重庆市第一中学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题.docx

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1、2023年重庆一中高2024届高二上期期末考试数学测试试题卷注意事项：1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号，考场号、座位号在答题卡上填写清楚2作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本卷或者草稿纸上无效3考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回满分150分，考试用时120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知椭圆的一个焦点为，则实数的值为（ ）A. B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据方程是椭圆方程，得，然后由关系得出值【详解】由题意，故选：A2. 已知等比数列的各项均为正数，目，则（ ）A. 3B

2、. 4C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】利用的等比数列的下标和性质推得，再根据对数的运算结合等比数列下标和性质，即可求得答案.【详解】由题意等比数列的各项均为正数，目，则，故，所以，故选：C3. 已知函数，则（ ）A. B. 1C. D. 5【答案】B【解析】【分析】利用导数运算求得.【详解】，令得故选：B4. 已知双曲线的左右焦点分别为过左焦点作斜率为2的直线与双曲线交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为，则b的值是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用点差法设、，作差即可得到，再根据斜率公式，从而得到，即可得解；【详解】解：设、，则

3、，两式相减可得，为线段的中点，又， ，即，故选：D.5. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈（1匹尺，一丈尺），问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹一丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ）A. 15B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据给定的信息可得数列为等差数列，再利用等差数列前n项和公式及通项的性质求解作答.【详解】依题意，数

4、列为递增等差数列，且，所以.故选：D6. 已知抛物线，圆：，过圆心作直线与抛物线和圆交于四点，自上而下依次为，若，成等差数列，则直线的斜率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，可得圆心C为抛物线的焦点，求出弦AB长，设出直线AB方程并与抛物线方程联立，求解作答【详解】圆：的圆心，半径，显然点为抛物线的焦点，其准线为，设，则，而，由，成等差数列得，因此，即有，解得，设直线的方程为，显然，由消去y得：，则有，解得，所以直线的斜率为.故选：B7. 已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则关于的不等式的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】

5、【分析】依题意令，求导分析单调性，不等式，可转化为，即，即可得出答案【详解】解：依题意令，则，所以在上单调递减，对于不等式，显然，则，即，又，所以，所以，即，所以，解得，即关于的不等式的解集为.故选：B8. 设函数（）（为自然对数的底数），若恰好存在两个正整数，使得，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，只需考查当时，成立的正整数有且只有两个，再构造函数，探讨其性质即可作答.【详解】函数中，而恰好存在两个正整数使得，则，当时，因此有且只有两个大于1的正整数使得成立，令，求导得：，由得，由得，因此函数在上单调递减，在上单调递增，而，则必有，又，因

6、此符合题意的正整数只有2和3两个，于是得，所以实数的取值范围是.故选：A【点睛】关键点睛：涉及不等式整数解的个数问题，构造函数，分析函数的性质并画出图象，数形结合建立不等关系是解题的关键.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（ ）A. 数列是递增数列B. C. 当时，D. 当或4时，取得最大值【答案】BCD【解析】【分析】根据给定的前项和，求出，再逐项判断作答.【详解】数列的前项和，当时，而满足上式，所以，B正确；数列是公差为的等差数列，是单调递减的

7、，A不正确；当时，C正确；当时，即数列前3项均为正，第4项为0，从第5项起为负，因此当或4时，取得最大值，D正确.故选：BCD10. 已知函数，则（ ）A. 在处的切线为轴B. 是上的减函数C. 为的极值点D. 最小值为0【答案】ACD【解析】【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义可判断A；结合函数的单调性与导数的关系，判断B;根据导数的正负与函数极值的关系，判断C,继而判断D.【详解】由题意知，故，故在处的切线的斜率为，而，故在处的切线方程为，即，所以在处的切线为轴，A正确；当时，当时，故在上单调递减，在上单调递增，B错误；由此可得为的极小值点，C正确；由于在上只有一个极小值点，故函数的

8、极小值也为函数的最小值，最小值为，D正确，故选：11. 已知抛物线：的焦点为，过点的直线与抛物线相交于，两点，下列结论正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则的最小值为4C. 以线段为直径的圆与直线相切D. 若，则直线斜率为1【答案】AC【解析】【分析】求出抛物线的焦点坐标、准线方程，设出点A，B的坐标及直线AB方程，再结合各选项的条件分别计算判断作答.【详解】抛物线：的焦点为，准线，设点，对于A，显然在抛物线上，则，A正确；对于B，当且仅当时取等号，当时，有，因此当时取得最小值5，B不正确；对于C，线段AB的中点M纵坐标为，则，显然点M是以线段为直径的圆的圆心，点M到直线的距离为，所以圆M与直

9、线相切，C正确；对于D，显然直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为：，由消去y得：，有，由得：，于是得，解得，D不正确.故选：AC12. 已知函数，则（ ）A. 函数在上单调递增B. 函数在上有两个零点C. 对恒有，则整数的最大值为D 若，则有【答案】ABD【解析】【分析】根据给定条件，求出函数的导数，再求出的导数，推导正负判断A；结合零点存在性定理推理判断B；利用导数探讨最值判断C；利用导数证明不等式判断D作答.【详解】函数，求导得，令，求导得，对于A，当时，有，函数在上单调递增，A正确；对于B，当时，有，函数在上单调递增，而，则使得，当时，当时，因此在上递减，在上递增，由选项A知，上递增，

10、又，则，使得，因此函数在上有两个零点，B正确；对于C，对恒有，由选项B知，则有，由得：，令，函数在上单调递减，又，则有，因此整数的最大值为，C不正确；对于D，当时，令，则，函数在上递减，即，函数在上递增，即，令，显然在上单调递增，则有函数在上单调递增，因此，即，所以当时，成立，D正确.故选：ABD【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 函数有极值，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】求出函数的导数，再利用存在变号零点求出a的范围作答.【详解】函数定义域为R

11、，求导得：，因为函数有极值，则函数在R上存在变号零点，即有两个不等实根，即有方程有两个不等实根，于是得，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：14. 双曲线：（，）的渐近线与抛物线的准线交于，两点，为坐标原点，的面积为1，则双曲线的渐近线方程为_【答案】或【解析】【分析】求出抛物线的准线及双曲线的渐近线，再联立求出线段AB长，结合三角形面积，求出作答.【详解】双曲线：的渐近线方程为：，抛物线的准线为直线：，联立与得：，因此有，而的面积，即，所以双曲线的渐近线方程为或.故答案为：或15. 已知数列满足，且是函数（）的极值点，设，则_【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用导数结合函数极值点的意

12、义求出数列的通项，进而求出，再求作答.【详解】函数，求导得：，依题意，即，有，而，因此数列是首项为3，公比为3的等比数列，此时，而，即当时，当时，则是函数的极值点，因此，所以.故答案为：16. 已知椭圆：的左、右焦点分别是，斜率为的直线经过左焦点且交C于A，B两点（点A在第一象限），设的内切圆半径为，的内切圆半径为，若，则椭圆的离心率_【答案】【解析】【分析】由题意得，联立直线与椭圆方程得，再利用，再代入值计算即可得答案.【详解】如图所示，由椭圆定义可得，设的面积为，的面积为，因为，所以，即，设直线，则联立椭圆方程与直线，可得，由韦达定理得：，又，即化简可得，即，即时，有.故答案为：四、解答题

13、：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 已知数列是公差不为零的等差数列，且是和的等比中项（1）求数列的通项公式：（2）已知，求数列的前20项和【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，结合等比中项列式求出数列的公差，即可求解作答.（2）利用（1）的结论，利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式计算作答.【小问1详解】设等差数列的公差为，由得，解得，又是和的等比中项，有，则，整理得，而，解得，所以数列的通项公式是.【小问2详解】由（1）知，所以.18. 设函数（1）当时，求的极值；（2）若函数有三个零点，求实数的取值范围【答案】（1）极大值，极小值； （2

14、）.【解析】【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的极值作答.（2）根据给定条件，求出函数的极大值与极小值，再利用三次函数的图象特征列出不等式求解作答.【小问1详解】当时，求导得：，当或时，当时，因此函数在上单调递增，在上单调递减，所以函数在取得极大值，在取得极小值.【小问2详解】函数，求导得：，当时，当且仅当且时取等号，函数在R上单调递增，最多一个零点，不符合题意，当时，当或时，当时，因此函数在上单调递增，在上单调递减，则函数在取得极大值，在取得极小值，因为三次函数有三个零点，从而，即，解得，所以实数的取值范围是.19. 已知双曲线经过点，点（1）求双曲线的标准方程；（2）已知，过点的直线与

15、双曲线交于不同两点，若以线段为直径的圆刚好经过点，求直线的方程【答案】（1）； （2）或.【解析】【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合垂直关系的向量表示求解作答.【小问1详解】依题意，设双曲线的方程为：，而双曲线经过点，点，则有，解得，即有，所以双曲线的标准方程为：.【小问2详解】显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为：，由消去得：，显然，设，则有，因为以线段为直径的圆刚好经过点，即有，而，于是得，即，有，整理得：，解得或，因此直线：或，所以直线的方程为或.20. 已知数列的前项和为，（1）求数列的通项公式

16、；（2）若，数列前项和为，是否存在实数，使得对任意，恒成立，若存在，求出实数的所有取值；若处存在，说明理由【答案】（1）； （2）存在，0.【解析】【分析】（1）根据给定的递推公式，探讨数列的性质，再求出其通项公式作答.（2）由（1）求出，利用错位相减法求出，再结合数列不等式恒成立求解作答.【小问1详解】数列的前项和为，当时，两式相减得：，即有，而，即，因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以数列的通项公式是.【小问2详解】由（1）知，则，两式相减得：，于是得，显然，假设存在实数，使得对任意，恒成立，则存在实数，使得对任意恒成立，即，成立，当为正偶数时，当为正奇数时，从而，所以存在实数，使

17、得对任意，恒成立，的值为0.21. 已知直线：，点，点是平面内一个动点，过点作于点，且（1）求点的轨迹方程；（2）设点是一定点，且，过点的直线交点的轨迹于，两点，该平面内是否存在不同于点的一定点，使得恒成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由【答案】（1）； （2）存在，.【解析】【分析】（1）根据给定条件，设出动点P的坐标，列出方程化简得解.（2）假定存在符合条件的点N，设出其坐标，直线AB不垂直于y轴时设出其方程，与（1）中轨迹方程联立，结合已知计算推理即可，再验证直线AB垂直y轴的情况作答.小问1详解】设点，依题意，则，当时，整理得：，即，因为，则当时，不成立，当时，整理得，显然符

18、合题意，所以点的轨迹方程是.【小问2详解】假设存在符合条件的点，设，当直线不垂直于y轴时，设其方程为，由消去x得：，有，即，由得，则，即，因为对符合题意的任意m值恒成立，因此且，由得，则有，即，于是得，即点为定点，当直线垂直于y轴时，不妨令，由得：，当且时，上述等式成立，综上得：存在定点，使得恒成立，所以存在不同于点的一定点，使得恒成立，点的坐标是.【点睛】易错点睛：求解轨迹方程问题，设出动点坐标，根据条件求列出方程，再化简整理求解，还应特别注意：补上在轨迹上而坐标不是方程解的点，剔出不在轨迹上而坐标是方程解的点.22. 已知函数（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；（2）若存在极小值，且极

19、小值等于，求证：【答案】（1）； （2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由条件可得在上恒成立，然后可得，然后利用导数求出的最大值即可；（2）求出，分、四种情况讨论的单调性，然后可得，令、，然后利用、的单调性可证明.【小问1详解】因为在上单调递增，所以在上恒成立，且不恒等于，由可得，令，则，所以在上单调递减，所以；【小问2详解】因为，其定义域为，所以，当时，所以当时，单调递减，当时，单调递增，所以的极小值为，而，不合题意，当时，由可得或，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，所以的极小值为，而，不合题意，当时，在上单调递增，不合题意，当时，由可得或，当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，所以的极小值为，令，则，所以， 令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，令，则所以在上单调递增，所以，所以当时有，因为，所以，又因为在上单调递减，所以，所以，即.