陕西省西北工业大学附属中学2022-2023学年高二上学期1月期末数学试题.docx

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1、 西工大附中2022-2023学年上学期1月期末高二数学一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 若一数列为1，则是这个数列的（ ）A. 不在此数列中B. 第13项C. 第14项D. 第15项【答案】D【解析】【分析】根据给定的4项，写出数列的一个通项公式即可计算作答.【详解】因，因此符合题意的一个通项公式为，由解得：，所以是这个数列的第15项.故选：D2. 若过点的直线l与圆C：相交于A，B两点，则的最小值（ ）A. 2B. C. 4D. 【答案】D【解析】【分析】数形结合得到当圆心与的连线和直线l垂直时，最小，再使用垂径定理求出最

2、小值.【详解】点在圆的内部，当圆心与的连线和直线l垂直时，最小，圆半径，由垂径定理得：故选：D3. 不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用必要条件和充分条件的定义判断.【详解】不等式，解得，所以不等式成立的一个必要不充分条件是，故选：C4. 如图，在平行六面体中，与的交点为，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知，根据题意，将利用线性运算表示成的关系，然后利用待定系数法即可求解出.【详解】由已知，在平行六面体中，与的交点为，所以所以.故选：C.5. 已知椭圆的短轴长为8，且一个焦点是圆的圆心，则该椭圆的左顶点为

3、（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的一个焦点是圆的圆心，求得c，再根据椭圆的短轴长为8求得b即可.【详解】圆的圆心是，所以椭圆的一个焦点是，即c=3，又椭圆的短轴长为8，即b=4，所以椭圆的长半轴长为，所以椭圆的左顶点为，故选：D6. 设等差数列的前n项和为，已知A. 35B. 30C. 25D. 15【答案】B【解析】【详解】数列为等差数列，成等差数列，即5,15-5，成等差数列，即，故选：B7. 已知抛物线与直线相交于A、B两点，其中A点的坐标是(1，2)如果抛物线的焦点为F，那么等于（ ）A. 1B. 6C. D. 7【答案】D【解析】【详解】试题分析：把点

4、（1，2），代入抛物线和直线方程，分别求得p=2，a=2抛物线方程为，直线方程为2x+y-4=0，联立消去y整理得 ，解得x和1或4，A的横坐标为1，B点横坐标为4，根据抛物线定义可知|FA|+|FB|=+1+1=7，故选D.考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程；抛物线的简单性质8. 已知点P是双曲线E：的右支上一点，为双曲线E的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的个数是（ ）点P的横坐标为；的周长为；小于；的内切圆半径为A 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】【分析】设的内心为I，连接IP，求得双曲线的a，b，c，不妨设，运用三角形的面积公式求得P的坐标，运用两

5、直线的夹角公式可得，由两点的距离公式，可得的周长，设的内切圆半径为r，运用三角形的面积公式和等积法，即可计算r【详解】设的内心为I，连接IP，双曲线E：中的，不妨设，由的面积为20，可得，即，由，可得，故正确；由，且，可得，则，则，故正确；由，则周长为，故正确；设的内切圆半径为r，可得，可得，解得，故不正确故选：C【点睛】（1）坐标法是解析几何的基本方法；（2）灵活运用定义在解析几何中是常见的思路；（3）解析几何问题解题的关键：解析几何归根结底还是几何，根据题意画出图形，借助于图形寻找几何关系可以简化运算二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部

6、选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分9. 下列说法正确的是（ ）A. 点关于直线的对称点为B. 已知，两点，则直线方程为C. 过点作圆的切线，则切线方程为D. 经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为或【答案】AD【解析】【分析】对于A选项，根据关于对称的点的坐标关系判断即可；对于B选项，已知，两点，且时满足；对于C选项，根据圆心到直线的距离解得直线斜率或，进而判断；对于D选项，分直线过坐标原点和不过坐标原点两种情况求解即可.【详解】解：对于A选项，根据关于对称的点的坐标关系得点关于直线的对称点为，故正确；对于B选项，已知，两点，且时，直线的方程为，故错误；对于C选项，过点作圆的切

7、线，直线斜率一定存在，故设切线方程为，即，进而圆心（原点）到直线的距离为，解得或，故切线方程为或，故错误；对于D选项，当直线过坐标原点时，直线方程为，当直线不过坐标原点时，设方程为，待定系数得，所以方程为，故经过点且在两坐标轴上截距都相等的直线方程为或，故正确.故选：AD10. 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，下列选项正确的是（ ）A. B. 若，则有两解C. 若为锐角三角形，则b取值范围是D. 若D为边上的中点，则的最大值为【答案】BCD【解析】【分析】由数量积的定义及面积公式求得角，然后根据三角形的条件求解判断各ABC选项，利用，平方后应用基本不等式求得最大值，判

8、断D【详解】因为，所以，又，所以，A错；若，则，三角形有两解，B正确；若为锐角三角形，则，所以，C正确；若D为边上的中点，则，又，由基本不等式得，当且仅当时等号成立，所以，所以，当且仅当时等号成立，D正确故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考查解三角形的应用，掌握正弦定理、余弦定理、三角形面积公式是解题关键在用正弦定理解三角形时可能会出现两解的情形，实际上不一定要死记结论，可以按正常情况求得，然后根据的大小关系判断角是否有两种情况即可11. 已知等差数列为递增数列，该数列的前n项和为，则下列说法正确的为（ ）A. B. 或最小C. 公差D. 【答案】ABD【解析】【分析】等差数列，用基本量代换

9、和性质，对四个选项一一验证：用，整理计算后对AB验证；直接计算出公差，验证C；借助于通项公式，验证D.【详解】根据题意，可得，从而可得该数列的前6项为负数，第7项为0，从第8项开始为正数，因此选项A、B正确；对于选项C，公差，因此选项C错误；对于选项D，因为，所以，因此选项D正确.故选：ABD【点睛】等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换和灵活运用性质12. 已知双曲线的上下焦点分别为，点P在双曲线C的上支上，点，则下列说法正确的有（ ）A. 双曲线C的离心率为B. 的最小值为8C. 周长的最小值为D. 若内切圆的圆心为M，则M点的纵坐标为3【答案】BCD【解析】【分析】由双曲线的标准方

10、程得出，然后求出离心率判断A，结合双曲线的性质判断B，然后结合双曲线的定义判断C,D.【详解】对于A：，A错误；对于B：的最小值为，B正确；对于C：如图，的周长（当且仅当Q，P，三点共线时取等号），C正确；对于D：如图，设的内切圆分别与，切于点A，B，D，则，.又，M点的纵坐标为3，D正确.故选：BCD.三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分13. 若直线l与轴交点的横坐标为，倾斜角为，则直线l的方程为_【答案】【解析】【分析】由点斜式求直线方程即可.【详解】由题意，且直线过点，所以直线方程为，即.故答案为：14. 设数列的前项和为，则数列的通项公式为_【答案】【解析】【分析】先求出，

11、再求出，综合即得数列的通项公式.【详解】当时，；当时，适合.所以数列的通项公式为.故答案为：【点睛】本题主要考查利用和的函数关系求数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15. 从点(2,3)射出的光线沿与直线x2y0平行的直线射到y轴上，则经y轴反射的光线所在的直线方程为_【答案】x2y40【解析】【分析】根据平行直线的斜率相等，利用点斜式写出入射光线的方程，求得光线与y轴的交点，然后结合点(2,3)关于y轴对称点的坐标，即可确定反射光线的直线方程.【详解】由题意得，射出的光线方程为，即x2y+4=0，与y轴交点为(0,2)，又(2,3)关于y轴对称点为(2,3)，反射光线所在直线

12、过(0,2)，(2,3)，故方程为，即x+2y4=0.故答案：x+2y4=0.【点睛】本题主要考查直线方程的求解，反射的性质及其应用，属于中等题.16. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的焦点为F的坐标为_；若M是抛物线上的动点，则的最大值为_【答案】 . . 【解析】【分析】由抛物线焦点坐标公式可得所求；求得抛物线的准线方程，设，即有，可得，再令，转化为t的函数，配方即可得到所求最大值【详解】抛物线的焦点F的坐标为，若M是抛物线上的动点，设，即有，抛物线的准线方程为，可得，即有，可令，可得，当即时，上式取得最大值故答案为，【点睛】本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查转化思想和换元法，以及化

13、简运算能力，属于中档题四、解答题；本题共6个小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17. 在平面直角坐标系中，已知圆及点，.（1）若直线平行于，与圆相交于，两点，且，求直线的方程；（2）对于线段上的任意一点，若在以点为圆心的圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求圆的半径的取值范围.【答案】（1）或； （2）.【解析】【分析】（1）由已知设直线的方程为，由及弦长公式求得得到直线方程；（2）求出的轨迹是一个圆，由条件知此圆与圆B要有公共点，列出半径与满足的不等式，视为对任意恒成求得的范围，同时注意点这一条件的制约，最终求得的范围.【小问1详解】圆的标准方程为，所以，半径为2，其

14、中，因为平行于，所以设直线的方程为，则圆心到直线的距离，因为，解得或，所以直线的方程为或；【小问2详解】设点，由于点是线段的中点，则，又在半径为的圆上，所以，即，所以的轨迹为是以为圆心，为半径的圆， 又在半径为的圆上， 所以两圆有公共点，所以对恒成立，又，所以且，解得，又在圆外，所以恒成立，所以，即，所以圆的半径的取值范围为.18. 已知等比数列的前n项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）先根据得到，然后利用与之间的关系求得数列的通项公式，注意对的验证；（2）由（1）得到，然后利用分组求和法即可得到.【小问1详解】当时

15、，解得，即，当时，易知满足上式， 所以.【小问2详解】由（1）可知，易知等比数列的前n项和为，等差数列数列的前n项和为，所以数列的前n项和.19. 棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，且CGCD（1）证明：EFB1C；（2）求cos，【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】（1）可分别以，为，轴，建立空间直角坐标系，从而得出，0，1，2，2，2，进而可求出的坐标，只需求出即可；（2）根据即可求出点的坐标，从而得出向量的坐标，根据即可求出的值【详解】分别以三直线DA，DC，DD1为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则：E（0

16、，0，1），F（1，1，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），C1（0，2，2），（1）证明：，EFB1C；（2），【点睛】本题主要考查了利用坐标解决向量问题和线线垂直问题的方法，向量夹角的余弦公式，向量垂直的充要条件，考查了计算能力，属于中档题20. 如图，已知椭圆，椭圆的长轴长为8，离心率为求椭圆方程；椭圆内接四边形ABCD的对角线交于原点，且，求四边形ABCD周长的最大值与最小值【答案】（1）； （2）四边形ABCD的周长的最小值为，最大值为20.【解析】【分析】（1）由题意可得a4，运用离心率公式可得c，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；（2）由题意的对称性可得四边形

17、ABCD为平行四边形，运用向量的数量积的性质，可得22，即有四边形ABCD为菱形，即有ACBD，讨论直线AC的斜率为0，可得最大值；不为0，设出直线AC的方程为ykx，（k0），则BD的方程为yx，代入椭圆方程，求得A，D的坐标，运用两点的距离公式，化简整理，由二次函数的最值求法，可得最小值【详解】由题意可得，即，由，可得，即有椭圆的方程为；由题意的对称性可得四边形ABCD为平行四边形，由，可得，即，可得，即有四边形ABCD为菱形，即有，设直线AC的方程为，则BD的方程为，代入椭圆方程可得，可设，同理可得，即有，令，即有，由，即有，即时，取得最小值，且为；又当AC的斜率为0时，BD为短轴，即有

18、ABCD的周长取得最大值，且为20综上可得四边形ABCD的周长的最小值为，最大值为20【点睛】熟练掌握椭圆的定义、标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为联立方程求交点、数量积的运算性质、二次函数的最值求法等是解题的关键21. 等差数列的前项和为，已知，为整数，且.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据题意得公差为整数，且，分析求出即可；（2），再利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】由，为整数知，等差数列的公差为整数.又，故，.于是，解得，因此，故数列的通项公式为.【小问2详解】，于是.22. 已知抛物线x22py(p0)，F为其焦点

19、，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，过点B作x轴的垂线，交直线OA于点C，如图所示(1)求点C的轨迹M的方程；(2)直线n是抛物线不与x轴重合的切线，切点为P，轨迹M与直线n交于点Q，求证：以线段PQ为直径的圆过点F.【答案】（1）； （2）见解析.【解析】【分析】（1）判断直线的斜率存在，设方程为，设,动点，联立直线与抛物线的方程组，利用韦达定理可得，求出方程，然后求解轨迹方程；（2）设直线的方程为，由消去得到关于的一元二次方程，利用直线与抛物线相切，得,求出，可得，说明以线段为直径的圆过点.【详解】(1)依题意可得，直线l的斜率存在，故设其方程为ykx，又设A(x1，y1)，B(x2，y

20、2)，C(x，y)由x22pkxp20x1x2p2.易知直线OA：yxx，直线BC：xx2，由，得，即点C的轨迹M的方程为y.(2)证明:由题意知直线n的斜率存在设直线n的方程为yk1xm.由x22pk1x2pm04p2k8pm.直线n与抛物线相切，0pk2m0，可得P(pk1，m)又由 .又，即PFQF，以线段PQ为直径的圆过点F.【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系、曲线轨迹方程的求解方法，以及转化与划归思想的应用，属于难题. 转化与划归思想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.解答本题（2）的关键是将圆过定点问题转化为证明.