安徽省滁州市定远县民族中学2023届高三第一次模拟数学试卷.docx

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1、 2023年高三第一次模拟试卷数学试题第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设集合A=x|x2x10，B=y|y=x2x1x1,x2，则AB=A. (1,+)B. (2,+)C. (1+52,+)D. (2+52,+)2. 已知复数z=1+i(i是虚数单位)，设=2zz，则=A. 2B. 2C. 22D. 43. 某研究员为研究某两个变量的相关性，随机抽取这两个变量样本数据如表：xi0.0414.8410.24yi1.12.12.33.34.2若依据表中数据画出散点图，则样本点(xi,yi)(i=1,2,3,4,5)都在曲线y=x

2、+1附近波动但由于某种原因表中一个x值被污损，将方程y=x+1作为回归方程，则根据回归方程y=x+1和表中数据可求得被污损数据为A. 4.32B. 1.96C. 1.69D. 4.324. 已知向量a=(3,1)，b=(0,1)，c=(k,3)，若(a2b)/c，则实数k的值为()A. 1B. 1C. 3D. 35. 设a=log123，b=(23)0.3，c=213，则a，b，c的大小关系是A. bacB. cbaC. cabD. ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是双曲线右支上一点，点A是线段F1F2上一点，且F1PF2=2F1PA=23，|PA|=255，则该双曲线的离心率为A.

3、 5B. 2C. 253D. 528. 小李年初向银行贷款M万元用于购房，购房贷款的年利率为P，按复利计算，并从借款后次年年初开始归还，分10次等额还清，每年1次，问每年应还万元A. M10B. MP1+P101+P101C. M1+P1010D. MP1+P91+P91二、选择题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9. 已知函数fx=2sin2x4，则下列说法正确的是A. 函数fx的图象可以由y=2cos2x的图象向右平移38个长度单位得到B. fx1fx2=2，则x1x2min=C. fx+58是偶函数D. fx在区间

4、0,4上单调递增10. 如图，AE平面ABCD，CF / AE，AD / BC，ADAB，AE=BC=2，AB=AD=1，CF=87，则A. BDECB. BF /平面ADEC. 平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为13D. 直线CE与平面BDE所成角的正弦值为5911. 过平面内一点P作曲线y=lnx两条互相垂直的切线l1、l2，切点为P1、P2(P1、P2不重合)，设直线l1、l2分别与y轴交于点A、B，则下列结论正确的是A. P1、P2两点的横坐标之积为定值B. 直线P1P2的斜率为定值C. 线段AB的长度为定值D. 三角形ABP面积的取值范围为0,112. 某省2021年美术联考约有

5、5000名学生参加，现从考试的科目素描(满分100分)中随机抽取了500名考生的考试成绩，记录他们的分数后，将数据分成7组：20,30),30,40)，80,90，并整理得到如图所示的频率分布直方图则下列说法不正确的是A. 由频率分布直方图可知，全省考生的该项科目分数均不高于90分B. 用样本估计总体，全省该项科目分数小于70分的考生约为2000人C. 若样本中分数小于40的考生有30人，则可估计总体中分数在区间40,50)内约200人D. 用样本估计总体，全省考生该项科目分数的中位数为75分第II卷（非选择题）三、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 若(ax2bx)6的展开式中x3项的

6、系数为160，则a2+b2的最小值为14. 梵净山是云贵高原向湘西丘陵过渡斜坡上的第一高峰，是乌江与沅江的分水岭，也是横亘于贵州、重庆、湖南、湖北四省(市)的武陵山脉的最高主峰.某测量小组为测量该山最高的金顶P的海拔，选取了一块海拔为400米的平地，在平地上选取相距885米的两个观测点A与B，如图，在点A处测得P的仰角为60，在点B处测得P的仰角为45，则金顶P的海拔为米.(结果精确到整数部分，取3=1.732)15. 2022北京冬奥会期间，吉祥物冰墩墩成为“顶流”，吸引了许多人购买，使一“墩”难求.甲乙丙3人为了能购买到冰墩墩，商定3人分别去不同的官方特许零售店购买，若甲乙2人中至少有1人

7、购买到冰墩墩的概率为12，丙购买到冰墩墩的概率为15，则甲，乙丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为16. 若(12x)2022=a0+a1x+a2x2+a2022x2022，则a12+a222+a202222022=四、解答题（本大题共6小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题12分)在ABC中，b2+c262bc=a2()求cosA的值；()若B=2A，b=6，求a的值18. (本小题12分)已知数列an中，a1=1，其前n项和Sn满足an+1=Sn+1nN(1)求Sn；(2)记bn=Sn+1SnSnSn+1，求数列bn的前n项和Tn19. (本小题12

8、分)旨在全面提高国民体质和健康水平，1995年国务院颁布了全民健身计划纲要，并在2009年将每年8月8日设置为“全民健身日”，倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，学会两种以上健身方法，每年进行一次体质测定某小区为了调查居民的体育运动情况，从该小区随机抽取了100位成年人，记录了他们某天的锻炼时间，其频率分布直方图如下：(1)求a的值，并求这100位居民锻炼时间的中位数；(2)若规定0,10为第一组，依次往下，现采用分层抽样的方法从第三组和第五组随机抽取6名成年人进行体质测定，再从这6人中随机抽取2人进行跟踪调查，求这2人中，两组各有1人的概率20. (本小题12分)如图，在四棱锥PAB

9、CD中，底面ABCD为正方形，PA底面ABCD，PA=AB=4，E为PB的中点，F为线段BC上的点，且BF=14BC(1)求证：平面AEF平面PBC；(2)求点F到平面PCD的距离21. (本小题12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(ab0)过A(2,0)，B(0,1)两点()求椭圆C的方程和离心率的大小；()设M，N是y轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线AM与椭圆C的另一个交点为P，直线AN与椭圆C的另一个交点为Q，判断直线PQ与x轴的位置关系，并证明你的结论22. (本小题12分)已知函数f(x)=lnx+ax，aR(1)当a=1时，求函数f(x)的单调区间；(2)当x1时

10、，若关于x的不等式f(x)x2a恒成立，试求a的取值范围答案和解析1.C【解析】由x2x10，解得A=(,152)(1+52,+)，又y=x2x1x1=x1x1,x2，函数单调递增，B=(1,+)，得AB=(1+52,+)2.B【解析】因为z=1+i，所以z=1i，所以=2zz=22i1+i=2(1i)2(1+i)(1i)=2i，所以|=2故选B3.B【解析】设缺失的数据为x，mi=xi(i=1,2,3,4,5)，则样本(mi,yi)的数据如下表所示：mi0.21x2.23.2yi1.12.12.33.34.2其回归直线方程为y=m+1，由表中数据可得，y=15(1.1+2.1+2.3+3.3

11、+4.2)=2.6，由线性回归方程y=m+1，得m=1.6，即15(0.2+1+x+2.2+3.2)=1.6，解得x=1.96故选：B4.A【解析】根据题意，向量a=(3,1)，b=(0,1)，则a2b=(3,3)；若(a2b)/c，且c=(k,3)，必有3k=33，解可得k=1；故选：A5.D【解析】a=log1230，0b=230.320=1，cba故选D6.D【解析】如图，设BD与AC交于点O，连接OF四边形ABCD为菱形，O为AC的中点，ACBDF为PC的中点，OF/PAPA平面ABCD，OF平面ABCD.以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Ox

12、yz.设PA=AD=AC=1，则BD=3，B(32,0,0)，F(0,0,12)，C(0,12,0)，D(32,0,0)，OC=(0,12,0)，结合图形可知，OC为平面BDF的一个法向量.由BC=(32,12,0)，FB=(32,0,12)，可求得平面BCF的一个法向量n=(1,3，3).cosn,OC=217，又二面角CBFD为锐角，sinn,OC=277，tann,OC=2337.B【解析】设|PF1|=r1，|PF2|=r2，则r1r2=2a=2，由余弦定理得|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|22|PF1|PF2|cos23，即4c2=r12+r22+r1r2=(r1r2)2+3

13、r1r2=4+3r1r2，所以r1r2=4c243，从而r1+r2=r1r22+4r1r2=16c243，因为SF1PF2=12r1r2sinF1PF2=SF1PA+SAPF2=12r1|PA|sinF1PA+12r2|PA|sinF2PA，且F1PF2=2F1PA=23，所以r1r2=(r1+r2)|PA|，代入4c243=25516c243，整理得5c422c2+8=0，解得c2=4或c2=25(舍去)，所以e=ca=2故选B8.B【解析】设每年应还x万元，则x+x(1+P)+x(1+P)2+.+x(1+P)9=M(1+P)10，x1(1+P)101(1+P)=M(1+P)10，选x=MP

14、(1+P)10(1+P)101故选B9.AD【解析】对于A，y=2cos2x的图象向右平移38个长度单位得到y=2cos2(x38)=2cos(2x34)=2sin(2x4)，故 A正确;对于B，fx=2sin2x4，所以f(x)max=2，f(x)min=2，由f(x1)f(x2)=2，可知f(x1)，f(x2)为最值，又函数的最小正周期为，故|x1x2|min=2，故 B错误;对于C，f(x+58)=2sin(2x+544)=2sin(2x+)=2sin2x，设g(x)=2sin2x，则函数的定义域为R，g(x)=2sin2x=g(x)，为奇函数，故C错误；对于D，x(0,4)，2x4(4

15、,4)(2,2)，故f(x)在区间(0,4)上单调递增，故D正确，故选AD10.BC【解析】由题意，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,1,0)，E(0,0,2)，F1,2,87，BD=1,1,0,EC=1,2,2，所以BDEC=11+12+02=10，所以BD，EC不垂直，故A错误；依题意，AB=(1,0,0)是平面ADE的法向量，又BF=(0,2,87)，可得BFAB=0，则BFAB，又因为直线BF平面ADE，所以BF/平面ADE，故B正确；设m=a,b,c为平面BD

16、F的一个法向量，则mBD=0mBF=0,即a+b=02b+87c=0，令b=1，可得m=1,1,74，依题意，BD=(1,1,0)，BE=(1,0,2)，设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量，则nBD=0nBE=0，即x+y=0x+2z=0，不妨令z=1，可得n=(2,2,1)，所以cos=mnmn=13，故平面BDE与平面BDF的夹角的余弦值为13，故C正确；设直线CE与平面BDE所成角为，CE=1,2,2，则sin=|cos|=CEn|CE|n|=49，故D错误故选BC11.ABC【解析】因为y=|lnx|=lnx,0x1lnx,x1,所以，当0x1时，y=1x；当x1时，y=1x，不

17、妨设点P1，P2的横坐标分别为x1，x2，且x1x2，若0x10，不合题意；若x2x11时，则直线l1，l2的斜率分别为k1=1x1，k2=1x2，此时k1k2=1x1x20，不合题意所以0x11x2或0x11x2，则k1=1x1，k2=1x2，由题意可得k1k2=1x1x2=1，可得x1x2=1，若x1=1，则x2=1；若x2=1，则x1=1，不合题意，所以0x110，所以，函数fx在0,1上单调递增，则当x0,1时，fx0,1，所以，SABP=12ABxP=2x1x12+10,1，选项D错故选ABC12.AD【解析】由题意可知，在500个样本中，该项科目分数是均不高于90分，样本可以用来估

18、计总体，但不能代替总体，在其余4500名考生中，该项科目分数中可能有高于90分的，故选项A不正确；在样本中，分数不低于70分的频率为(0.04+0.02)10=0.6，则样本中分数小于70分的频率为10.6=0.4，若用样本估计总体，则全省该项科目分数小于70分的考生约为50000.4=2000人，故选项B正确；在样本中，成绩低于50分的频率为1(0.04+20.02+0.01)10=0.1，当分数小于40的考生有30人时，其频率为30500=0.06，则分数在区间40,50)内的频率为0.04，用样本估计总体，则全省考生中分数在区间40,50)内约50000.04=200人，故选项C正确；用

19、样本估计总体，通过频率分布直方图可知中位数即为将左右两边矩形面积等分所在位置，则该位置在区间70,80)内，且等于70+1014=72.5分，故选项D不正确故选AD13.4【解析】将(ax2bx)6展开，得到Tr+1=C6ra6r(b)rx123r，令123r=3，解得r=3，则C63a3(b)3=160，得ab=2，所以a2+b22ab=4，当且仅当“a=b”时，取得等号，故a2+b2取得最小值4故答案为：414.2494【解析】设AD=x米，依题意可得PAD=60，PBD=45，则PD=BD=x+885.因为PDAD=tanPAD=3，所以x+885=3x，则x=88531=8850.73

20、21209，所以PD1209+885=2094米，故金顶P的海拔为2094+400=2494米15.35【解析】因为甲、乙2人中至少有1人购买到冰墩墩的概率为12，所以甲、乙2人均购买不到冰墩墩的概率P1=112=12同理，丙购买不到冰墩墩的概率P2=115=45所以，甲、乙、丙3人都购买不到冰墩墩的概率P3=P1P2=1245=25，于是甲、乙、丙3人中至少有1人购买到冰墩墩的概率P=1P3=3516.1【解析】由题意，令x=0时，则a0=1，令x=12时，则a0+a1(12)+a2(12)2+a2022(12)2022=(1212)2022=0，a12+a222+a202222022=0a

21、0=1，故答案为117.解：()在ABC中，b2+c2=a2+62bc，由余弦定理cosA=b2+c2a22bc，cosA=62bc2bc=64()由()知，0A2，sinA=1cos2A=104B=2A，sinB=sin2A=2sinAcosA=210464=154，又b=6,asinA=bsinB，a=bsinAsinB=6104154=218.解：(1)an+1=Sn+1nN，当n2时，an=Sn1+1，所以an+1an=SnSn1=an，即an+1=2an(n2)，在an+1=Sn+1中，令n=1，可得a2=a1+1因为a1=1，所以a2=2，a2=2a1，所以an是首项为1，公比为2

22、的等比数列，其通项公式为an=2n1，所以Sn=an+11=2n1(2)因为bn=Sn+1SnSnSn+1=1Sn1Sn+1=12n112n+11，所以T=113+1317+12n112n+11=112n+1119.解：(1)(0.005+0.012+a+0.035+0.015+0.003)10=1，a=0.030，设中位数为x，由题意有：100.005+100.012+100.03+(x30)0.035=0.5，解得x=30.86即中位数为30.86(2)由频率分布直方图可得，第三组和第五组的人数之比为2：1，采用分层抽样的方法从第三组和第五组随机抽取6名成年人进行体质测定，第三组的人数为：

23、623=4，第五组的人数为：613=2，即第三组与第五组的人数依次为4人和2人，6人中随机抽取2人的基本事件的总数为C62，两组各有1人的基本事件的个数有C41C21故概率P=C41C21C62=81520. (1)证明：PA平面ABCD，BC平面ABCD，PABC，又BCAB，PAAB=A，BC平面PAB，又AE面PAB，BCAE，PA=AB，E为PB中点，AEPB，又BCPB=B，AE平面PAB，又AE平面AEF，平面AEF平面PBC (2)解：AB/CD，AB平面PCD，CD平面PCD，AB/平面PCD，B到平面PCD的距离等于A到平面PCD的距离，取PD的中点G，连接AG，PA平面AB

24、CD，PACD，又CDAD，ADPA=A，CD平面PAD，CDAG，PA=AD，G是PD的中点，AGPD，又PDCD=D，AG平面PCD，PA=AD=4，PAAD，PD=42，AG=12PD=22，点B到平面PCD的距离为22，BF=14BC，点F到平面PCD的距离为2234=32221.解：()依题意得a=2，b=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1，c=a2b2=3，离心率的大小e=ca=32()直线PQ与x轴平行，理由如下：解法一：因为M，N是y轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，设M，N坐标为(0,m)，(0,n)，则n=1m，m0，n0由A(2,0)，M(0,m)得直线AM的方程

25、为y=m2x+m，联立得x24+y2=1y=m2x+m，整理得(m2+1)y22my=0，解得y1=0,y2=2mm2+1，得交点P的纵坐标为yP=2mm2+1，同理交点Q的纵坐标为yQ=2nn2+1=21m(1m)2+1=2mm2+1，所以yP=yQ0，直线PQ与x轴平行解法二：设直线AM的方程为x=ty+2(t0)，直线AN的方程为x=sy+2(s0)，令x=0得tyM=2，M坐标为(0,2t)，同理N坐标为(0,2s)，因为M，N是y轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，即2t2s=1，所以st=4，联立得x24+y2=1x=ty+2，整理得(t2+4)y2+4ty=0，解得y1=0,y

26、2=4tt2+4，得交点P的纵坐标为yP=4tt2+4，同理得yQ=4ss2+4=44t(4t)2+4=4tt2+4，所以yP=yQ0，直线PQ与x轴平行解法三：设直线AM的方程为y=k1(x2)，k10，直线AN的方程为y=k2(x2)，k20令x=0得M坐标为(0,2k1)，同理N坐标为(0,2k2)，因为M，N是y轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以4k1k2=1，代入椭圆方程得x24+y2=1y=k1(x2)，(4k12+1)x216k12x+16k124=0，x1x2=16k1244k12+1，得2xP=16k1244k12+1所以xP=8k1224k12+1，得交点P的纵坐标

27、为yP=k1(8k1224k12+12)=4k14k12+1，同理得yQ=4k24k22+1=414k14(14k1)2+1=4k14k12+1，所以yP=yQ0，直线PQ与x轴平行22.解：(1)当a=1时，f(x)=lnx+1x，x(0,+)，f(x)=1x1x2=x1x2，f(x)0，解得x(1,+)可得函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+)上单调递增(2)当x1时，关于x的不等式f(x)x2a恒成立ax2xlnx1+2x在x1,+)上恒成立，令g(x)=x2xlnx1+2x，x1,+)g(x)=2x2lnx1(1+2x)2，令(x)=2x2lnx1，x1,+)，得(x)=4x1x，易知在x1,+)上，(x)0恒成立，则(x)在x1,+)上单调递增，x1=1，g(x)0，函数g(x)在x1,+)上单调递增，g(x)min=g(1)=13a13a的取值范围是(,13.