六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题.doc

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1、 六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F(x)af(x)2bf(x)c(a0)的最值问题，可以考虑用配方法例1已知函数y(exa)2(exa)2(aR，a0)，求函数y的最小值 解：y(exa)2(exa)2(exex)22a(exex)2a22.令texex，则f(t)t22at2a22.因为t2，所以f(t)t22at2a22(ta)2a22的定义域为

2、2，)因为抛物线yf(t)的对称轴为ta，所以当a2且a0时，yminf(2)2(a1)2；当a2时，yminf(a)a22. 答案 a22.点评：利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决2换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数

3、最值问题如可用三角换元解决形如a2b21及部分根式函数形式的最值问题例2设a，bR，a22b26，则ab的最小值是_解析：因为a，bR，a22b26，所以令acos ，bsin ，R.则abcos sin 3sin()，所以ab的最小值是3. 答案 3. 点评：在用换元法时，要特别注意换元后新元的取值范围如本题换元后中间变量R，这是由条件a，bR得到的3不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法常常使用的基本不等式有以下几种：a2b22ab(a，b为实数)，(a0，b0)，ab2(a，b为实数)例3函数f(x)(0xt4,00)上的最小值为

4、_解析：因为f(x)ln x1，所以当x时，f(x)0，f(x)单调递增当0tt2时，t无解；当0tt2，即0t时，f(x)minf； 当tt2，即t时，f(x)在t，t2上单调递增，f(x)minf(t)tln t. 所以f(x)min点评：本题是函数在不定区间上的最值问题，因此区间的位置要全部考虑到，不要遗漏5导数法设函数f(x)在区间a，b上连续，在区间(a，b)内可导，则f(x)在a，b上的最大值和最小值应为f(x)在(a，b)内的各极值与f(a)，f(b)中的最大值和最小值利用这种方法求函数最值的方法就是导数法例5函数f(x)x33x1在闭区间3,0上的最大值，最小值分别是_，_.解

5、析：因为f(x)3x23，所以令f(x)0，得x1(舍正)又f(3)17，f(1)3，f(0)1，易得，f(x)的最大值为3，最小值为17. 答案 3 ，17. 点评：(1)利用导数法求函数最值的三个步骤：一是求函数在(a，b)内的极值，二是求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)，三是比较上述极值与区间端点函数值的大小，即得函数的最值(2)函数的最大值点及最小值点必在以下各点中取得，导数为零的点，导数不存在的点及区间端点6数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多

6、失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径例6对a，bR，记max|a，b|函数f(x)max|x1|，|x2|(xR)的最小值是_解析：由|x1|x2|，得(x1)2(x2)2，解得x.所以f(x)其图象如图所示由图形，易知当x时，函数有最小值，所以f(x)minf. 答案 . 点评：用数形结合的方法求解函数最值问题，其关键是发现条件中所隐含的几何意义，利用这个几何意义，就可以画出图形，从而借助图形直观地解决问题如将本题化为分段函数的最值问题后，可以用分段求解函数最值的方法去解二、巧用数形结合妙解3类求参数问题数形结合就是根据数学问题的条件与结论的内在联系，既要分析问题的代数含义

7、，又要揭示其几何意义，把“数”与“形”巧妙地结合起来，并利用“结合”寻找解题的思路，使问题得到圆满解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的互相转化来解决问题的一种重要思想方法通过“以形助数，以数辅形”把复杂问题简单化，抽象问题具体化，充分利用形的直观性和数的严谨性来思考问题，拓展了思路，这就是数形结合的核心价值通过以下三个方面体会数形结合思想的运用1通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值例1已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是()A(1,10)B(5,6) C(10,12) D(20,24)解析：画出函数f(x)的图

8、象，再画出直线yd(0d1)，如图所示，直观上知0a1,1b10,10c12，再由|lg a|lg b|，得lg alg b，从而得ab1，则10abc12. 答案C点评：通过图形可以发现a，b，c所在的区间，再把绝对值符号去掉，就能发现ab1，这样利用数形结合就可把问题化难为易了2.通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围例2已知mR，函数f(x)x22(m21)x7，g(x)(2m2m2)xm.(1)设函数p(x)f(x)g(x)如果p(x)0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数m的取值范围；(2)设函数h(x)是否存在m，对于任意非零实数a，总存在唯一非零实数

9、b(ba)，使得h(a)h(b)成立？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由解析：(1)因为p(x)f(x)g(x)x2mx7m，令p(x)0，因为方程在(1,5)内有实数解，且没有重根由p(x)0，得m2(x1)，因为1x5，令tx1，则2t6，如图所示，所以m24. 当m24时，p(x)0有两个相等的根，所以实数m的取值范围是m24.(2)由题意，得当x0时，h(x)x22(m21)x7，h(x)在区间0，)上单调递增；当x0时，h(x)(2m2m2)xm，h(x)在区间(，0)上单调递减记Ah(x)|x0，Bh(x)|x0时，如图(1)知，由于h(x)在(0，)上是增函数，若存在非零实数

10、b(ba)，使得h(a)h(b)，则b0，且AB，即m7；()若a0，且BA，即m7.综合()()，知所求m7.现在证明充要性：必要性：由求解过程知必要性成立；充分性：当m7时，AB，对于a0，则b(ba，且ab0)，使得h(a)h(b)点评：第(1)问含有参数的二次方程或分式方程在区间(1,5)内有解且无重根，纯粹从数的角度去理解是相当困难的，通过分离变量，把方程化归为函数m(1x0，存在ba，使得h(a)h(b)的条件是m7；反过来，对于a0，存在ba，使得h(a)h(b)的条件是m7.3通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围例3如果函数y1(|x|2)的图象与函数yk(x2)4的图象有两个交点，那么实数k的取值范围是_解析：函数y1的值域为1,3，将y1两边平方，得x2(y1)24，考虑到函数的值域，函数y1的图象是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A(2,1)和点B(2,1)；函数yk(x2)4是过定点P(2,4)的直线画出两函数的图象如图所示，易得实数k的范围是. 答案点评：函数y1的图象是半圆，像这样由圆或圆锥曲线的部分图形构成的函数图象，在基本初等函数中没有涉及，应该把它和对勾函数yx作为“基本初等函数”来掌握典例3的等价命题是方程式3k(x2)在2,2上有两个不同的实根，求实数k的取值范围9