高三数学二轮专题复习19 直线与圆的综合问题.docx

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1、解析几何-直线与圆有关的综合问题专题综述从近三年的高考情况来看, 直线与圆的方程考查的重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题，有时候会结合其他知识点综合考查直线与圆有关的位置关系（特别是弦长问题），面积问题，最值问题等，一般以选填题的形式出现。解题时应认真体会数形结合思想，培养充分利用圆的简单几何性质简化运算的能力。专题探究探究1：直线与圆的方程问题直线与圆的方程问题是高考中的热点问题之一，解决这类问题主要以方程思想和数形结合的方法来处理，求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，还应注意恰当运用平面几何知识对其进行求解。解决直线的方程问题的三个注意点：（1）求解两

2、条直线平行的问题时，在利用A1B2A2B1=0建立方程求出参数的值后，要注意代入检验，排除两条直线重合的可能性（2）要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线（3）讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在解决圆的方程问题一般有两种方法：（1）几何法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程;（2）待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程（组）求得各系数，进而求出圆的方程。(2021湖北省襄阳市联考)圆C:(x2)2+(y+2

3、)2=4关于直线xy+1=0对称的圆的方程为( )A. x2+y26x+6y+16=0B. x2+y2+6x6y+14=0C. (x3)2+(y+3)2=4D. (x+3)2+(y+3)2=4【审题视点】如何理解圆关于直线对称？【思维引导】求出圆心关于直线的对称点的坐标，即可求得对称圆的方程【规范解析】求出圆心关于直线的对称点圆C的圆心为C(2,2)，设C关于直线xy+1=0对称的点为C(x0,y0)，则x0+22y022+1=0y0+2x02=1，解得x0=3y0=3,故圆C关于直线xy+1=0对称的圆的方程为(x+3)2+(y3)2=4， 即x2+y2+6x6y+14=0故选B【探究总结】

4、求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程一般来说，求圆的方程有两种方法：（1）几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量，常用到的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；相切两圆的连心线经过切点；（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解，若由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程。 (2020河北省衡水市期中)若圆x2+y2ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x1对称，过点C(a,a)的圆P与y轴相切，则圆心P的轨迹方程为()A. y24x+4y+8=0B. y22

5、x2y+2=0C. y2+4x4y+8=0D. y22xy1=0探究2：直线与圆、圆与圆的位置关系直线l:Ax+By+C=0(A、B不全为0)与圆xa2+yb2=r2r0的位置关系的判断方法：（1）几何法:圆心a,b到直线l:Ax+By+C=0的距离为d，dr直线与圆相离.（2）代数法:由Ax+By+C=0xa2+yb2=r2联立消元，得到的一元二次方程的判别式为，则0直线与圆相交；=0直线与圆相切；r1+r2两圆外离，（2）d=r1+r2两圆外切，（3）r1r2dr1+r2两圆相交，（4）d=r1r2两圆内切，（5）0d0,b0)的一条渐近线被圆(x2)2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离

6、心率为( )A. 2B. 3C. 2D. 233探究4：与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点。与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化;直线与圆的综合问题主要包括弦长问题,切线问题及组成图形面积问题,解决方法主要依据圆的几何性质。(2021江西省南昌市三模)已知直线l:xy+4=0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|的最小值为( )A. 22B. 32C. 1

7、7D. 3【审题视点】如何求解M点的轨迹？【思维引导】A为定点，求|AM|的最小值需先找到M点的轨迹，设Px0,x0+4，则以OP为直径的圆的方程为(xx02)2+(yx0+42)2=x02+(x0+4)24，化简与x2+y2=4联立，可得CD所在直线方程：x0x+(x0+4)y=4，直线CD过定点Q(1,1)，由题意得，OMCD，Q为直线CD上的一个定点，则点M在以OQ为直径的圆上，可得M点的轨迹为：(x+12)2+(y12)2=12，圆心O1，半径R，由题可知A(4,0)，可得答案。【规范解析】如图：设Px0,x0+4，两圆方程相减，求得公共弦所在的直线方程设P点坐标,表示出以OP为直径的

8、圆的标准方程则以OP为直径的圆为(xx02)2+(yx0+42)2=x02+(x0+4)24，化简得x2x0xx0+4y+y2=0，与x2+y2=4联立，可得CD所在直线方程：x0x+(x0+4)y=4，易得，直线CD过定点Q(1,1)，由题意得，OMCD，Q为直线CD上的一个定点，由定义法求得M点的轨迹则点M在以OQ为直径的圆上，可得：M点的轨迹为：(x+12)2+(y12)2=12，圆心O1(12,12)，半径R=22由题可知A(4,0)，AO1=(4+12)2+(12)2=522线段AM长的最小值为52222=22故选A【探究总结】研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合

9、求解。求两圆相交时的公共弦的方程，只需将两圆方程作差，消去二次项所得的直线方程即可，而在求两圆公共弦长时，应注意数形结合思想的灵活运用。(2021.四川省成都市期末)已知圆C：(x2)2+(y5)2=4的圆心为C，T为直线x2y2=0上的动点，过点T作圆C的切线，切点为M，则TMTC的最小值为专题升华圆的切线方程常用结论 过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. 过圆xa2+yb2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为:x0axa+y0byb=r2. 过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为:x0xy0y=r

10、2.易错点防范 求圆的弦长时，注意应用圆的几何性质解题，即垂径定理与勾股定理 过一点求圆的切线、圆的割线方程时，应注意斜率的讨论，一般地，过圆外一点可求两条切线，若求出一条要注意考虑该点是在圆上或漏掉了斜率不存在的情况【答案详解】变式训练1【答案】C【解析】圆x2+y2ax+2y+1=0的圆心(a2,1)，因为圆x2+y2ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x1对称，所以(a4,12)满足直线y=x1方程，解得a=2，过点C(2,2)的圆P与y轴相切，圆心P的坐标为(x,y),所以(x+2)2+(y2)2=|x|，解得：y2+4x4y+8=0，故圆心P的轨迹方程为：y2+4x4y+

11、8=0故选：C变式训练2【答案】B【解析】由题得圆的标准方程为(x2)2+(y2)2=18，圆心是(2,2)半径为32，依题意，可知当圆心到直线l的距离不超过2时，满足圆上至少有3个不同的点到直线l的距离为22，所以圆心(2,2)到直线l的距离d=|2a+2b|a2+b22，显然b0，化简得(ab)24(ab)+10，解得23ab2+3，又tan=ab，所以直线l的倾斜角的取值范围是12,512，故选B变式训练3【答案】A【解析】双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线不妨设为：bxay=0，圆(x2)2+y2=4的圆心(2,0)，半径为2，由双曲线C：x2a2y2b2=1(a0,b0)的一条渐近线被圆(x2)2+y2=4所截得的弦长为2，可得圆心到bxay=0的距离为d=2212=3=|2b|a2+b2，即b2=3a2，又c2=a2+b2=4a2，可得e2=4，即e=2故选A变式训练4【答案】16【解析】如图所示,TMTC=TMTCcos，又cos=TMTC，TMTC=TM2，设Tm,n，T在直线x2y2=0上，m2n2=0，m=2n+2，T2n+2,n，|TM|2=|TC|2|MC|2=(2n+22)2+(n5)24=5(n1)2+16，当n=1时，|TM|2的最小值为16，即TMTC的最小值为16故答案为：16