2.1一元二次函数、方程和不等式-(人教A版2019必修第一册) (教师版).docx

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1、一元二次函数、方程和不等式1不等式关系与不等式 不等式的性质(1) 传递性：ab , bc ac；(2) 加法法则：ab a+cb+c , ab , cd a+cb+d；(3) 乘法法则：ab , c0 acbc , ab , c0acb , ab0 1ab0 anbn (n N 且 n1)； 比较a ,b大小(1) 作差法( ab与0的比较) ab0 ab ; ab=0 a=b ; ab0 a1 , b0 ab ; ab1 , b0 a0为例)函数、方程、表达式0=00二次函数y=ax2+bx+c的图象一元二次方程ax2+bx+c=0的根有两个相异实数根x1 , 2=bb24ac2a(x10

2、的解集x|xx2x|xb2aR一元二次不等式ax2+bx+c0的解集x|x1x0与ab0均意味a,b同号，故ab0与ab0等价的；ab0与ab0均意味a,b异号，故ab0与ab0fxgx0，fxg(x)0fxgx0且gx0.比如x1x20x1x20 ; x1x20x1x20且x20. fxg(x)0fxgx0，fxg(x)0fxgx0且gx0.比如x1x20x1x20(或bc，则下列不等式正确的是 ()Aa+bc B1acb|c|Dab2c2+1bc，Aa+bc错误，比如456，得出4+5bc0，1acb|c|错误，比如|c|=0时，a|c|=b|c|；Dab2a2b=ab(ba) , ab(

3、ba)=0时，ab2=a2b，ab2c2+1=a2bc2+1，该选项错误故选：B【点拨】涉及不等式的选择题，适当利用“取特殊值排除法”会做得更快些.【典题2】已知a0，试比较a2+1a21与a+1a1的值的大小【解析】a2+1a21a+1a1=a2+1(a+1)2a21=2aa21，(作差法)(i)当a1时，2a0，则2aa210，即a2+1a21a+1a1；(确定差2aa21与0的大小)(ii)当0a1时，2a0 , a210，即a2+1a21a+1a1综上可得a1时，a2+1a21a+1a1；0aa+1a1【点拨】比较两个式子的大小，可用做差法或做商法；一般幂的形式比较大小用作商法，比如比

4、较aabb与aba+b2；多项式形式常用做差法，比如比较xy与x+y1.【典题3】已知c1，a=c+1c，b=cc1，则正确的结论是()Aab Ca=b Da与b的大小不确定【解析】方法一 特殊值法取特殊值，令c=2，则a=32，b=21，易知ab, 排除B,C，还不能排除D，猜测选A.方法二 做差法，分析法ab=c+1ccc1=c+1+c12c要比较a , b大小，只需要比较c+1+c1与2c的大小比较c+1+c12与4c的大小 (遇到二次根式可考虑平方去掉根号)比较2c+2c21与4c的大小比较c21与c的大小而显然c21c，故c+1+c12c，故a1，c+1c10c+1c1c+1+cc+

5、c10，1c+1+c1c+c1，即ab，故选A.【点拨】 比较两个式子的方法很多，选择题可以考虑取特殊值排除法； 方法二中，遇到带有根号的常常两边平方去掉根号再比较，此时注意两个式子是否都是正数；在思考的过程中，不断使用“等价转化”把比较的两个式子越化越简单，等价过程中注意严谨； 方法三中注意到(cc1)(c+c1)=1.若A=x+y ,B=xy，A,B互为共轭根式，它们的乘积、平方和差有一定的特点.AB=xy ，A2+B2=2x+y ，A2B2=4xy .巩固练习1 () 已知1b0 , aabab2Bab2abaCabaab2Dabab2a【答案】D 【解析】1b0，a0，b01，b20，

6、ab2a=a(b21)0abab2a故选：D2 () 设1b1ab Bab2 D1|b|1|a|【答案】 C 【解析】设1b1a0，可得ab0，则A错误；由ab0，abab，故B错误；由ab1，则b3a3+a3b32b3a3a3b3=2，故C正确；由1b1a1|a|，故D错误故选：C3() 已知a , bR，且P=a+b2，Q=a2+b22，则P、Q的关系是()APQBPQCPQDPQ CPa2+8a+7，2a2+8a+152a2+8a+7，P2Q2，且P0，Q0，PQ故选B5() 设S=aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+dd+a+b , a , b , c , dR+，则下列判断中正

7、确的是( ) A0S1 B1S2 C2S3 D3Saa+b+c+d+ba+b+c+d+ca+b+c+d+da+b+c+d=1S=aa+b+c+bb+c+d+cc+d+a+dd+a+baa+c+bb+d+cc+a+dd+b=2即1S0的解集为1x0的解集为 .【解析】关于x的不等式ax2+bx+c0的解集为1x2，1、2是方程ax2+bx+c=0的两实数根，且a0 , c=2a0，不等式bx2axc0化为ax2ax+2a0x2+x20 ，即(x1)(x+2)0，解得x1；则该不等式的解集为( , 2)(1 , +)【点拨】通过二次函数的图像理解，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式三者之间的关

8、系.【典题2】解关于x的不等式：x2x+32【解析】x2x+320x22x+3x+30x8x+30x+8x+30；等价变形为：x+8x+30且x+30； (注意分母x+30)解得8x3. 巩固练习1() 若不等式2kx2+kx380对一切实数x都成立，则k的取值范围为 ()A3k0B3k0C3k0D3k0 【答案】D 【解析】2kx2+kx380对一切实数x都成立，k=0时，380恒成立，k0时，k0=k2+3k0，解可得3k0综上可得，30的解集为( , 1)(m , +)，则a+m等于()A1B1C2D3 【答案】 D 【解析】由题意知，1和m是方程x23ax+2=0的两个根，则由根与系数

9、的关系，得1+m=3a1m=2，解得a=1m=2，所以a+m=3故选：D3() 若不等式ax2+2x+c0的解集是( , 13)(12 , +)，则不等式cx22x+a0的解集是()A12 , 13B13 , 12C2 , 3D3 , 2 【答案】 C 【解析】不等式ax2+2x+c0，即412+a016+a0，解得51的解集是 .【答案】 2，3 6() 已知不等式ax2+bx+c0的解集是x|x0，则不等式cx2+bx+a0的解集是 .【答案】 (1 , 1) 【解析】不等式ax2+bx+c0的解集是x|x0)，则，是一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，且a0化为 cax2+bax+

10、10，x2(+)x+10；化为(x1)(x1)0；又010；不等式cx2+bx+a0的解集为：x|1x1，故选：A7() 不等式axx11的解集为x|x2，则a值是 .【答案】 a=12【解析】不等式axx11等价于a1x+1x10即a1x2+2ax10 ,a=0 ,a0.【解析】(不确定不等式对应函数y=ax2+(a+2) x+1是否是二次函数，分a=0与a0讨论)(1) 当a=0时，不等式为2x+10，解集为x | x12 ；(2) 当a0时，=a+224a=a2+40 (二次函数y=ax2+(a+2) x+1与x轴必有两个交点)解得方程ax2+(a+2) x+1=0两根x1=a2a2+4

11、2a , x2=a2+a2+42a ；(二次函数的开口方向与不等式的解集有关，分a0与a0时，解集为x | xa2+a2+42a或xa2a2+42a；(ii)当a0时, 解集为x | a2+a2+42ax12；当a0时，解集为x | xa2+a2+42a或xa2a2+42a；当a0时, 解集为x | a2+a2+42ax0.【解析】=a216 (此时不确定二次函数y=x2+ax+4是否与x轴有两个交点，对判别式进行讨论)当4a4，即4或a0时，此时两根为x1=a+a2162 , x2=aa2162 ，显然x1x2，不等式的解集为x | xa+a2162 或xaa2162. 综上，当4a4或aa

12、+a2162 或xaa2162. 角度3：按方程的根大小分类解不等式：x2a+1ax+10 (a 0).【解析】原不等式可化为：xax1a0 , 令xax1a=0，得x1=a ,x2=1a；(因式分解很关键，此时确定y=xax1a与x轴有交点，x1 ,x2的大小影响不等式解集)(i)当x1=x2时，即a=1aa=1时，解集为；(ii)当x1x2时，即a1aa1 或0a1时，解集为x | axx2时，即a1a1a1时，解集为x 1a xa.综上，当a=1时，解集为；(ii)当a1 或0a1时，解集为x | ax1a；(iii)当1a1时， 解集为x 1a xa.【点拨】 当求解一元二次不等式时，

13、它是否能够因式分解，若可以就确定对应的二次函数与x轴有交点，就不需要考虑判别式.常见的形式有x2a+1x+a=x1xa , x2a+1ax+1=(xa)(x1a)，ax2+a+1x+1=ax+1x+1等，若判别式是一个完全平方式，它就能做到“较好形式的十字相乘”，当然因式分解也可以用公式法求解； 在求解含参的一元二次不等式，需要严谨，多从二次函数的开口方向、判别式、两根大小的比较三个角度进行分类讨论，利用图像进行分析.巩固练习1 () 关于x的不等式x2(a+1)x+a0的解集中恰有1个整数，则实数a的取值范围是 ()A(1 , 02 , 3)B2 , 1)(3 , 4C1 , 0)( 2 ,

14、 3D(2 , 1)(3 , 4) 【答案】 C 【解析】由x2(a+1)x+a0，得(x1)(xa)1，则不等式的解为1xa，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x=2，则2a3若a1，则不等式的解为ax1，此时要使不等式的解集中恰有1个整数解，则此时1个整数解为x=0，则1a0【答案】a1时，不等式的解集是R， a=1时，不等式的解集是x|x1， a1+1a或x11a【解析】方程x2+2x+a=0中=44a=4(1a)，当1a1时，不等式的解集是R，当1a=0，即a=1时，不等式的解集是x|x1，当1a0即a1时，由x2+2x+a=0解得：x1=11a，x2=1+1a，

15、a1+1a或x1时，不等式的解集是R，a=1时，不等式的解集是x|x1，a1+1a或x0(aR)【答案】 a4或a4时，不等式的解集为x|xa+a2164；a=4时，不等式的解集为x|xa4；4a0(aR)中，=a2422=a216，当a4或a0，对应的一元二次方程有两个实数根x=aa2164和x=a+a2164，且aa2164a+a2164，不等式的解集为x|xa+a2164；当a=4时，=0，对应的一元二次方程有两个相等的实数根x=a4，不等式的解集为x|xa4；当4a4时，4或a4时，不等式的解集为x|xa+a2164；a=4时，不等式的解集为x|xa4；4a0【答案】当a0时，解集是(

16、1 , 1a)； 当a=0时，解集是(1 , +)； 当01时，解集是( , 1)(1a , +) 【解析】当a=0时，x1 当a0时，a(x+1a)(x+1)0当a0时，(x+1a)(x+1)0，解得1x0时，(x+1a)(x+1)0当a=1时，x1 当0a1时，x1当a1时，x1a 当a0时，解集是(1，1a)；当a=0时，解集是(1，+)；当01时，解集是(，1)(1a，+) 5 () 关于x的不等式ax12x2恰有2个整数解，求实数a的取值范围.答案】 (32 , 4343 , 32) 【解析】不等式ax12x2恰有2个整数解，即ax12x20(a+1)x1)(a1)x1)0，即a1，或a1时，不等式解为1a+1x1a1，1a+1(0,12 )，恰有两个整数解，即：1，2，21a13，2a213a3，解得：43a32；当a1时，不等式解为1a+1x1a1，1a1(12，0)，恰有两个整数解即：1，2，31a+12，2(a+1)13(a+1)，解得：32a43，综上所述：43a32，或32a43