第二十一讲空间向量在立体几何中的应用原卷版.docx

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1、 第二十一讲：空间向量在立体几何中的应用【考点梳理】1.法向量的求解法向量一定是非零向量；一个平面的所有法向量都互相平行；向量是平面的法向量，向量是与平面平行或在平面内，则有第一步：写出平面内两个不平行的向；第二步：那么平面法向量，满足第三步：化解方程组令其中一个为1，求其它两个值.2.判定直线、平面间的位置关系直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，若，即，则；若，即，则直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且若，即，则；若，即，则 3.平面与平面的位置关系平面的法向量为，平面的法向量为若，即，则；若，即，则 4.空间角公式（1）异面直线所成角公式：设，分

2、别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则（2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则（3）二面角公式：设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中5.点到平面的距离为平面外一点（如图），为平面的法向量，过作平面的斜线及垂线【典型题型讲解】考点一：直线与平面所成的角【典例例题】例1（2022广东茂名一模）如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，底面ABCD为平行四边形，E为CD的中点，.(1)证明： ；(2)若三角形AED为等边三角形，PA=AD=6，F为PB上一点，且，求直线EF与平面PAE所

3、成角的正弦值.【方法技巧与总结】设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则【变式训练】1（2022广东惠州一模）如图1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E为AD的中点，连结BE，AC交于F，将ABE沿BE折叠，使得平面ABE平面BCDE（如图2）.(1)求证：AFCD；(2)求平面AFC与平面ADE的夹角的余弦值.2（2022广东广州一模）如图，在五面体ABCDE中，平面ABC，.(1)求证：平面平面ACD；(2)若，五面体ABCDE的体积为，求直线CE与平面ABED所成角的正弦值.3（2022广东汕头一模）如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，

4、为底面直径，是底面的内接正三角形，且，P是线段上一点.(1)是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；(2)当为何值时，直线与面所成的角的正弦值最大.考点二：二面角【典例例题】例1（2021广东佛山一模）某商品的包装纸如图1，其中菱形的边长为3，且，将包装纸各三角形沿菱形的边进行翻折后，点E，F，M，N汇聚为一点P，恰好形成如图2的四棱锥形的包裹(1)证明底面；(2)设点T为BC上的点，且二面角的正弦值为，试求PC与平面PAT所成角的正弦值【方法技巧与总结】设是二面角的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，则二面角的余弦值为【变式训练】1（

5、2022广东一模）如图，为圆柱的轴截面，是圆柱上异于，的母线. (1)证明：平面DEF；(2)若，当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.2（2022广东湛江一模）如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是菱形，是的中点.(1)证明：平面；(2)求二面角的余弦值.3（2022广东深圳一模）如图，在四棱锥E-ABCD中，E在以AB为直径的半圆上（不包括端点），平面平面ABCD，M，N分别为DE，BC的中点(1)求证：平面ABE；(2)当四棱锥E-ABCD体积最大时，求二面角N-AE-B的余弦值4（2022广东广东一模）如图，在四棱锥中，PD平面ABCD，四边形ABCD是等腰梯形，M，N分别是AB，AD

6、的中点(1)证明：平面PMN平面PAD；(2)若二面角的大小为60，求四棱锥的体积5（2022广东韶关一模）如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，.(1)求证：；(2)点为棱上一点，若，求二面角的余弦值.6.如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，且底面ABCD，点E是线段BC（包括端点）上的动点（1）探究点E位于何处时，平面平面PED；（2）设二面角的平面角的大小为，直线AD与平面PED所成角为，求证：考点三：点到平面距离【典例例题】例1（2022广东中山高三期末）已知圆锥的底面半径为2，母线长为，点C为圆锥底面圆周上的一点，O为圆心，D是的中点，且（1）求三

7、棱锥的表面积；（2）求A到平面的距离例2.在正方体中，E为的中点，过的平面截此正方体，得如图所示的多面体，F为棱上的动点（1）点H在棱BC上，当时，平面，试确定动点F在棱上的位置，并说明理由；（2）若，求点D到平面AEF的最大距离【方法技巧与总结】如图所示，平面的法向量为，点是平面内一点，点是平面外的任意一点，则点到平面的距离，就等于向量在法向量方向上的投影的绝对值，即或【变式训练】1（2022广东梅州二模）如图，在直角梯形中，分别是，的中点，将四边形沿折起，如图，连结，.(1)求证：；(2)当翻折至时，设是的中点，是线段上的动点，求线段长的最小值.2.如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是

8、边长为2的正方形，为中点，且（1）求证：平面；（2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离3.如图，矩形和梯形，平面平面，且，过的平面交平面于（1）求证：与相交；（2）当为中点时，求点到平面的距离：4.某市在滨海文化中心有滨海科技馆，其建筑有鲜明的后工业风格，如图所示，截取其中一部分抽象出长方体和圆台组合，如图所示，长方体中，圆台下底圆心为的中点，直径为2，圆与直线交于，圆台上底的圆心在上，直径为1（1）求与平面所成角的正弦值；（2）圆台上底圆周上是否存在一点使得，若存在，求点到直线的距离，若不存在则说明理由【巩固练习】一、单选题1在九章算术中，将四个面都是直角三角形的四

9、面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为（）ABCD2如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的（）个若E为的中点，则直线平面三棱锥的体积为定值E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为过点，C，E的截面的面积的范围是A1B2C3D4二、多选题2在空间直角坐标系中，已知点，则下列说法正确的是（）A点关于平面对称的点的坐标为B若平面的法向量，则直线平面C若，分别为平面，的法向量，则平面平面D点到直线的距离为3直三棱柱，中，点D是线段上的动点（不含端点），则（）A平面 B与不垂直C的取值范围为 D的最小值为三、填空题4如图，在棱长为的正方

10、体中，点为棱的中点，点为底面内一点，给出下列三个论断：；以其中的一个论断作为条件，另一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_5如图，在正方体中，分别为棱，的中点，则与平面所成角的正弦值为_四、解答题6如图，在三棱柱中，（1）证明：平面平面（2）设P是棱的中点，求AC与平面所成角的正弦值7如图，ABCD是边长为6的正方形，已知，且并与对角线DB交于G，H，现以ME，NF为折痕将正方形折起，且BC，AD重合，记D，C重合后为P，记A，B重合后为Q（1）求证：平面平面HGQ；（2）求平面GPN与平面GQH所成二面角的正弦值8.如图所示，在直四棱柱中，底面ABCD是等腰梯形，四边形是正方形（1）指出棱与平面的交点E的位置（无需证明），并在图中将平面截该四棱柱所得的截面补充完整；（2）求二面角的余弦值9.如图，圆锥PO的母线长为，是的内接三角形，平面PAC平面PBC，（1）证明：；（2）设点Q满足，其中，且二面角的大小为，求的值10.如图，在三棱柱中，底面，的中点为，四面体的体积为，四边形的面积为（1）求到平面的距离；（2）设与交于点O，是以为直角的等腰直角三角形且求直线与平面所成角的正弦值