦量变换为复数（即相量）进行运算，然后再由复数变换为时域正弦量。在电路分析中，经常进行同频率正弦量的运算，如加、减运算和微、积分运算。7.4.1 7.4.1 相量法步骤相量法步骤（1）用相量表示正弦量。（2）建立相量关系式，由已知相量求解未知相量。（3）将求解的未知相量变换为正弦量。7.4.2 7.4.2 基本相量运算基本相量运算（1）求和运算已知两支路电流 求和电流 两正弦量之和仍为同频率正弦量，设 由相量表示法：任一时刻t，和 均有和电流，由相量表示法知在复平面上它们相对静止，两电流相量

12、与的相量和在实轴上的投影即是和电流 如图7.16所示。图7.16 和电流的相量表示选t=0时刻的旋转的相量即复值常量即可求出 其辐角即为初相。t=0时，和电流相量的投影，等于各电流相量投影之和，则有和电流相量等于电流相量之和。两边除以 ，得：（2）求差（3）求微分可知在时域内微分运算 是将 幅值扩大倍，相位比 超前得到，用相量表示为：（4）求积分：可知在时域内微分运算 是将 幅值缩小倍，相位比 滞后 ，用相量表示为：由上述分析可知，由于正弦量求和、差、微分、积分运算，其结果仍为同频率正弦量，故正弦量频率是已知的，只需求未知正弦量的另二个要素：振幅（或有效值）和初相也就是相量。由于任何时刻t各相

13、量相对静止，大小和相位关系不变，只需求某一时刻的相量即可，因此为简化分析，只考虑 时刻。应注意的是相量法的前提条件是各正弦量是同频率的。相量法实质是将同频率正弦量变换为复数形式，在复数域内进行计算，用复数运算代替三角函数的运算，这样正弦量的和、差、微、积分运算变为相量的和、差、乘、除运算，从而简化了运算，故相量法是分析正弦交流电路的一种数学工具。相量分析法包括相量解析法和相量图法。相量解析法用复数表示正弦量，大小和相位计算可在同一式中进行，用复数的四则运算求解未知正弦量；相量图法把电压，电流相量画在复平面内作出相量图，借助相量图建立关系式，分别求出未知相量大小及相位，是相量解析法的辅助分析方法

14、。用相量法求同频率正弦量的和 与差 及例7-6 已知 解：（1）求 ，用相量法分析。（2）求(3)求 例7-6 图示7.18电路中，RC串联电路 外施电压 V，在 t=0时开关S与电路接通，计算 时的的稳态响应（特解）。图7.18 例7-6的图解：由 电路接通，由基尔霍夫电压定律得：则特解为 为正弦函数稳态响应。用相量法求得。设 则稳态解为 7.5 7.5 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式7.5.1 KCL7.5.1 KCL定律的相量形式定律的相量形式 若电路处于正弦稳态时，所有激励和响应均为同频率正弦量，由KCL定律，在任一瞬时有：(a)(b)将求和与取实部运算次序交换，即各旋转

15、相量取实部之和等于各旋转相量求和取实部，从相量图上看，若旋转相量 在任何时刻投影等于零，则必然有相量 恒等于零。即有 汇于某节点各正弦电流旋转相量取实部的代数和，等于所有旋转相量的代数和取实部，且在任一瞬时恒等于零。如图7.19所示，由KCL定律：写成相量形式：7.5.2 KVL7.5.2 KVL定律的相量形式定律的相量形式 在任一瞬时，对任一回路，沿着任一绕行方向一周，各部分正弦电压，之代数和为零，其中绕向相同者取“+”，反之取“-”。各旋转相量取实部之和等于各旋转相量之和取实部，且在任一瞬时恒等于零。从相量图上看，若旋转相量 在任何时刻投影恒等于零，则相量恒等于零。对任一回路，各部分电压相

16、量之和为零，其中与绕向相同者取“+”，反之取“”。例7-8 如图7.21所示，已知某正弦交流电路中，V,V，V，求 解：用相量法：有：由KVL定律的相量形式：7.6 7.6 电阻、电感、电容的电阻、电感、电容的VCRVCR相量形式相量形式 本节求出这些线性电路元件的VCR相量关系式，为以后用相量法分析电路打下基础。7.6.1 7.6.1 电阻元件电阻元件7.6.1 7.6.1 电阻元件电阻元件如图7.22（a）所示电路 时域VCR关系式 (a)(b)(c)(d)电压是电流的R倍，二者相位相同，波形图如图7.22(b)所示。VCR相量关系式 大小及相位关系为：比 扩大R倍，与 同相位，将 画在同

17、一复平面上，相量图如图7.22(c)所示，相量模型如图7.22(d)所示。、7.6.2 7.6.2 电感元件电感元件（一）VCR时域关系式电路如图7.23（a）所示 由此知：的大小为 的 倍，相位超前 的相位 ，波形图见7.23（b）。(a)(b)(c)(d)(e)（二）VCR相量关系式称为电感电抗，简称感抗，单位欧姆（）相量图如图7.23（c）所示（三）感抗 与 的关系如图7.23(e)所示。7.6.3 7.6.3 电容元件电容元件（一）VCR关系电路如图7.24(a)所示，由此知：的大小为 的 c 倍，相位超前 的相位 ，波形图见7.24（b）。(a)(b)（c）(d)(e)（二）VCR相

18、量关系式相量图如图7.24(c)所示，相量模型，如图7.24(d)所示。（三）容抗例7-9 把一个0.1H的电感元件接到 V的正弦电源上，求电流。若保持电压不变，而电源频率改变为5000Hz，此时电流为多少？解：L=0.1H 若于改为扩大100倍，7.7 7.7 阻抗与导纳阻抗与导纳 图7.25 正弦电源激励下的二端网络图7.26 阻抗 图7.27 导纳Y定义一端口的电压相量与电流相量之比为该端口的阻抗，用Z表示单位为欧姆（）。称为一端口欧姆定律（VCR）的相量形式，等效电路如图7.26所示。阻抗模，阻抗角。定义阻抗的倒数为该端口的导纳，即一端口的电流相量与电压相量之比，用Y表示单位为西（S）

19、。为一端口欧姆定律（VCR）的另一种相量形式，等效电路如图7.26所示。导纳模，导纳角。7.7.1 7.7.1 单一元件单一元件R R、L L、C C的阻抗的阻抗三种基本元件R、L、C的VCR相量形式为：7.7.2 RLC7.7.2 RLC串联电路的阻抗串联电路的阻抗R、L、C串联电路时域模型如图7.28所示。图7.28 RLC串联电路时域模型 图7.29 RLC串联电路相量模型由KVL定律得：（一）用相量解析法求 电路的相量模型，如图7.29所示。令称为电抗，单位与欧姆（）Z参数模型如图7.30所示。图7.30 RLC串联电路Z模型（二）用相量图解法：令由各元件相量模型 在复平面上作出、。由

20、KVL定律：称为电抗电压。在相量图上作出叠加，先作 再由平行四边形求和法则作出 直角三角形，如图7.31所示。由勾股定理求出：图7.31 RLC串联电路相量图 图7.32 阻抗三角形和电压三角形组成的三角形称为电压三角形，其中 电压三角形各边除以电流I，则得R、X、Z组成的阻抗三角形。如图7.32所示。从相量图上可以清晰看出大小关系和相位关系。讨论：超前 端口呈感性；滞后，端口呈容性；与同相位端口呈阻性；求 、；作出相量图；例7-11 如图7.49(a)所示为RLC串联电路，电源电压 求 ，并说明负载性质。C=0.75F,求电流(a)(b)图7.49 例7-11的图 解：电路的相量模型如图7.

21、49(b)所示，用相量法求解 由相量关系式（V）（V）（V）由此得 A 电路呈感性，相量图如图7.50所示。图7.50 例7-11的相量图7.7.3 RLC7.7.3 RLC并联电路并联电路图7.33 RLC并联电路时域模型 图7.34 RLC并联电路相量模型 由KCL定律：（一）用相量解析法：电路的相量模型如图7.34所示。由KCL定律的相量形式，上式可写为称为电纳，单位为西（S），则有 Y称为RLC并联电路的导纳。其中：导纳模 导纳角 Y参数模型如图7.35所示。图7.35 RLC并联电路Y模型（二）用相量图解法：在复平面上作出 、，如图7.36所示。由KCL定律：图7.36 RLC并联电

22、路相量图 图7.37 导纳三角形和电流三角形先作 再由平行四边形求和法则作出 直角三角形，见图7.36所示，可求出 上述电流三角形各边除以U，得G，B，Y组成的导纳三角形，如图7.37所示。由勾股定理求出、组成的三角形称为电流三角形，其中讨论：超前端口呈感性；滞后端口呈容性；与同相7.7.4 Z7.7.4 Z与与Y Y关系关系端口呈阻性。一端口 即可用Z也可用Y参数描述，已知阻抗Z等效变换为导纳Y呈感性；呈容性 已知导纳Y等效为阻抗Z呈感性；呈容性。7.7.5 7.7.5 一般形式一般形式一端口内无源线性网络（含受控源），无论其内部连接多么复杂，对外电路来说，端口电压与电流有效值之比以及电压与

23、电流之间相位差均是定值，因而可等效为阻抗或导纳。若用阻抗 图7.38 一端口无源线性网络 图7.39 阻抗三角形和电压三角形端口等效电阻，端口等效电抗。，端口对外呈现感性，电压超前于电流，可用等效电感 来表示。端口对外呈现容性，电流滞后于电压，可用等效电容 来表示。组成电压三角形，组成阻抗三角形，见图7.39。图7.40 一端口无源线性网络 图7.41 导纳三角形和电流三角形若 用导纳Y描述。如图7.40所示。，端口对外呈现感性（电流滞后电压），用等效电感表示。，端口对外呈现容性（电流超前电压），可用等效电容表示。在复平面上可以用 组成电流三角形，用 组成导纳三角形，如图7.41所示。例7-1

24、2 RLC并联电路如图7.51（a）所示，已知电源电压按正弦规律变化，。；，求端口电流求 ，并说明负载性质；作出相量图。（a）(b)图7.51 例7-12的图解：设 为参考正弦量（V）(S)则：（A）（A）（A）（A）图7.52 例7-12的相量图由此得：电路呈容性。相量图如图7.52所示。7.7.6 7.7.6 阻抗导纳的串并联阻抗导纳的串并联（1）两个阻抗的串联 图7.42 两个阻抗串联 图7.43 两个阻抗并联（2）两个阻抗的并联如图7.43所示,等效阻抗为（3）两个导纳的并联如图7.44所示，其等效导纳为：分流公式：（4）两个导纳的串联，如图7.45所示。分压公式：7.7.7 7.7.

25、7 电路的相量图电路的相量图 可根据相量关系式，由相量平移求和法则，作出相量图。对于电路中的串联部分，以该串联部分电流相量为参考相量，根据VCR关系确定各部分电压相量与该电流相量之间相位角，再根据回路的KVL相量关系式，用相量平移求和法则，画出该串联电路部分各电压相量组成的多边形。作出RLC串联电路 的相量图。图7.46 串联电路相量图 图7.47 并联电路相量图 对于电路中并联部分，以该并联部分电压相量为参考相量，根据VCR关系确定各部分电流相量与该电压相量之间相位角，再根据结点KCL相量关系式，用相量平移求和法则，画出该并联部分各电流相量组成的多边形。如图7.47（a）、(b)所示，作出并

26、联电路 的相量图。在求 时，与先后顺序无关。1.一端口的阻抗和导纳与参数大小（R、L、C）、电源频率、内部电路结构有关。电路结构一定时，及参数变化，Z、Y变化。稳态电路当参数固定不变时，Z、Y是不变的。2.一端口内不含受控源,有 或 ，即 、均在 变化，实部R（或G）为正，说明端口内吸收电功率；含有受控源时，端口可能有或 情况，R（或G）为负，说明端口向外发出电功率。需要注意：图7.54 例7-14图 例7-14 电路如图7.54 所示，试求电压相量 及各支路的电流相量，并分别画出电压相量图及电流相量图。解：由电路图可知：由分压公式：由KVL定律：另一算法：由分流公式：电压相量图及电流相量图如

27、图7.55所示。(a)(b)图7.55 例7-14图7.8 7.8 正弦交流电路的相量分析法正弦交流电路的相量分析法 求解正弦稳态电路采用相量法，电路定律的相量形式是相量法理论基础，即：正弦稳态交流电路在电路复杂时，可对比直流电路的分析方法进行分析计算，如支路电流法、网孔法、回路电流法、结点电压法、迭加原理、戴维宁定理和诺顿定理，同时电压源相量模型与电流源相量模型可以等效变换。与直流电路不同的是，正弦稳态电路的方程以相量形式表示，运用复数运算；直流电路方程以代数形式表示，仅有实数运算。相量法中以相量解析法为主，相量图法为辅对正弦稳态电路进行分析。下面分别采用不同方法求解分析电路。例7-16 电

28、路如图7.59所示，求电压相量 及各支路的电流。图7.59 例7-16的图解：由结点电压法，以b为参考结点，则a点电位 则有 例7-18 如图7.61所示正弦稳态电路，已知 V，求 、。图7.61 例7-18的图解：用网孔法。以 、为网孔电流，绕行方向如图所示。列网孔方程如下：,代入上式整理得：例7-19.已知 V，求图7.62（a）所示正弦稳态电路的戴维宁等效电路。(a)(b)(c)(d)图7.62 例7-19的图解：电路的相量模型如图7.62（b）。V 求：用结点电压法。设0为参考结点，结点1的电位为由KVL定律：将 、代入式（1）式得：、求:用加压求流法。将原电路中独立电源用短路替代，在

29、ab端施加电压得到 ，如图示7.62（c）所示。则求得ab的等效阻抗 由KVL：（2）将 代入（2）式，得：则戴维宁等效电路相量模型如图7.62（d）所示。7.9 7.9 正弦交流电路的功率正弦交流电路的功率本节引入新概念瞬时功率有功功率无功功率 视在功率复功率及功率因数。7.9.1 7.9.1 瞬时功率瞬时功率图7.63 一端口电路的瞬时功率瞬时功率反映一端口电路N在能量转换过程中的状态。图示7.63所示为一端口含源电路N（或不含源电路），其吸收的瞬时功率为：正弦稳态电路 、均为同频正弦量，其电压与电流之间相位差为 ，则有：、波形如图7.64所示。图7.64 、波形、在 关联正方向下，及 时

30、p0，一端口发出功率，说明此时储能元件不仅供给内部能量损耗，还向端口外供能。从式（7-85）可以看出，瞬时功率由两部分组成：第一部分恒大于零，表明在任何时刻t均存在吸收功率，是一个大小变化而能量传输方向不变的瞬时功率分量，表明耗能的速率；第二部分是按正弦二倍频率规律变化的瞬时功率分量，其吸收能量与发出能量在一个周期内相等，平均功率为零，该瞬时分量表明一端口与外电路之间能量往返的速率。7.9.2 7.9.2 有功功率（平均功率）有功功率（平均功率）P P 定义为一个周期内瞬时功率的平均值，又称为有功功率。反映一端口一个周期内平均耗能多少。P单位为瓦（W），称为功率因数，称为功率因数角，即电压与电

31、流相位差也即端口阻抗角。当一端口内为纯电阻时，(7-86)当一端口内为纯电感时 当一端口内为纯电容时，说明L、C不是耗能元件，R是耗能元件。当一端口为RLC串联连接组成的电路时，由电压三角形知 如图7.65所示 图7.65 电压三角形 图7.66 电流三角形 当一端口内为R、L、C连接组成的任一无源二端网络，无论其多么复杂，均由若干支路构成，每个支路均看成RLC串联电路形式。由功率守恒原理，端口总的耗能等于各支路耗能之和，也即各支路电阻耗能之和。第k条支路电压有效值，第k条支路电流有效值 第k条支路功率因数角。（7-87）该一端口用等效阻抗 描述，则有该一端口用等效导纳 描述，则有综上所述，一

32、端口为无源二端网络时，有功功率P由式（7-86）、（7-87）、（7-88）、（7-89）均可求出。（7-89）（7-88）7.9.3 7.9.3 无功功率无功功率Q Q 定义无功功率Q为瞬时功率无功分量的最大值，反映一端口内部与端口外电路能量交换的最大规模。（7-90）单位为乏（var）。工程上如电动机电场与磁场能量转换，用无功功率来衡量。当一端口为纯电阻时，当一端口为纯电感时，当一端口为纯电容时，说明R不是贮能元件，L、C是贮能元件。当端口为RLC串联电路时，由图7.65电压三角形可知，当端口为RLC并联电路时，由图7.66电流三角形可知，由此可知，无功功率为贮能元件L和C吸收或释放功率。

33、电感无功与电容无功互相补偿。工程上认为电感吸收无功，电容发出无功，二者加以区别。是方向相反，L、C之间进行能量交换。如图7.68(a)、(b)所示，仍有 RLC并联电路，滞后电压 ，、RLC串联电路，超前 ，、方向相反，L与C之间进行能量交换，如图7.67(a)、(b)所示，是 超前 的角度，则 ，瞬时功率 （a）(a)图7.67 RLC串联电路中的 和 (b)(b)图7.68 RLC并联电路中的 和 当一端口为任意无源复杂电路，均由若干个支路构成，每一支路均看成RLC串联电路形式，由功率守恒原理，端口总的无功功率等于各支路无功功率之和。即：（7-91）当该一端口用等效阻抗 描述时，则有：（7

34、-92）当该一端口用等效阻抗 描述时，则有：（7-93）综上所述，求无源线性一端口网络无功功率，可用式（7-90）、（7-91）（7-92）、（7-93）公式求出。7.9.4 7.9.4 视在功率视在功率定义视在功率为端口电压有效值与电流有效值的乘积。（7-94）视在功率单位为伏安（VA）。反映外电路向一端口提供的最大有功功率。时，S=P=UI，工程上常用视在功率表示电气设备在额定电压、额定电流情况下最大的荷载能力，称为容量。（7-95）P、Q、S、四者关系为：工程上常用功率因数 表示电源能量的利用率，表示能量转化为有功功率的比例。若不含独立源的一端口电路的阻抗角 为 （7-96）阻抗角 又称

35、为功率因数角。愈大，则电气设备获取的有功功率愈高，所需无功功率愈少，传输效果好，电源利用率就愈高。7.9.5 7.9.5 功率因数功率因数 例7-20 三个支路并联如图7.69所示，电路电压为220V，电路参数 解：求电路总P、Q、S和功率因数 图7.69 例7-29的图 呈容性 呈感性 端口呈容性。7.10 7.10 复功率复功率定义复功率 单位为伏安（VA）。若为无源一端口网络时，等效阻抗 等效导纳 当一端口电路呈感性 当一端口电路呈容性 在相量图中可以用功率三角形表示P、Q、的关系，如图7.70所示。图7.70 功率三角形P、Q、_功率三角形_电压三角形_阻抗三角形(a)(b)图7.70

36、 阻抗三角形、电压三角形、功率三角形三者关系对于无源线性一端网络，当用等效阻抗 表示时，则 组成电压三角形，将其缩小I倍，为阻抗三角形，将其扩大I倍，为功率三角形，如图7.70(a)所示。用等效导纳 表示时，则 组成电流三角形，将其缩小U倍，得到导纳三角形，将其扩大U倍，得到功率三角形。如图7.70(b)所示。复功率守恒，有功功率守恒，无功功率守恒，即：视在功率不守恒，即 例7-21 已知负载电压与电流相量为：（a）（b）。求（1）负载的等效复阻抗、电阻、电抗；（2）负载的复导纳、电导、电纳；（3）负载的有功功率P、无功功率Q、视在功率S、功率因数 ；（4）复功率 解：（a）(b)例7-22

37、如图7.71所示,感性负载接在50Hz、380V 的电源上，消耗的功率P=20kw，并联电容前后电源电流各为多少？该负载等效欲将电路的功率因数提高到0.9，求应并联多大电容阻抗Z及等效电阻R与等效电感L之值。图7.71 例7-22的图解：并联电容前后有功功率不变，电压不变。（感性）并联电容前后电流、比较可知，并联电容后电源提供电流变小。7.11 7.11 最大功率传输最大功率传输负载 讨论从电源中获取最大功率的条件 已知交流电源 若内阻抗为 负载 是变化的，如图7.72所示。图7.71 最大功率传输使负载获得电流最大有 此时负载功率为：时负载获得最大功率。因此负载获得最大功率的条件是：即负载阻

38、抗与电源内阻抗互为共轭复数时，也即负载与信号源匹配状态，处于负载吸收功率最大，称为最大功率匹配或共轭匹配。最大功率为 特殊地，如信号源内阻是纯电阻，则负载也应是电阻性的才能获得最大功率。有源线性一端口电路，则该电路由戴维宁定理等效为 与，负载获得最大功率条件为：获取的最大功率为：时，有源线性一端口当负载为 电路由诺顿定理等效为 与 时，负载获得最大功率条件为：获取的最大功率为：例7-23 电路如图7.72（a）所示，求（1）负载 获得的最大功率。(a)(b)图7.72 例7-23的图解：由戴维宁定理求出ab端口以左的等效电路如图7.72（b）所示。由共轭匹配条件：获得最大有功功率：（3）若 例7-24 已知：受控源转移电阻，求从图7.73（a）所示有源二端网络能获得的最大功率为多少？(a)(b)图7.73 例7-24的图解：求ab端口左边戴维宁等效电路，如图7.73（b）所示。ab两端开路电压为：求ab等效阻抗 ：将ab端口短路，其短路电流 为:时负载获得的最大功率为：本章结束