江苏省常州市2022-2023学年高三上学期期末考试 数学.doc

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1、 20222023学年高三年级模拟试卷数学(满分：150分考试时间：120分钟)20232一、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中只有一个选项符合要求1. 设集合Ax|x2，B，则(RA)B()A. (1，2) B. 1，2 C. 2，3) D. 2，32. 命题“x0，x”的否定为()A. x0，x B. x0，x C. x0，x D. x0，x3. 若复数z(aR)是纯虚数，则z()A. 1 B. i C. ai D. 3i4. 已知两个单位向量a，b满足(2ba)(2ab)，则a与b的夹角的余弦值为()A. B. C. D. 5. 已知正三棱柱ABCA1B1C

2、1与以ABC的外接圆为底面的圆柱的体积相等，则正三棱柱与圆柱的侧面积的比值为()A. B. C. D. 26. 设C(x2)nC(x2)n1C(x2)n2(1)nCa0xna1xn1an1xan，则a1a2an1()A. 2n12 B. 2n11 C. 2n2 D. 2n17. 下表提供了某厂进行技术改造后生产产品过程中记录的产量x(单位：吨)与相应的生产能耗y(单位：吨标准煤)的几组对应数据：x/吨3456y/吨标准煤2.5344.5已知该厂技术改造前100吨产品的生产能耗为90吨标准煤，试根据以上数据求出的线性回归方程，预测该厂技术改造后100吨产品的生产能耗比技术改造前降低了()参考公式

3、：在线性回归方程yabx中，b，aybx，其中x，y为样本平均值A. 19.65吨标准煤 B. 29.65吨标准煤C. 70.35吨标准煤 D. 90吨标准煤8. 已知函数f(x)则f(f(x)1解的个数为()A. 2 B. 3 C. 4 D. 5二、 选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分9. 某次测试，经统计发现测试成绩服从正态分布，函数P(x)e(xR)的图象为其正态密度曲线，则下列说法正确的是()A. 这次测试的平均成绩为90B. 这次测试的成绩的方差为10C. 分数在110分以上的人数与分数

4、在80分以下的人数相同D. 分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数大致相同10. 已知双曲线1的左、右焦点分别是F1，F2，点P在双曲线的右支上，则下列说法正确的是()A. 若直线PF1的斜率为k，则|k|0，)B. 使得PF1F2为等腰三角形的P有且仅有四个C. 点P到两条渐近线的距离乘积为D. 已知点Q(7，5)，则F2PPQ的最小值为511. 已知函数f(x)2xtan x，则下列结论正确的是()A. 函数f(x)不是周期函数B. 函数f(x)的图象只有一个中心对称点C. 函数f(x)的单调递减区间为(2k，2k)，kZD. 曲线yf(x)(x)只有一条过点(1，0)的切线12

5、. 若棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1的顶点都在半径为R的球面上，球面上点P与球心O分别位于平面ABCD的两侧，且四棱锥PABCD是侧棱长为l的正四棱锥记正四棱锥PABCD的侧棱与直线AB所成的角为，与底面ABCD所成的角为，则下列说法正确的是()A. 1545 B. 1545 C. Ra D. la三、 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 数据23，76，45，37，58，16，28，15，53，24，42，36的25百分位数是_14. 在平面直角坐标系xOy中，点P到直线x2与到点F(2，0)的距离相等，点Q在圆(x10)2y225上，则PQ的最小值为_15. 已知函

6、数f(x)x2，则不等式f(x1)f(x1)2x22的解集为_16. 已知数列an中，a11，n2an12(n1)2an.记bnan1an，则an的通项公式an_；bn的前n项和Tn_四、 解答题：本题共6小题，共70分解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17. (本小题满分10分)设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球现从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球(1) 记从甲袋中取出的2个球中恰有X个白球，求随机变量X的概率分布和数学期望；(2) 求从乙袋中取出的2个球中恰有1个红球的概率18.(本小题满分12分)已知等差数列an和等比数列bn满足a1b11

7、，a1a2b3，15a1a9b6.(1) 求数列an和bn的通项公式；(2) 记cnlog2bn1，求数列的前n项和Sn.19.(本小题满分12分)已知锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，边AB上的高CD为1，且c2ab cos C.(1) 求证：；(2) 求AB的最小值20.(本小题满分12分)如图，在边长为4的等边三角形ABC中，平行于BC的直线分别交线段AB，AC于点M，N.将AMN沿着MN折起至A1MN，使得二面角A1MNB是直二面角(1) 若平面A1MN平面A1BCl，求证：lBC；(2) 若三棱锥A1AMN的体积为1，求二面角NA1MB的正弦值21.(本小题满分

8、12分)已知点P(2，1)在椭圆C：1(ab0)上，C的长轴长为4，直线l：ykxm与C交于A，B两点，直线PA，PB的斜率之积为.(1) 求证：k为定值；(2) 若直线l与x轴交于点Q，求QA2QB2的值22.(本小题满分12分)已知函数f(x)x3ax23ax1a2，aR.(1) 若a1，求函数f(x)的单调区间；(2) 设函数f(x)有两个极值点x1，x2，若过点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)的直线恒在函数g(x)xexln xx图象的下方，求实数a的取值范围20222023学年高三年级模拟试卷(常州)数学参考答案及评分标准1. C2. A3. B4. D5. D6. C7. A

9、8. A9. AD10. ABC11. AD12. BC13. 23.514. 315. (，0)16. n22n1(2n1)2n117. 解：(1) X的可能取值为0，1，2，P(X0)，P(X1)，P(X2)，所以随机变量X的概率分布为X012P所以随机变量X的数学期望为E(X)012.(5分)(2) 记事件B：从乙袋中取出的2个球中恰有1个红球，(1)中X0，1，2正好为“从甲袋中任取2个球”的样本空间，由全概率公式，得P(B)P(Xi)P(B|Xi)，所以从乙袋中取出的2个球中恰有1个红球的概率为.(10分)18. 解：(1) 设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.因为a1

10、b11，a1a2b3，15a1a9b6，所以2dq20，168dq5，所以q38，所以q2，d2.从而an2n1，bn2n1.(6分)(2) 易知cnlog2bn1log22nn，所以1()，所以Sn()，即Sn.(12分)19. 解：(1) 由c2ab cos C及正弦定理得sin2CsinA sin B cos C，所以.因为锐角三角形中，ABC，所以sin (AB)sin (C)sin C，所以，所以.(5分)(2) 因为CD1，所以AD，BD，所以ABADBD.又因为tan Ctan (ACDBCD)，所以ADBD，(9分)所以(ADBD)21ADBD1()2，当且仅当ADBD时等号成

11、立，所以(ADBD)21，所以ABADBD.所以AB的最小值为.(12分)20. (1) 证明：因为MNBC，MN平面A1BC，BC平面A1BC，所以MN平面A1BC，又因为MN平面A1MN，平面A1MN平面A1BCl，所以lBC.(4分)(2) 解：取BC的中点D，连接AD交MN于点O，连接OA1.在正三角形ABC中，MNBC，D为BC的中点，所以O为MN的中点，AMAN，所以ODMN，A1MAMANA1N，从而OA1MN.因为二面角A1MNB是直二面角，即平面A1MN平面BMN，平面A1MN平面BMNMN，OA1平面A1MN，所以OA1平面BMN，即OA1平面ABC.(8分)设OAOA1x

12、，则，所以MN.因为三棱锥A1AMN的体积为1，所以MNOAOA11，即x21，所以x.(9分)以O为原点，OM，OD，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，易得平面A1MN的一个法向量为n1(0，1，0)，M(1，0，0)，A1(0，0，)，B(2，0)，所以(1，0)，MA1(1，0，)，设平面A1MB的法向量为n2(x，y，z)，有则取z1，则x，y1，所以平面A1MB的一个法向量为n2(，1，1)，即二面角NA1MB的正弦值为.(12分)21. 解：(1) 因为C的焦点在x轴上且长轴为4，则2a4，故可设椭圆C的方程为1(2b0).因为点P(2，1)在椭圆C

13、上，所以1，解得b22，所以椭圆C的方程为1.(3分)由整理得(14k2)x28kmx4m280，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则所以k1k2，所以(4k21)x1x2(4km4k2)(x1x2)4(m22m)0，所以(4k21)(4km4k2)4(m22m)0，整理得(2k1)(2k1m)0，因为直线l不经过点P，所以2k1m0，故2k10，即k为定值(7分)(2) 因为直线l：yxm，所以Q(2m，0)，由得2x24mx4m280，即x22mx2m240，则所以|2|2(x12m)2y(x22m)2y(x12m)2(x12m)2(x22m)2(x22m)2(x12m)2(x22m)

14、2xx4m(x1x2)8m2(x1x2)24m(x1x2)2x1x8m2(2m)22m4m2(2m24)8m210.(12分)22. 解：(1) 因为a1，f(x)x3x23x，f(x)x22x30，令f(x)0，得x1，3.x(，1)1(1，3)3(3，)f(x)00f(x)递减极小值递增极大值递减所以函数f(x)的单调递增区间为(1，3)，单调递减区间为(，1)，(3，).(4分)(2) 因为函数f(x)有两个极值点x1，x2，所以f(x)x22ax3a0有两个不相等的解x1，x2，4a212a0，所以a0或a3，x2ax13a，则x2ax3ax1，所以f(x1)(2ax3ax1)ax3a

15、x11a2，x2ax11a2(2ax13a)2ax11a2(a22a)x11，同理f(x2)(a22a)x21，则过点(x1，f(x1)，(x2，f(x2)的直线方程为y(a22a)x1.(7分)由题意知(a22a)x1xexln xx，对任意x(0，)恒成立，等价于a22a，对任意x(0，)恒成立先证：exx1，当且仅当x0时成立令g(x)exx1，g(x)ex1，所以g(x)在(，0)上单调递减，在(0，)上单调递增，所以当且仅当x0时，g(x)的最小值为g(0)0，所以2，当且仅当xln x0时取等号，令t(x)xln x，t(1)10，t()10，t(x)的图象是连续不间断的，所以存在x0(，1)，使x0ln x00，所以的最小值为2.(10分)所以a22a2，因为a0或a3，所以实数a的取值范围是(0，)(，3).(12分)