天津市实验中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题.docx

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1、高二年级数学一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数.他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行的1，3，6，10称为三角形数，第二行的1，4，9，16称为正方形数，则三角形数、正方形数所构成的数列的第5项分别为（ ）A. 14，20B. 15，25C. 15，20D. 14，25【答案】B【解析】【分析】找到规律后代入计算即可.【详解】三角形数：第一个数1，第二个数1+2=3，第三个数1+2+3=6，第四个数1+2+3+4=10，第五个数1+2+3+4+

2、5=15.正方形数：第一个数，第二个数，第三个数，第四个数，第五个数.故选：B.2. 已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平均变化率的定义直接求解.【详解】因为函数，所以该函数在区间上的平均变化率为，故选：A3. 准线方程为的抛物线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】的准线方程为.【详解】的准线方程为.故选：D.4. 在数列中，（，），则（ ）A. B. 1C. D. 2【答案】A【解析】【分析】利用数列的递推公式求出数列的前4项，推导出为周期数列，从而得到的值【详解】，可得数列是以3为周期的周期数

3、列，故选：A5. 在等比数列中，已知，则公比（ ）A. B. C. 2D. 【答案】D【解析】【分析】由等比数列等比中项的性质可得，进而可得.【详解】由等比数列，解得，所以，所以，故选：D.6. 已知双曲线的离心率为，左右焦点分别为，以为直径的圆与双曲线右支的一个交点为.若，则该双曲线的标准方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据离心率得到，再根据双曲线的定义及勾股定理求出，即可求出双曲线方程；【详解】解：因为离心率为，所以，所以，因为，所以，又，且为以为直角的直角三角形，所以，即，又，所以，解得或（舍去）所以双曲线的标准方程为：故选：A7. 为的导函数，的图象如图所

4、示，则函数的图象可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据导数的正负决定函数的增减，以及导数的几何意义即可得出正确选项.【详解】导数正负决定函数的增减，根据导数先正，后负，后正，所以函数图像先增后减再增，应从B，C中选取，再根据导数的几何意义是切线斜率，所以当是很大正数的时候导数越来越大，即切线斜率越来越大，所以应选B，不选C.故选：B.8. 下列求导运算正确的个数是（ ）个若，则；若，则若，则.若，则.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】由导数的运算公式、运算法则及复合函数的导数运算公式计算各项判断即可.【详解】对于，故正确；对于，故正确

5、；对于，故错误；对于，故正确；正确，正确的个数共有3个.故选：C.9. 已知，是双曲线（，）的左、右焦点，点是双曲线上第二象限内一点，且直线与双曲线的一条渐近线平行，的周长为，则该双曲线的离心率为（ ）A. 2B. C. 3D. 【答案】A【解析】【分析】根据双曲线的定义，结合三角形的周长可以求出和的表达式，根据线线平行，斜率的关系，结合余弦定理进行求解即可.【详解】由题意知，解得，直线与平行，则，得，化简得，即，解得.故选：A【点睛】本题考查求双曲线的离心率，考查了双曲线的定义的应用，考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.请将答案填在题中

6、横线上.10. 已知等差数列满足：，则_.【答案】【解析】【分析】由等差数列的通项公式转化为基本量进行计算即可.【详解】设等差数列的公差为，则解得，.故答案为：.11. 双曲线 的离心率为_【答案】【解析】【详解】双曲线的方程为，故答案为12. 设是公比不为1的等比数列，且，则的通项公式_.【答案】.【解析】【分析】根据已知条件列方程求出公比，从而可求出通项公式.【详解】设等比数列公式为（），因为，所以，即，解得或（舍去），所以，故答案为：.13. 若函数，则_.【答案】【解析】【分析】求导后代入即可构造方程求得结果【详解】，解得：故答案为：14. 函数的图象在点处的切线方程为_.【答案】【解

7、析】【分析】求导，求得， ，根据导函数的几何意义可得答案【详解】因为，所以，又因为，所以图象在点处的切线方程为，即.故答案为：15. 已知数列的前项和为，则取得最小值时的值为_；_.【答案】 . 9； . #【解析】【分析】利用函数单调性即可求得取得最小值时的值，利用即可求得的值.【详解】，则当时，单调递增，；当时，单调递增，则取得最小值时值为9；故答案为：9；三、解答题：本大题共3小题，共34分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. 已知数列的前项和为，满足，.（1）证明：是等比数列；（2）求数列的通项公式.【答案】（1）见解析 （2）【解析】【分析】（1）由题意可得，即可证明是以

8、为首项，为公比的等比数列；（2）由等比数列通项公式的计算即可得出答案.【小问1详解】，所以，所以是以为首项，为公比的等比数列，【小问2详解】因为是以为首项，为公比的等比数列，所以，所以.17. 已知双曲线，抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，点为抛物线上一点.（1）求双曲线的离心率和渐近线方程；（2）求抛物线的方程和抛物线的准线方程；（3）若点到抛物线的焦点的距离是5，求的值.【答案】（1）双曲线的离心率为，渐近线方程为： （2）抛物线的方程为，抛物线的准线方程为. （3）【解析】【分析】（1）根据双曲线的方程求出即得双曲线的离心率和渐近线方程；（2）由题意出的值，即可求出抛物线的方程和抛物线

9、的准线方程.（3）由抛物线定义可得，解方程即可得出答案.【小问1详解】因为双曲线的方程为，所以.所以.所以.所以双曲线的离心率为，渐近线方程为：【小问2详解】因为抛物线的焦点与双曲线的一个焦点相同，所以抛物线的焦点坐标是(2，0)，所以.抛物线的方程为，抛物线的准线方程为.【小问3详解】因为点为抛物线上一点，所以点到抛物线的焦点的距离等于点到抛物线的准线的距离.因为点到拋物线的焦点的距离是5，即，所以.18. 已知数列是公比的等比数列，前三项和为13，且，恰好分别是等差数列的第一项，第三项，第五项.（1）求和的通项公式；（2）已知，数列满足，求数列的前项和.【答案】（1）（）；（） （2）（）【解析】【分析】（1）利用等比基本量法结合等差中项列式可求得通项公式，再利用等差基本量法求得通项公式；（2），令，得到，由裂项相消求得，令，得，由错位相减求得，即可求解；【小问1详解】解：或，又，则，（）设等差数列的公差为，由题意得，即，所以（）【小问2详解】解：时，时，由可得，（）