江苏省连云港市2023届高三下学期2月调研数学试题（解析版）.docx

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1、 连云港市2023届高三2月调研考试数学试题注意事项：1考试时间120分钟，试卷满分150分.2答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.3请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的共轭复数是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算化简，根据共轭复数的概念可得答案.【详解】,故的共轭复数为 ，故选：B2. 已知全集，则集合（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由可知集合中的元素，再由即可求得集合.【

2、详解】由知，又因为，所以.故选：A 3. 现要从A，B，C，D，E这5人中选出4人，安排在甲、乙、丙、丁4个岗位上，如果A不能安排在甲岗位上，则安排的方法有（ ）A. 56种B. 64种C. 72种D. 96种【答案】D【解析】【分析】根据是否入选进行分类讨论即可求解.【详解】由题意可知：根据是否入选进行分类：若入选：则先给从乙、丙、丁3个岗位上安排一个岗位有种，再给剩下三个岗位安排人有种，共有种方法；若不入选：则4个人4个岗位全排有种方法，所以共有种不同的安排方法，故选：.4. 若函数在区间上的最大值为，则常数的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简

3、函数解析式为，由可求得的取值范围，利用正弦型函数的基本性质求出的最大值，结合已知条件可求得的值.【详解】，当时，则函数的最大值为，解得.故选：C.5. 二项式的展开式中常数项为（ ）A. 80B. C. D. 40【答案】B 【解析】【分析】求出展开式的通项，再令的指数等于0，即可得出答案.【详解】解：二项式的展开式的通项为，令，则，所以常数项为.故选：B.6. 已知正四面体，点为线段的中点，则直线与平面所成角的正切值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】作出图形，找出直线与平面所成角的平面角，在三角形内即可求解.【详解】如图，过点向底面作垂线，垂足为，连接，过点作于G，连

4、接， 由题意可知：且，因为平面，所以平面，则即为直线与平面所成角的平面角，设正四面体的棱长为2，则， 所以，则，在中，由余弦定理可得：，在中，所以，所以直线与平面所成角的正切值是，故选：.7. 在某地区进行流行病调查，随机调查了100名某种疾病患者的年龄，发现该100名患者中有20名的年龄位于区间内已知该地区这种疾病的患病率为0.15%，年龄位于区间内人口占该地区总人口的30%现从该地区任选一人，若此人年龄位于区间内，则此人患该疾病的概率为（ ）A. 0.001B. 0.003C. 0.005D. 0.007【答案】A【解析】【分析】利用条件概率公式计算即可.【详解】设从该地区任选一人，若此人

5、年龄位于区间内为事件A，此人患该疾病为事件B，则 .故选：A.8. 已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为（ ）A B. C. D. 【答案】A【解析】 【分析】作出图形，设，由三角形相似得到，得到圆锥的表面积为，令，由导函数得到当时，圆锥的表面积取得最小值，进而得到此时与，作出圆锥的外接球，设外接球半径为，由勾股定理列出方程，求出外接球半径和表面积.【详解】设圆锥的顶点为，底面圆的圆心为，内切球圆心为，则，因为，所以，则，设，故，由得：，由得：，故，所以，解得：，所以圆锥的表面积为，令，当时，当时， 故在上单调递减，在上单调递增，故

6、在时取得最小值，此时，设圆锥外接球球心为，连接，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，故其外接球的表面积为.故选：A【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 设，是三个非零向量，且相互不共线，则下列说法正确的是（ ）

7、A. 若，则B. 若，则C. 若，则不与垂直D. 不与垂直【答案】AB 【解析】【分析】A选项，两边平方计算出，得到垂直关系；B选项，计算出，得到垂直关系；C选项，计算出，得到垂直关系，D计算出，得到D正确.【详解】，是三个非零向量，A选项，两边平方得：，即，故，则，A正确；B选项，因为，所以，故，B正确；C选项，故，则与垂直，C错误；D选项，故与垂直，D错误.故选：AB10. 折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1）图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分），若扇形的

8、两个圆弧所在圆的半径分别是1和3，且，则该圆台（ ）A. 高为B. 表面积为C. 体积为D. 上底面积、下底面积和侧面积之比为【答案】BCD【解析】【分析】求得圆台的上下底面半径，根据圆台的结构特征可求得圆台母线长和高，判断A；根据圆台的侧面积以及体积公式求得表面积和体积，判断B，C；进而求得上底面积、下底面积和侧面积之比，判断D. 【详解】对于A，设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，则，解得,所以圆台的母线长为，高为，选项A错误；对于B，圆台的上底面积为，下底面积为，侧面积为，所以圆台的表面积为，选项B正确；对于C，圆台的体积为 ，选项C正确；对于D，圆台的上底面积、下底面积和侧面积之比

9、为，选项D正确，故选：BCD11. 已知抛物线C：的焦点为F，直线l与C交于，两点，其中点A在第一象限，点M是AB的中点，作MN垂直于准线，垂足为N，则下列结论正确的是（ ）A. 若直线l经过焦点F，且，则B. 若，则直线l的倾斜角为C. 若以AB为直径的圆M经过焦点F，则的最小值为D. 若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相切【答案】BC【解析】【分析】A选项，考虑直线斜率为0和不为0两种情况，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由列出方程，求出，A错误；B选项，先得到直线经过抛物线焦点，与A一样，设出直线方程，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，结合求出直线l的斜率，得

10、到倾斜角；C选项，设，由抛物线定义结合基本不等式得到的最小值；D选项，与C一样，考虑直线l不经过焦点时，得到圆M与准线相离，D错误.【详解】A选项，由题意得：，准线方程为，当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意， 故设直线，与联立得：，故，则，所以，解得：，A错误；B选项，因为，所以三点共线，即直线经过抛物线焦点，当直线的斜率为0时，此时，直线l与C只有1个交点，不合题意，故设直线，与联立得：，故，因为，所以，代入中，得到，即，因为点A在第一象限，所以，故，即，解得：故直线l的斜率为，设直线l的倾斜角为，则，解得：，B正确；C选项，设，过点作准线于点，过点作准线于点P，因为

11、以AB为直径的圆M经过焦点F，所以，则， 由抛物线定义可知：，由基本不等式得：，则，当且仅当时，等号成立，故，即，C正确；D选项，当直线l不经过焦点时，设，由三角形三边关系可知：，由抛物线定义可知结合C选项可知：，即，若以AB为直径作圆M，则圆M与准线相离，D错误.故选：BC【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围12. 利用“”可得到许多与n（且）有关的结论，则正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案

12、】ABD【解析】【分析】先证明出，当且仅当时，等号成立，A选项，令，得到，累加后得到A正确；B选项，推导出，当且仅当时等号成立，令，可得，累加后得到B正确；C选项，推导出 ，累加后得到C错误；D选项，将中的替换为，推导出，故，当且仅当时，等号成立，累加后得到D正确.【详解】令，则，当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增，故在处取得极小值，也时最小值，故，当且仅当时，等号成立，A选项，令，所以，故，其中，所以，A正确；B选项，将中的替换为，可得，当且仅当时等号成立，令，可得，所以，故，其中所以，B正确；C选项，将中的替换为，显然， 则，故，故，C错误；D选项，将中的替换为，其中，则，则，故，当

13、且仅当时，等号成立，则，D正确.故选：ABD【点睛】导函数证明数列相关不等式，常根据已知函数不等式，用关于正整数的不等式代替函数不等式中的自变量，通过多次求和（常常用到裂项相消法求和）达到证明的目的.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是，则这个圆的方程是_.【答案】；【解析】【分析】先求出圆的圆心和半径，即得圆的方程.【详解】由题得圆心的坐标为，即.圆的半径为.所以圆的方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14. 为了研究高三（1）班女生的身高x（单位；cm）与体重y（单位：kg

14、）的关系，从该班随机抽取10名女生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其回归直线方程为已知 ，该班某女生的身高为170cm，据此估计其体重为_kg【答案】54.5【解析】【分析】计算出样本中心点，代入回归直线方程，得到，从而估计出该女生的体重.【详解】，故，解得：，故回归直线方程为，则当时，(kg).故答案为：54.515. 直线与双曲线相交于A，B两点，且A，B两点的横坐标之积为9，则离心率=_.【答案】#【解析】【分析】设出点的坐标，利用横坐标之积求出坐标，代入双曲线方程求出a，进一步求出离心率【详解】由A，B两点在直线上，设，因为A，B两点关于原点对称，所以，由A，

15、B两点的横坐标之积为9得，解得，所以，代入双曲线方程得，所以，所以，所以离心率为.故答案为：16. 已知定义在R上的函数 ，若 有解，则实数a的取值范围是 _【答案】【解析】【分析】分析 的奇偶性和单调性，根据奇偶性和单调性求解.【详解】 ，所以 是奇函数，又 ， 在R的范围内是增函数， 有解等价于 ， 有解，令 ，当 时， 是增函数，当x趋于 时， 趋于 ，满足题意；当 时，当 时， ， 是增函数，当 时， 是减函数， ；令 ，则 ，当 时， ， 增函数，当 时， 是减函数，并且当 时， ， ， 当 时 ，即当 时， 满足题意，所以a的取值范围是 ；故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共7

16、0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知数列的前n项和为，且（1）证明：数列是等差数列； （2）设数列的前n项积为，若，求数列的通项公式【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）由通项与前项和的关系结合等差的定义证明即可；（2）由等差数列通项公式得出，再由题设定义得出数列的通项公式【小问1详解】当时，当n2时，所以，所以（常数），故数列是以为首项，2为公差的等差数列【小问2详解】由（1）知，得，当n2时，当时，不符合上式，故18. 为了丰富在校学生的课余生活，某校举办了一次趣味运动会活动，学校设置项目A“毛毛虫旱地龙舟”和项目B“袋鼠接力跳”甲、乙两班每班分成两组

17、，每组参加一个项目，进行班级对抗赛每一个比赛项目均采取五局三胜制（即有一方先胜3局即获胜，比赛结束），假设在项目A中甲班每一局获胜的概率为，在项目B中甲班每一局获胜的概率为，且每一局之间没有影响（1）求甲班在项目A中获胜的概率；（2）设甲班获胜的项目个数为X，求X的分布列及数学期望 【答案】（1） （2）分布列见解析，【解析】【分析】（1）记“甲班在项目A中获胜”为事件A，利用独立事件的乘法公式求解即可；（2）先算出“甲班在项目B中获胜”的概率，然后利用独立事件的乘法公式得到X的分布列，即可算出期望【小问1详解】记“甲班在项目A中获胜”为事件A，则，所以甲班在项目A中获胜的概率为【小问2详解】

18、记“甲班在项目B中获胜”为事件B，则，X的可能取值为0，1，2，则，所以X的分布列为X012P所以甲班获胜的项目个数的数学期望为19. 已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且（1）求; （2）若,求外接圆的半径R【答案】（1） （2）【解析】【分析】(1)将写为代入化简可得,根据,即可得;(2) 由正、余弦定理可将化简为,进一步化简可得,结合,再根据正弦定理即可得外接圆半径.【小问1详解】解:因为,所以,所以,因为,所以,所以,又,所以;【小问2详解】因为,所以在中,由正、余弦定理得:,所以,故,由正弦定理得所以外接圆半径为. 20. 如图，直三棱柱内接于圆柱，平面平面（1）证明：为圆

19、柱底面的直径；（2）若M为中点，N为中点，求平面与平面所成锐二面角的余弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质定理证明平面，继而证明平面，根据线面垂直的性质定理证明，即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面与平面的法向量，根据空间向量的夹角公式，即可求得答案.【小问1详解】证明：连接，在直三棱柱中，四边形为正方形，又平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，又平面，平面， 又，,平面，平面，又平面，为圆柱底面的直径【小问2详解】由已知平面，以为正交基底建立空间直角坐标系，为，中点，设平面的一个法向量为则，又，取，得，设平面的一个法向量为

20、则，又，取，得， ，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为21. 已知函数（1）求函数在区间上的最大值；（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用导数分析函数在上的单调性，即可求得函数在上的最大值；（2）由可得出，令，可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围.【小问1详解】解：当时，则，所以，函数在上单调递增，所以，.【小问2详解】解：函数的定义域为，由可得，令，其中，则，令，其中，则，所以，函数在上为减函数，且，当时，则，所以，函数在上单调递增，当时，则，所以，函数在上单调递减，所

21、以，令，其中，则，则函数在上为增函数， 因为，则存在，使得，当时，；当时，.由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，如下图所示：由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，故实数的取值范围是.【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.22.

22、已知椭圆E：的焦距为，且经过点（1）求椭圆E的标准方程：（2）过椭圆E的左焦点作直线l与椭圆E相交于A，B两点（点A在x轴上方），过点A，B分别作椭圆的切线，两切线交于点M，求的最大值【答案】（1） （2）2【解析】【分析】（1）由待定系数法求解析式； （2）设出直线方程，由韦达定理法及导数法求得两切线方程，即可联立两切线方程解得交点M，再由弦长公式及两点距离公式表示出，进而讨论最值.【小问1详解】由题意得，所以，即椭圆方程为；【小问2详解】当直线l斜率为0时，A，B分别为椭圆的左右顶点，此时切线平行无交点故设直线l：，由，得，.不妨设在x轴上方，则在x轴下方椭圆在x轴上方对应方程为，则A处切线斜率为，得切线方程为，整理得.同理可得B处的切线方程为由得，代入得，所以 因为，所以设，则，则，当且仅当，即时，的最大值是2另解：当直线l的斜率存在时，设l：，由得，所以，椭圆在x轴上方的部分方程为，则过的切线方程为，即，同理可得过的切线方程为.由得 设，则，所以直线l的方程为，所以.，令，则，所以，当时，即时，取得最大值，为2【点睛】直线与圆锥曲线问题，一般设出直线，联立直线与圆锥曲线方程，结合韦达定理表示出所求的内容，进而进行进一步讨论.