福建省泉州市2023届高三毕业班质量监测（二）数学试题（解析版）.docx

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1、 泉州市2023届高中毕业班质量监测（二）高三数学木试卷共22题，满分150分，共8页考试用时120分钟注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2考试作答时，将答案答在答题卡上请按照题号在各题的答题区（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效在草稿纸、试题卷上答题无效3选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚4保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项

2、是符合题目要求的1. 若集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数函数性质解指数不等式得集合，再根据交集的概念运算即可.【详解】解：由于，所以，则，又，所以.故选：B.2. 已知向量，满足，则在方向上的投影向量为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据向量的数量积运算，对两边同时平方得到，再由投影向量的定义即可求解. 【详解】由已知条件得：，即，又在方向上的投影向量为，故选：A.3. 记等差数列的前n项和为若，则下列一定成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设等差数列的公差为，结合等差数列的通项公式和条件得到，再根据等

3、差数列的前n项和公式判断各选项即可.【详解】设等差数列的公差为，由，得，即.对于A选项和B选项：，当时，；当时，；当时，；所以A选项和B选项错误；对于C选项：，所以C选项正确；对于D选项：，当时，；当时，；当时，；所以D选项错误；故选：C.4. 萃取是有机化学实验室中用来提纯和纯化化合物的手段之一研究发现，用总体积相同的有机萃取液对某化合物进行萃取，采用少量多次的方法比全量一次的萃取率高已知萃取率与萃取次数满足，为分配比、现欲用有机萃取液，对含四氧化锇的水溶液进行萃取，每次所用有机萃取液的体积为，分配比为14要使萃取率达到 以上，则至少需要经过的萃取次数为（参考数据：）（ ）A. 4B. 5C

4、. 6D. 7【答案】B【解析】【分析】根据题意确定各参数值，代入等式，利用指对互化和对数函数运算即可得所求.【详解】解：由题可知萃取率与萃取次数满足，其中分配比，萃取率，则，所以，则，即，所以至少需要经过的萃取次数为.故选：B.5. 如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据给定的函数图象，由函数值域、定义域分别判断A，C；探讨在上函数的最值判断B；分析函数在R上的性质判断D作答.【详解】观察图象知，图象对应函数的定义域为R，值域为（a为正常数），函数在R 上单调递增，其图象过原点，对于A，函数的定义域为R，值域为，不符合题

5、意，A不是；对于B，函数的定义域为R，当时，当且仅当时取等号，因此函数在上有最大值1，不符合题意，B不是；对于C，函数有意义，解得，即函数的定义域为，不符合题意，C不是；对于D，函数的定义域为R，当时，因为函数在R上单调递增，则函数在R上单调递减，因此在R上单调递增，又，即，因此，则函数的值域为，所以函数符合题意，D是.故选：D6. 已知椭圆的左焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，与轴交于点若，则的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设出直线方程，求出点坐标，由，得出点坐标代入椭圆方程，化简可得结果.【详解】设直线为，为的中点，. 在椭圆上，代入化简整理得，解得，又

6、.故选：C7. 某停车场行两排空车位，每排4个，现有甲、乙、丙、丁4辆车需要泊车，若每排都有车辆停泊，且甲、乙两车停泊在同一排，则不同的停车方案有（ ）A. 288种B. 336种C. 384种D. 672种【答案】D【解析】【分析】分两类情况，甲、乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，与丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，计算可得.【详解】甲乙两车停泊在同一排，丙、丁两车停泊在同一排时，种方案，丙、丁选一辆与甲、乙停泊在同一排，另一辆单独一排，种方案，所以共有种方案.故选：D8. 若，则a，b，c，d中最小的是（ ）A. aB. bC. cD. d【答案】B【解析】【分

7、析】先将，变换为：，得到，设， ，结合导数和作差法得到，得到，最后设，利用导数比较和，即可得到，中最小值.【详解】因为，所以；又，所以，设，则，当时，所以在上单调递增，则，即，所以，即；则，设，则，令，则，当时，所以在上单调递增，因为，所以，则时，所以在上单调递减，所以有，即，则，综上：， ，即，中最小的是.故选：B.【点睛】关键点睛：构造函数比较大小是高考热点和难点，结合代数式的特点，选择适当的函数，通过导函数研究出函数的单调性，从而比较出代数式的大小，本题中，对进行变形得到 ，利用作差法比较和，从而构造函数，；比较和时，观察代数式的形式，从而构造函数，是解决本题的关键.二、选择题：本题共4

8、小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 已知函数是的一个极小值点，是与其相邻的一个零点将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则（ ）A. B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】根据给定信息，求出判断AB；求出函数及的解析式，再判断CD作答.【详解】因为是函数的一个极小值点，且是与其相邻的一个零点，于是的周期，而，则，A正确；又，则，即，而，因此，B错误；，于是得，则，C正确；，则，D正确.故选：ACD10. 在正三棱柱中，M，N，P分别为棱的中点，则错误的是（ ）A. 平面B. 平面 C. 三棱锥的

9、体积为D. 平面截该正三棱柱所得的截面图形为五边形【答案】CD【解析】【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，由空间向量法判断选项AB，由求得棱锥体积判断选项C，作出截面判断选项D【详解】取中点，连接，则，又平面与平面垂直，以为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则轴在平面内且与平行，由已知，因此有，设平面一个法向量为，则，取，则，即与平面的法向量不垂直，因此与平面不平行，选项A错误；又，因此与不平行，从而与平面不垂直，选项B错误；由正棱柱性质知到平面的距离为，即到平面的距离等于，而是中点，则到平面的距离为，又， 所以，选项C正确；设直线与直线和直线分别交于点

10、，如下图连接交于，连接交于，则五边形是平面截该正三棱柱所得的截面，选项D正确；故选：CD11. 已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l与C交于M，N两点，P为的中点，则下列说法正确的是（ ）A. 的最小值为4B. 的最大值为4C. 当时，D. 当时，【答案】AD【解析】【分析】考虑直线的斜率不存在时，可得，当直线的斜率存在时，假设直线的方程为 ，代入抛物线可得，利用抛物线的定义可得，然后结合每个选项进行求解判断即可【详解】由抛物线可得焦点，准线为，对于A，当直线l的斜率不存在时，方程为，代入抛物线可得所以此时；当直线l的斜率存在时，假设直线的方程为，设将直线方程代入抛物线可得，则，所以，综上所述

11、，的最小值为4，故A正确；对于B，当直线l的斜率存在时，故B错误；对于C，因为P为的中点，所以，所以，则，所以，将代入可得，解得或，当时，易得不满足题意；当时，所以，故C错误；对于D，由易得斜率存在，由P为的中点可得即，所以，解得， 所以，故D正确；故选：AD【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式；（5）代入韦达定理求解.12. 已知是函数的零点，是函数的零点，且，则下列说法正确的是（

12、 ）（参考数据：）A. B. 若则C. 存在实数a，使得成等比数列D. 存在实数a，使得，且成等差数列【答案】ABC【解析】【分析】利用函数的性质可判断，观察到，进而找到之间的关系，利用对勾函数的性质求出的范围，由等比数列的性质及之间的关系将问题转化为方程解的问题，利用函数单调性及零点存在定理即可判断，由等差数列的性质及之间的关系即可求出的值，即可判断.【详解】，为偶函数，关于轴对称，是函数的零点，且， 当时，当时，当时，则想要有两个零点，则，故正确；是函数的零点，且，又，且，即，由对勾函数的性质可知，故正确；成等比数列, ,，令，则在上单调递增，其中0，故在上存在唯一的零点，即方程有解，则存

13、在实数a，使得成等比数列，故正确；成等差数列,且 ，解得，此时，则与矛盾，故不正确.故选：.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键要观察到，才能得出零点之间的关系.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知复数z满足，则_【答案】2【解析】 【分析】根据给定条件，利用复数的除法运算求出复数，再由模的意义计算作答.【详解】，依题意，因此，解得，所以.故答案为：214. 已知若C上存在点P，使得则正数r可以是_（只要写山一个符合条件的r即可）【答案】5（答案不唯一）【解析】【分析】根据给定条件，求出满足的点P的轨迹方程，再由两曲线的位置关系求解作答.【详解】因为点，而点P满足，则点P的

14、轨迹是以线段AB为直径的圆O（除点A，B外），圆，半径，又点P在圆上，圆C的圆心，半径为，依题意，圆O与圆C有公共点，且直线不经过，因此，即，解得，所以正数r可以是4,5,6.故答案为：5（或4，或6，不唯一）15. 已知函数的最小值为0，则a的取值范围为_【答案】【解析】【分析】把函数化成分段函数，按分段讨论函数的取值情况作答.【详解】函数定义域为，显然，当时，当时，函数在上单调递减，因此， 当时，函数在上单调递减，其取值集合为，函数在上单调递增，函数值集合为，因此存在，使得，而，于是，不符合题意，当时，令，当时，即在上单调递增，即有，当时，即，当且仅当时取等号，因此，当时，显然当时，函数在

15、上单调递减，不符合题意，综上得，所以则a的取值范围为.故答案为：16. 在中，D是边上的一动点，沿将翻折至，使二面角为直二面角，且四面体的四个顶点都在球O的球面上当线段的长度最小时，球O的表面积为_【答案】#【解析】【分析】根据条件作出图形，过点作于点，连接，结合面面垂直的性质得到是直角三角形，又在中，设（），得到，再根据余弦定理和勾股定理用表示，结合三角恒等变换和正弦函数的图象与性质得到时，线段的长度最小，利用球的截面圆性质找到四面体的外接球球心也是的外接圆圆心，最后结合正弦定理和球的表面积公式即可求解.【详解】由题意，作出，如图1所示， 沿将翻折至，使二而角为直二面角，得到四面体，如图2所

16、示.如图2，过点作于点，连接，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，由图形翻折的性质，在图1中，作出点，连接和，可得，又，则，设（），则，在中，由余弦定理得：，即，在图2中，即，又，则，所以当，即时，取得最小值，此时线段的长度最小，则， 如图3，在四面体中，作的中点，并连接，则是的外接圆圆心，又过点作平面的垂线，由球的截面圆性质知四面体的外接球球心必定在该垂线上，也在平面上，即的外接圆圆心，设该球的半径为，则有，在中，由正弦定理得：，则，所以球O表面积为，故答案为：.【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置.对于外切的问题要注意球心到各个面

17、的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径.四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 在梯形中，（1）若的面积为，求； （2）若，求【答案】（1）. （2）.【解析】【分析】（1）在直角三角形中可得，代入整理可得，由三角形的面积公式可求得的值，进而应用勾股定理可求得AC的值.（2）由及勾股定理可解得AC、AB的值，在ABC中运用余弦定理解得，由同角三角函数的平方关系及商式关系可求得的值.【小问1详解】过点A作交BC于点M，

18、如图所示，则，即，又，在中，.【小问2详解】由（1）知，又， ，在ABC中，.18. 已知数列满足（1）求及的通项公式；（2）求数列的前项和【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）利用数列的递推公式即可求出，对递推公式进行变形构造等差数列求通项公式；（2）当时，此时可将的通项公式拆成两项，前一项用错位相减法求和，后一项用等比数列前项和公式求和，即可求得，最后分为三段分别写出相对应的即可.【小问1详解】当时，解得，当时，解得，将两边同乘以可得，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 故，即的通项公式为；小问2详解】由（1）可知，当或时，当时，令数列的前项和为，两式错位相减得，即，当时，当时

19、，当时，综上所述. 19. 随着老年人消费需求从“生存型”向“发展型”转变消费层次不断提升，“银发经济”成为社会热门话题之一，被各企业持续关注.某企业为了解该地老年人消费能力情况，对该地年龄在的老年人的年收入按年龄，分成两组进行分层抽样调查，已知抽取了年龄在的老年人500人年龄在的老年人300人现作出年龄在的老年人年收入的频率分布直方图（如下图所示）（1）根据频率分布直方图，估计该地年龄在的老年人年收入的平均数及第95百分位数；（2）已知年龄在的老年人年收入的方差为3，年龄在的老年人年收入的平均数和方差分别为3.75和1.4，试估计年龄在的老年人年收入的方差【答案】（1）5.35；8.3 （2

20、）3【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图的数据和频率平均数法的公式：，求得平均数；再先计算出第95百分位数位于内，列出式子即可求解；（2）设年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为，根据样本中不同层的方差公式得到，即可求解.【小问1详解】频率分布直方图中，该地年龄在的老年人年收入的平均数约为： ，由频率分布直方图，年收入在万元以下的老年人所占比例为，年收入在万元以下的老年人所占比例为，因此，第95百分位数一定位于内，由，可以估计该地年龄在的老年人年收入的第95百分位数为.【小问2详解】设年龄在的老年人样本的

21、平均数记为，方差记为；年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为；年龄在的老年人样本的平均数记为，方差记为.由（1）得，由题意得，则，由，可得，即估计该地年龄在的老年人的年收入方差为3.20. 如图，四棱锥中，平面，为的中点，且（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值【答案】（1）见解析 （2） 【解析】【分析】（1）先在面内证明，再证明面，证得面，由面面垂直的判定定理得到平面平面.（2）建系，利用法向量求二面角的平面角的余弦值.【小问1详解】证明：平面，平面为中点, ，,又平面，平面，,又，平面，平面，又平面，又，平面，平面，平面,所以平面平面.【小问2详解】,在面内，过作，平面，两两相互

22、垂直，以坐标原点，所在直线分别为轴建立如图空间坐标系，由（1）知，为中点，则， 则,，面，面的一个法向量是，设面的法向量，则，所以面的一个法向量为，所以二面角的余弦值为 .21. 在上海举办的第五届中国国际进口博览会中，硬币大小的无导线心脏起搏器引起广大参会者的关注这种起搏器体积只有传统起搏器的，其无线充电器的使用更是避免了传统起搏器囊袋及导线引发的相关并发症在起搏器研发后期，某企业快速启动无线充电器主控芯片试生产，试产期同步进行产品检测，检测包括智能检测与人工抽检智能检测在生产线上自动完成，包含安全检测、电池检测、性能检测等三项指标，人工抽检仅对智能检测三项指标均达标的产品进行抽样检测，且仅

23、设置一个综合指标，四项指标均达标的产品才能视为合格品已知试产期的产品，智能检测三项指标的达标率约为，设人工抽检的综合指标不达标率为（）（1）求每个芯片智能检测不达标的概率；（2）人工抽检30个芯片，记恰有1个不达标的概率为，求的极大值点；（3）若芯片的合格率不超过，则需对生产工序进行改良以（2）中确定的作为p的值，判断该企业是否需对生产工序进行改良【答案】（1） （2） （3）该企业需对生产工序进行改良，理由见解析【解析】 【分析】（1）设每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为，并记芯片智能检测不达标为事件，视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，

24、根据对立事件的性质及事件独立性的定义即可求解；（2）根据条件得到（），利用导数对进行讨论即可；（3）设芯片人工抽检达标事件，工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，根据条件概率得到，再由乘法公式得到，即可判断.【小问1详解】每个芯片智能检测中安全检测、电池检测、性能检测三项指标达标的概率分别记为，并记芯片智能检测不达标为事件.视指标的达标率为任取一件新产品，该项指标达标的概率，则有，由对立事件的性质及事件独立性的定义得：，所以每个芯片智能检测不达标的概率为.【小问2详解】人工抽检30个芯片恰有1个不合格品的概率为（），因此令，得.当时，；当时，.则在上单调递增，在上单调递减，

25、所以有唯一的极大值点.【小问3详解】设芯片人工抽检达标为事件，工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，由（2）得：，由（1）得：， 所以，因此，该企业需对生产工序进行改良.22. 已知点M为圆上的动点，点，延长至N，使得，线段的垂直平分线交直线于点P，记P的轨迹为（1）求的方程；（2）直线l与交于A，B两点，且，求的面积的最小值【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合几何意义可得，再借助双曲线定义求解作答.（2）根据给定条件，设出直线OA的方程，与的方程联立求出，进而求出，并表示出的面积，再利用均值不等式求解作答.【小问1详解】连接，如图， 因为线段的垂直平分线交直线于点P，则，则，在中，于是，即，因此点P的轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线，其虚半轴长为 ，所以的方程是.【小问2详解】显然，直线都不垂直于坐标轴，设直线的方程为：，而，则直线的方程为：，设，由解得，则，同理，因此的面积，由且得：，当且仅当，即时取等号，则当时，所以的面积的最小值是.【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.