河北省唐山市第二中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题.docx

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1、唐山二中20222023学年度高二年级第一学期期末考试数学试卷一、单选题（共8小题，每题6分）1. 若直线的倾斜角为30,则实数m的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】分析：由直线的一般式方程求得直线的斜率，由斜率等于倾斜角的正切值列式求得a的值详解：直线的倾斜角为, 故选A点睛：本题考查了直线的倾斜角，考查了直线倾斜角与斜率的关系，是基础题2. 已知圆与圆外切，则直线与圆的位置关系是（ ）A. 相切B. 相离C. 相交D. 相交或相离【答案】C【解析】【分析】根据两圆外切求出a值，再借助点到直线的距离判断作答.【详解】圆的圆心坐标为，半径为2，圆的圆心坐标为，半径为3

2、，因为两圆外切，于是得，解得，圆的圆心到直线的距离，所以直线与圆相交故选：C3. 如图，在底面为平行四边形的四棱柱中，是与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】结合图形，根据空间向量的加法、减法、数乘运算，即可得解.【详解】.故选：A4. 已知点，分别为双曲线右顶点和右焦点，记点到渐近线的距离为，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设出双曲线方程，求出双曲线的一个焦点和一条渐近线方程，运用点到直线的距离公式及条件，可得结果.【详解】不妨设双曲线的一个焦点设为，一条渐近线的方程设为，由题意可得，又

3、，即，.故选：D5. 已知数列是等比数列，公比为，前项和为，则下列说法错误的是（ ）A. 为等比数列B. 也可能为等差数列C. 若，则为递增数列D. 若，则【答案】C【解析】【分析】对于A,根据等比数列的定义可以判断正误;对于B,非零常数列满足条;对于C,举出一个反例即可判断;对于D,根据等比数列的前n项和求出数列的前项，再用等比中项求出结果进行判断即可.【详解】对于A,因为数列是等比数列,公比为,所以,设,则是常数,所以A正确;对于B,若,即为等比数列也是等差数列,所以B正确;对于C,若,则数列为递减数列,所以C错误;对于D,因为,所以,由数列是等比数列,得,即,解得,所以D正确.故选:C.

4、6. 已知点，为椭圆的左右焦点，过点与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，则三角形的内切圆的半径为（ ）A B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据题意得的周长为，进而等面积法求解即可.【详解】解：根据题意得,，因为过点与轴垂直的直线与椭圆交于，两点所以， 根据椭圆定义得的周长为，不妨设三角形的内切圆的半径为， 所以根据等面积法得，代入数据得故选：C7. 在平行六面体中，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】，在中，所以，故选B8. 已知数列的前项和，设，为数列的前项和，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【

5、答案】A【解析】【分析】求出、的通项公式，代入，可得的取值范围.【详解】由数列的前项和，可得，故，故，故=，不等式恒成立，即恒成立，即，由，可得，(当n=1时等号成立)，所以，故选：A.【点睛】本题主要考查数列的通项公式、数列前n项和的求法、基本不等式的应用.二、多选题（共4小题，每题6分）9. 下列说法不正确的是（ ）A. 若，是两个空间向量，则不一定共面B. 直线的方向向量，为直线上一点，点为直线外一点，则点P到直线的距离为C. 若P在线段AB上，则D. 在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为【答案】AD【解析】【分析】根据共面向量、空间向量点到线距离公式、共线向量的性质，结合点关于

6、面对称点的特征逐一判断即可.【详解】因为任意空间两个向量总是共面的，所以选项A说法不正确；因为为直线上一点，点为直线外一点，所以有，所以点P到直线的距离为，所以选项B说法正确；因为若P在线段AB上，所以，因此选项C说法正确；因为在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为，所以选项D说法不正确，故选：AD10. 已知抛物线C：y24x的焦点为F，则下列结论正确的有（）A. 抛物线C上一点M到焦点F的距离为4，则点M的横坐标为3B. 过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为4C. 过点（0，2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有2条D. 过点（2，0）的直线1与抛物线交于不同的两点A（x1，y1

7、），B（x2，y2），则y1y28【答案】ABD【解析】【分析】利用抛物线的定义判断选项A，由焦点弦中最短的为通径，即可判断选项B，由直线与抛物线的位置关系判断选项C，由直线与抛物线联立，由韦达定理即可判断选项D【详解】解：抛物线C：y24x的焦点为F（1，0），准线方程为x1，对于A，设M的横坐标为x0，则由抛物线的定义可得，MFx0+14，解得x03，故选项A正确；对于B，过焦点F的直线被抛物线所截的弦长最短为通径长，又通径长为2p4，故选项B正确；对于C，当直线的斜率不存在时，直线为x0，与抛物线有一个公共点；当直线与抛物线的对称轴平行，即直线为y2时，与抛物线有一个公共点；当直线斜率存

8、在且不为0时，设直线的方程为ykx+2，联立方程组，可得k2x2+4（k1）x+40，则16（k1）216k20，解得，此时直线方程为，与抛物线有一个公共点综上所述，过点（0，2）与抛物线C有且只有一个公共点的直线有3条，故选项C错误；对于D，设过点（2，0）的直线方程为xmy+2，联立方程组，可得y24my80，则y1y28，故选项D正确故选：ABD11. 已知等差数列的公差，前项和为，若，则下列说法正确的是（ ）A B. C. 若，则D. 若，则【答案】BCD【解析】【分析】根据，得到，然后逐项判断.【详解】由，得. 若，则，不满足，故A错；由，故B正确；当时，且，则，所以，故C正确；当时

9、，且，则，所以，所以，则，故D正确. 故选：BCD.12. 已知双曲线：，是该双曲线上任意一点，、是其左、右焦点，则下列说法正确的（ ）A. 该双曲线的渐近线方程为B 若，则或12C. 若是直角三角形，则满足条件的点共4个D. 若点在双曲线的左支上，则以为直径的圆与以实轴为直径的圆外切【答案】ABD【解析】【分析】由双曲线方程求得，的值，然后逐一分析四个选项得答案【详解】解：因为双曲线：，所以双曲线的渐近线为，故A正确；又，所以，则，因为，所以或，故B正确；当或与轴垂直时，直角三角形有个，以为直径圆与双曲线有个交点，直角三角形有个，则若是直角三角形，则满足条件的点共个，故C错误；设，则，的中点

10、为，求得，可得，即以为直径的圆与以实轴为直径的圆外切，故D正确故选：ABD三、填空题（共4小题，每题6分）13. 已知直线与直线互相平行，则_.【答案】【解析】【分析】根据两直线平行的充要条件得到方程，解得即可.【详解】解：因为直线与直线互相平行，所以，解得.故答案为：14. 数列的通项公式为，则它的前100项之和等于_.【答案】【解析】【分析】根据并项求和得出答案.【详解】故答案为：15. 在我国古代数学名著九章算术中，四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑已知在鳖臑中，平面ABC，M为PC的中点，则点P到平面MAB的距离为_【答案】【解析】【分析】利用等体积法求得到平面的距离.【详解】因为平

11、面ABC，平面ABC，所以，依题意可知平面，所以平面，由于是的中点，所以到平面的距离是到平面的距离的一半，即到平面的距离是.,，所以，由于，所以，设到平面的距离为，则，即.故答案为：16. 已知点和抛物线，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A，B两点.若，则_.【答案】1【解析】【分析】设直线AB的方程为，与抛物线方程联立，根据，由求解.【详解】因为抛物线的焦点为，设直线AB的方程为，与抛物线方程联立，得，设，则，所以，所以，因为，所以，即，解得.故答案为：1四、解答题（共5小题，共54分）17. 已知递增的等比数列满足，且是和的等差中项.数列是等差数列，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，

12、求数列的前项和.【答案】（1），； （2）.【解析】【分析】（1）设等比数列首项为，公比为，列方程组求出即得解.求出等差数列的公差即得数列的通项公式；（2）利用分组求和法即可得出【小问1详解】解：设等比数列首项为，公比为由已知得代入可得于是故，解得或又数列为递增数列，故，.设等差数列首项为，公差为所以.所以.【小问2详解】解：由题得.所以数列的前项和.18. 已知圆C与y轴相切，圆心在x轴下方并且与x轴交于，两点.（1）求圆C的方程；（2）若直线过点且被圆C所截弦长为6，求直线的方程.【答案】（1）； （2），或.【解析】【分析】（1）根据已知条件及弦长、半径、弦心距三者的关系，结合圆的标准方

13、程即可求解；（2）根据（1）的结论及直线的点斜式方程，再利用弦长、半径、弦心距三者的关系及点到直线的距离公式即可求解.【小问1详解】由题意可知，设圆心坐标为，则，解得或，因为，所以，所以圆C的方程为.【小问2详解】因为直线过点且被圆C所截弦长为6，所以圆心到直线的距离为，当直线的斜率不存在时，直线的方程为，所以圆心到直线的距离为，符合题意；当直线的斜率存在时，直线的方程为，即，因为圆心到直线的距离为，所以，解得，所以直线的方程为，故所求线的方程为，或.19. 已知数列、满足，若数列是等比数列，且 （1）求数列、的通项公式；（2）令，求的前项和为.【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）由

14、条件解出的公比后求通项公式，由指数幂的运算性质求；（2）写出的通项公式，由错位相减法求和【小问1详解】 当时， ，又， 是以为首项，为公比的等比数列， 当时，由累加法可得：，又当时，也适合上式，【小问2详解】 -得： 20. 如图甲，在中，分别在，上，且满足，将沿折到位置，得到四棱锥，如图乙（1）已知，为，上的动点，求证：；（2）在翻折过程中，当二面角为60时，求直线与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）通过和证明平面即可得出；（2）以点为坐标原点，分别以，为，轴正方向建立坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）证明：在图甲中，又，且，即在图乙中，又，故有平面

15、，而平面，故有；（2）解：，所以为二面角的平面角，则，在中，由余弦定理，可知，满足，则有，由（1）知，平面，则，如图，以点为坐标原点，分别以，为，轴正方向建立坐标系，则，则，设平面的法向量为，则，取，所以直线与平面所成角满足【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查向量法求线面角，属于中档题.21. 已知椭圆上任意一点到其左右焦点、的距离之和均为4，且椭圆的中心到直线的距离为.（1）求椭圆的方程；（2）已知以椭圆右顶点为直角顶点的动直角三角形斜边端点、落在椭圆上，求动直角面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由距离之和为4可得，由到直线的距离为可得，求出，即可写出椭圆方程；（2）设所在直线，联立椭圆，写出韦达定理，利用可求出，表示出三角形面积，即可求出最大值.【详解】（1）由题可知.（2）由题易知斜边不可能和轴平行，故可设所在直线，联立消去整理得：，设，则有，由题可知（舍）或可得所在直线方程为：，恒过定点，所以，令，则，在上递增，所以，所以面积的最大值为，此时所在直线方程为：.【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，考查椭圆中三角形面积的最值问题，属于较难题.