高三数学二轮专题复习13 导数中恒成立与存在性问题.docx

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1、 函数与导数导数中的恒成立与存在性问题专题综述函数中的恒成立与存在性问题是高考的考查重点，这部分试题涉及函数方程，逻辑联结词，导数等知识，运用函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归与转化思想等多种思想方法.结合导数考查恒成立与存在性问题，试题难度较大，但题型大致可分为：已知单调区间，或在某区间上存在单调递增（减）区间或；利用单调性比较大小同构思想将式子两则变形为相同结构，构造函数利用单调性比较大小；分离参数构造函数求最值；含参讨论求函数最值；图象法.对于部分存在性问题，可从正难则反的角度，将存在问题转化为恒成立问题，或直接列出不等式解决.专题探究探究1：与单调性结合1.已知单调性转化

2、为导函数恒成立问题答题思路： 第一种: 已知函数在区间上单调递增（减）第二种：已知函数在区间上存在递增（减）区间i） ；ii）转化为函数在区间上不存在递增（减）区间即；第三种：已知即函数在区间上单调递增（间）转化为第一种情况2.已知不等式恒成立转化为利用单调性解不等式问题答题思路：同构法第一步:将不等式两侧变形为相同结构； 第二步:构造函数，则不等式即为；第三步:判断单调性，得出的关系，即为新的恒成立关系式. （专题1.3.10）3.抽象函数：与共存问题构造函数判断函数单调性，利用单调性解不等式（专题1.3.6）.（2021江苏南京月考）已知对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围是（ ）A.

3、B. C. D. 【审题视点】不等式中含有、，且两部分结构分离，不等式可变形为，联想到同构法的3种基本结构，即可以利用同构法，构造函数，利用单调性求参.【思维引导】不等式变形为 ，再变形为，构造函数，不等式即为.判断单调性，得出与的关系.【规范解析】1.根据不等式结构确定方法：同构法，选择积型；2.变形方式不唯一：；.解：由，得，设，则不等式为，又，当时，恒成立1.利用函数单调性，得出恒成立不等式；2.分离参数构造函数求最值.在上单调递增，即设，得，令，则在上单调递增，在上单调递减，则，得实数的取值范围是故选【探究总结】同构法解决恒成立问题求参，应先观察不等式，尤其是不等式中含有，的结构，初步

4、变形，再结合三种同构的基本模式，变形为，必要时涉及放缩.构造函数，利用函数单调性，得出的恒成立不等号式. （2021安徽六安模拟）已知函数（1）当时，证明：有解；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围探究2：转化为求一个函数最值恒成立与存在性问题转化为求函数最值的思路：第一种:分离参数：含参不等式转化为（或），求函数的最值；第二种:对不等式化简变形，转化为的结构，含参讨论函数单调性，求出最值；（2021陕西西安月考）已知函数（1）当时，求函数的图象在处的切线方程；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围其中为自然对数的底数【审题视点】 解答题中出现恒成立问题，首先选择分离参数，构

5、造函数求最值；若构造的函数复杂，或解导数不等式困难，则对不等式作适当变形，构造含参函数，分类讨论，判断函数单调性.【思维引导】对不等式的结构进行变形，“化分为整”变为；构造函数，分类讨论函数的单调性.【规范解析】解：（1）当时，所以，此时，故，在点处切线方程为，即（2）由题意得对任意恒成立令，得，设，构造的函数，一次求导，使参数和分离，便于讨论，设，则，在上单调递减，参数的讨论，以的范围，为依据两种情况讨论，函数单调性，并求出最值当时，则在单调递增，当时，存在使得，即，隐零点问题，设而不求在上单调递减，在上单调递增，则，所以，即，已知隐零点范围求参，将方程，转化为关于的函数，求值域即，又在上单

6、调递减，综上所述：.【探究总结】解答题中的恒成立问题，经常会构造含参函数，分类讨论，判断函数单调性.对不等式的变形，尽量使分式化为整式，使函数变为或的结构，便于求导及解导数不等式. （2021广东广州联考）已知函数（1）当时，求曲线在点处的切线方程;（2）若对任意，不等式恒成立，求正整数的最小值.探究3：转化为求两个函数最值1.恒成立或能成立的不等式，转化为上述两种形式，研究一个函数最值时，解导数不等式较困难，无法明确函数单调性，可以将不等式转化为的形式，转化为求两个函数的最值进行比较；2.“”与“”共存的命题：； (2021湖北宜昌模拟）已知函数，其中是自然对数的底数（1）若关于的不等式在上

7、恒成立，求实数的取值范围；（2）已知正数满足：存在使得成立，求正实数的取值范围【审题视点】 两问都是恒成立或者存在问题，思考方向为分离参数、构造含参函数、比较两个函数最值，根据不等式特点，选择适当的方法.【思维引导】 （1）恒成立问题：分离参数构造函数求最值；（2），由于符号不确定，排除分离参数；若构造函数，其导函数较复杂，不利于判断单调性；不等式两侧的函数都是能够容易判断单调性的函数，故可转化比较不等式两侧的函数的最值，求参.恒成立问题首先选择分离参数，思路清晰.若参数前，含的部分，符号确定，可以先分离参数，构造不含参数的函数.函数本身能够利用常规方法求最值，或对于导函数，能够解不等式，或通

8、过二次求导判断符号，判断函数单调性，求出最值即可【规范解析】解：（1）由题意得 ，恒成立，即在上恒成立，即对恒成立.令，则对任意恒成立，当且仅当时等号成立，思路：1.对不等式作适当变形，观察不等式结构；2.明确解题方法：单调性法、分离参数、含参讨论、比较两个函数的最值，结合不等式结构，逐个排除，选择合适的方法.（2）由题意得 设，则当时，又当时，在上单调递增，令，即在上单调递减，即【探究总结】恒成立与存在性问题求参，首先要根据不等式结构选择合适的方法，确定解题方向.将不等式两侧 “合二为一”时，难以判断函数单调性，则将不等式“一分为二”，若不等式左右两侧结构一致，则利用同构法解决，若结构不一致

9、，则分别求两个函数的最值. (2021江苏镇江模拟）已知函数，其中，（1）若是函数的极值点，求实数的值及的单调区间；（2）若对任意的，使得恒成立，且，求实数的取值范围.专题升华利用导数解决恒成立与存在性问题，往往试题难度属于中高档题，题型涉及选择题、填空题和解答题,方法灵活，综合性强，是高考的热点和难点.解题时，要善于转化恒成立与能成立的不等式，才能 “拨开云雾见天日”.从导数知识点的角度看：导数的几何意义：求出直线与函数图象相切时的斜率.若题干不等式能够转化为数形结合，从图象的角度理解为函数的图象在直线的下方，即求出直线与函数图象相切时的方程，从而求出参数的取值范围，作图时，需借助导数判断函

10、数单调性.导数研究单调性：（1）导数的符号决定原函数的单调性，若已知函数在区间上单调转化为导函数的恒成立问题；若已知函数在区间上存在单调区间转化为导函数的存在性问题；（2）利用单调性比较大小：抽象函数利用与共存的不等式构造函数，判断单调性； 同构法不等式变形为，判断的单调性，得出关于恒成立或能成立的不等式.利用导数求最值：恒成立或能成立的不等式变形为，由不等式的形式灵活的选择适当的方法即分离参数构造函数求最值、含参讨论函数最值、比较两个函数的最值，求出参数取值范围.【答案详解】变式训练1 【解析】（1）证明：当时，令则，在上单调递减.又，使得当时，则， 当时，则， 在上单调递增，在单调递减，故

11、，有解.（2）解：对任意，不等式恒成立，即恒成立，即，即恒成立.令，则上式即为：，为上的增函数，令，则当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， ，即实数的取值范围是变式训练2 【解析】解：（1）当时， ，又，所求切线的方程为，即为，（2）当时，即，令，则，令，则，当时，在区间上单调递减又，在区间上存在一个零点，则，即，当时，即，函数单调递增，当时，即，函数单调递减，则，正整数的最小值是变式训练3 【解析】解：由题意得 ；，即，或；经检验，或时，是函数的极值点，或；由，则令，则在上单调递减；在上单调递增（2），恒成立，即时， ，当时，函数在上是减函数当时， ，令，则当时，恒成立函数在上是增函数由，得，又，当时，函数在上是减函数，在上是增函数，得，综上所述：