中考数学高频考点突破——一次函数与三角形综合.docx

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1、中考数学高频考点突破一次函数与三角形综合1. 已知一次函数 y=33x+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C，CAO=30，B 点在第一象限，四边形 OABC 为长方形，将 B 点沿直线 AC 对折，得到点 B，连接点 CB 交 x 轴于点 D(1) E 是直线 AC 上一个动点，F 是 y 轴上一个动点，求出 DEF 周长的最小值(2) 点 P 为 y 轴上一动点，作直线 AP 交直线 CD 于点 Q，将直线 AP 绕着点 A 旋转，在旋转过程中，与直线 CD 交于 Q，请问，在旋转过程中，是否存在点 P 使得 CPQ 为等腰三角形？如果存在，请求出 OAP 的度数；如果不存在，请

2、说明理由2. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，矩形 ABCD 的边 AD=3，A12,0，B2,0，直线 y=kx+b（k0）经过 B，D 两点(1) 求直线 y=kx+bk0 的表达式(2) 若直线 y=kx+bk0 与 y 轴交于点 M，求 CBM 的面积3. 在平面直角坐标系中，直线 y=12x+b 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，点 P 坐标为 3,0，过点 P 作 PCx 轴于 P，且 ABC 为等腰直角三角形(1) 如图，当 BAC=90，AB=AC 时，求证：ABOCAP(2) 当 AB 为直角边时，请直接写出所有可能的 b 值4. 如图，已知一次函数 y=13x

3、+b 的图象与 x 轴交于 A6,0 与 y 轴相交于点 B，动点 P 从 A 出发，沿 x 轴向 x 轴的正方向运动(1) 求 b 的值，并求出 PAB 为等腰三角形时点 P 的坐标；(2) 在点 P 出发的同时，动点 Q 也从点 A 出发，以每秒 10 个单位的速度，沿射线 AB 运动，运动时间为 ts求点 Q 的坐标；（用含 t 的表达式表示）若点 P 的运动速度为每秒 k 个单位，请直接写出当 APQ 为等腰三角形时 k 的值5. 如图，直线 AB:y=2x+6 与直线 AC:y=2x+2 相交于点 A，直线 AB 与 x 轴交点 B，直线 AC 与 x 轴交于点 D，与 y 轴交于点

4、 C(1) 求交点 A 的坐标(2) 求 ABC 的面积6. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l1:y=mx+bm0 与 x 轴交于点 A3,0，直线 l 与直线 l2:y=nxm0 交于点 Ba,2，若 AB=BO(1) 求直线 l1 与直线 l2 的解析式；(2) 将直线 l2 沿 x 轴水平移动 2 个单位得到直线 l3，直线 l3 与 x 轴交于点 C，与 l1 直线交于点 D，求 ACD 的面积7. 如图，直线 y=kx+6 分别与 x 轴、 y 轴交于点 E，F，已知点 E 的坐标为 8,0，点 A 的坐标为 6,0(1) 求 k 的值(2) 若点 Px,y 是该直线上的一个动点，

5、当 OPA 的面积为 27 时，求点 P 的坐标8. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 过点 A1,1，B2,0，交 y 轴于点 C，点 D0,n 在点 C 上方，连接 AD，BD(1) 求直线 AB 的表达式；(2) 当 SABD=2 时，在第一象限内求作点 P，使得 BP=BD，且 BPBD9. 如图，在平面直角坐标系中，直线 l1 的解析式为 y=x，直线 l2 的解析式为 y=12x+3，与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、点 B，直线 l1 与 l2 交于点 C(1) 求点 A 、点 B 、点 C 的坐标，并求出 COB 的面积；(2) 若直线 l2 上存在点 P（不

6、与 B 重合），满足 SCOP=SCOB，请求出点 P 的坐标；(3) 在 y 轴右侧有一动直线平行于 y 轴，分别与 l1，l2 交于点 M，N，且点 M 在点 N 的下方，y 轴上是否存在点 Q，使 MNQ 为等腰直角三角形？若存在，请直接写出满足条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由10. 如图 1，在平面直角坐标系中直线 AB 与 x 轴、 y 轴相交于 A6,0，B0,2 两点，动点 C 在线段 OA 上，将线段 CB 绕着点 C 顺时针旋转 90 得到 CD，此时点 D 恰好落在直线 AB 上时，过点 D 作 BEx 轴于点 E(1) 求证：BOCCED；(2) 求经过 A，B

7、 两点的一次函数表达式如图 2，将 BCD 沿 x 轴正方向平移得 BCD，当直线 BC 经过点 D 时，求点 D 的坐标及 BCD 的面积；(3) 若点 P 在 y 轴上，点 Q 在直线 AB 上是否存在以 C，D，P，Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，通过画图说明理由，并指出点 Q 的个数11. 如图，直线 l 经过原点和点 A3,5，点 B 在 x 轴的正半轴上，且 ABO=45，AHOB，垂足为点 H(1) 求直线 l 所对应的函数解析式；(2) 求线段 AH，OB 的长度之比；(3) 如果点 P 是线段 OB 上一点，设 BP=x，APB 的面积为 S，写出 S 与 x 的函数

8、解析式，并指出自变量 x 的取值范围当 x 取何值时，APB 为钝角？12. 如图，A，B 是直线 y=x+4 与坐标轴的交点，直线 y=2x+b 过点 B，与 x 轴交于点 C(1) 求 A，B，C 三点的坐标；(2) 当点 D 是 AB 的中点时，在 x 轴上找一点 E，使 ED+EB 的和最小，画出点 E 的位置，并求 E 点的坐标；(3) 若点 D 是折线 ABC 上一动点，是否存在点 D，使 ACD 为直角三角形？若存在，直接写出 D 点的坐标；若不存在，请说明理由13. 如图，一次函数的图象过 A3,0，B0,3 两点(1) 求直线 AB 的函数表达式(2) 直线 y=3x3 交

9、x 轴于点 C，E 为直线 AB 上一动点求 CE 的最小值； D 是直线 y=3x3 上任意一点，F 为直线 AB 上另一动点，若 DEF 是以 22 为直角边长的等腰直角三角形，求 D 点的坐标14. 如图，一次函数 y1=kx+b 的图象与 y 轴交于点 B0,1，与 x 轴交于点 C，且与正比例函数 y2=34x 的图象交于点 Am,3，结合图象回答下列问题(1) 求 m 的值和一次函数 y1 的表达式；(2) 求 BOC 的面积；(3) 当 x 为何值时，y1y20 与坐标轴交于点 C，D，直线 l1，l2 与相交于点 E(1) 当 k=2 时，求两条直线与 x 轴围成的 BDE 的

10、面积；(2) 点 Pa,b 在直线 l2:y=kx+2k0 上，且点 P 在第二象限当四边形 OBEC 的面积为 233 时求 k 的值；若 m=a+b，求 m 的取值范围答案1. 【答案】(1) 一次函数 y=33x+4 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C， C0,4，A43,0， 将 B 点沿直线 AC 对折，得到点 B， B23,2， C0,4，B23,2， CB 的函数表达式为 y=3x+4， D433,0，作 D 点关于 y 轴的对称点 D433,0，作 D 点关于 AC 的对称点 D833,4， DD=8， DEF 周长的最小值 =8(2) 分类讨论如下：当 PC=PQ，O

11、AP=30当 CP=CQ 时，OAP=15当 QC=QP 时，OAP=60综上所述：在旋转过程中，存在点 P 使得 CPQ 等腰三角形，如果存在，OAP 的度数分别为 15，30，602. 【答案】(1) 矩形 ABCD， DAx 轴 AD=3，A12,0， D12,3把 B2,0，D12,3 分别代入 y=kx+b，得 2k+b=0,12k+b=3, 解得 k=2,b=4, 直线 y=kx+b 的表达式为 y=2x+4(2) 当 x=0 时，y=20+4=4， M0,4 矩形 ABCD， BC=AD=3 B2,0， OB=2过 M 作 MNBC，交 BC 的延长线于 N，则 MN=OB=2，

12、 CBM 的面积为 12BCMN=1232=33. 【答案】(1) BAC=90， OAB+CAP=90， PCx 轴， CPA=90， PCA+CAP=90， OAB=PCA， AOB=90， AOB=CPA，在 ABO 和 CAP 中， AOB=CPA,OAB=PCA,AB=CA, ABOCAPAAS(2) b 值为 3 或 3 或 1【解析】(2) 分三种情况：如图 1 所示： 直线 y=12x+b 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， A2b,0，B0,b， OA=2b，OB=b， 点 P 坐标为 3,0， OP=3，由（1）得：ABOCAPAAS， OB=AP=b， OP=O

13、AAP=b=3， b=3；如图 2 所示：作 CMy 轴于 M，则 CM=OP=3，同得：ABOBCMAAS， OB=CM=3， b=3；如图 3 所示：同得：ABOCAPAAS， OB=AP=b， OA=2b，OA+AP=3， 2bb=3， b=1综上所述，当 AB 为直角边时，所有可能的 b 值为 3 或 3 或 14. 【答案】(1) 把 A6,0 代入 y=13x+b 得，b=2， B0,2，AO=6，OB=2，AB=OA2+OB2=40=210， PAB 为等腰三角形， 当 AP=AB 时，AP=210， P2106,0；当 BP=BA 时，OP=OA=6， P6,0；当 PA=PB

14、 时，设 OP=x，则 PA=PB=6x，在 RtOPB 中， OP2+OB2=PB2， x2+22=6x2，解得：x=83， P83,0综上所述，当 PAB 为等腰三角形时点 P 的坐标为 2106,0 或 6,0 或 83,0(2) 点 Q 在直线 y=13x+b 上， 设 Qa,13a2，作 QHx 轴于 H，则 QH=13a+2，AH=6+a， AQ=QH2+AH2=1013a+2， AQ=10t， t=13a+2， a=3t6， Q3t6,t；由题意得，AQ=10t，AP=kt， APQ 为等腰三角形， 当 AP=AQ 时，10t=kt， k=10，当 AQ=PQ 时，即 AH=12

15、AP， 3t=12kt， k=6；当 PA=PQ 时，在 RtPQH 中， HP2+HQ2=PQ2， 3tkt2+t2=kt2， k=53，综上所述，当 APQ 为等腰三角形时 k 的值为 10 或 6 或 535. 【答案】(1) A 为交点， 联立 AB，AC : y=2x+6,y=2x+2, 整理得 x=1,y=4. A 坐标 1,4(2) 由题得 B3,0，C0,2，D1,0，由（1）得 A1,4， BD=4， SABC=SABDSBCD=12BDyA12BDyC=12441242=4. 6. 【答案】(1) 点 A3,0，点 Ba,2，且 AB=BO a=32， 点 B32,2，把

16、A3,0，B32,2 代入 y=mx+b 得 3m+b=0,32m+b=2, 解得 m=43,b=4, 直线 l1:y=43x+4；把 B32,2 代入 y=nx 得 2=32n，解得 n=43， 直线 l2:y=43x(2) 分两种情况：将直线 l2 沿 x 轴水平向右移动 2 个单位得到直线 l3 为 y=43x2=43x+83，解 y=43x+83,y=43x+4, 得 x=12,y=103, D12,103，由直线 l3 为 y=43x+83 可知 C2,0， AC=5， ACD 的面积 =125103=253；将直线 l2 沿 x 轴水平向左移动 2 个单位得到直线 l3 为 y=4

17、3x+2=43x83，解 y=43x83,y=43x+4, 得 x=52,y=23, D52,23，由直线 l3 为 y=43x83 可知 C2,0， AC=1， ACD 的面积 =12123=13综上所述，ACD 的面积为 253 或 137. 【答案】(1) 将点 E8,0 代入 y=kx+6 中，得 8k+6=0，解得 k=34(2) 由（1）知 k=34， 直线 EF 的解析式为 y=34x+6 点 A 的坐标为 6,0， OA=6，设点 P 的坐标为 x,y，则点 P 到直线 OA 的距离为 y， SOPA=126y=27，解得 y=9，由 34x+6=9 或 34x+6=9，解得

18、x=4 或 x=20， 当 OPA 的面积为 27 时，点 P 的坐标为 4,9 或 20,98. 【答案】(1) 设直线 AB 的解析式为：y=kx+b，把点 A1,1，B2,0 代入得 k+b=1,2k+b=0, 解得：k=13,b=23, 直线 AB 的解析式为：y=13x+23；(2) 由（1）知：C0,23， CD=n23， ABD的面积=12n231+12n232=32n1； ABD的面积=32n1=2， n=2， D0,2， OD=OB， BOD 三等腰直角三角形， BD=22，如图， 点 P 在第一象限内，BP=BD，且 BPBD， DBP 是等腰直角三角形，DB=BP=22，

19、 BDP=45， BDP=DBO=45， DPx轴， PD=2DB=4， P4,29. 【答案】(1) 直线 l2 的解析式为 y=12x+3，与 x 轴、 y 轴分别交于点 A 、点 B，则点 A，B 的坐标分别为 6,0，0,3，联立式 y=x，y=12x+3 并解得：x=2，故点 C2,2； COB 的面积 =12OBxC=1232=3(2) 设点 Pm,12m+3，SCOP=SCOB，则 BC=PC，则 m22+12m+322=22+12=5，解得：m=4或0（舍去 0），故点 P4,1(3) 设点 M，N，Q 的坐标分别为 m,m，m,312m，0,n，当 MQN=90 时，因为 G

20、NQ+GQN=90，GQN+HQM=90，所以 MQH=GNQ，NGQ=QHM=90，QM=QN，所以 NGQQHM（AAS），所以 GN=QH，GQ=HM，即：m=312mn，nm=m，解得：m=67，n=127；当 QNM=90 时，则 MN=QN，即：312mm=m，解得：m=65，n=yN=31265=125；当 NMQ=90 时，同理可得：n=65；综上，点 Q 的坐标为 0,127 或 0,125 或 0,6510. 【答案】(1) 因为 BOC=BCD=CED=90，所以 OCB+DCE=90，DCE+CDE=90，所以 BCO=CDE，因为 BC=CD，所以 BOCCED（HL

21、）(2) 设直线 AB 解析式为 y=kx+b，把 A6,0，B0,2 代入，所以直线 AB 的解析式为 y=13x+2，因为由（1）得 BOCCED，所以 OC=DE=m，OB=CE=2，所以 Dm+2,m，因为点 D 在直线 y=13x+2 上，把 Dm+2,m 代入得到 m=1，所以点 D3,1， S梯=4.5，SBOC=SCDE=1，所以 BCD 的面积为 4.52=2.5(3) 当 CD，PQ 为对角线时，可得 Q4,13，当 PC，DQ 为对角线时，易知 Q 与 Q 关于 B 对称，可得 Q2,113，当 PD，CQ 为对角线时，易知 Q 与 Q 关于 B 对称，可得 Q2,531

22、1. 【答案】(1) y=53x(2) AH:OB=5:8(3) S=52x0x8；当 0x5 时，APB 为钝角12. 【答案】(1) 在 y=x+4 中，令 x=0，得 y=4；令 y=0，得 x=4， A4,0，B0,4把 B0,4 代入，y=2x+b，得 b=4 直线 BC 为：y=2x+4在 y=2x+4 中，令 y=0，得 x=2， C 点的坐标为 2,0(2) 如图点 E 为所求点 D 是 AB 的中点，A4,0，B0,4 D2,2点 B 关于 x 轴的对称点 B1 的坐标为 0,4设直线 DB1 的解析式为 y=kx+b把 D2,2，B10,4 代入一次函数表达式并解得：k=3

23、，b=4，故该直线方程为：y=3x4令 y=0，得 E 点的坐标为 43,0(3) 存在，D 点的坐标为 1,3 或 45,125【解析】(3) 当点 D 在 AB 上时，由 OA=OB=4，得到：BAC=45，由等腰直角三角形求得 D 点的坐标为 1,3；当点 D 在 BC 上时，如图，设 AD 交 y 轴于点 F在 AOF 与 BOC 中， FAO=CBO,AOF=BOD,AO=BO, AOFBOCASA OF=OC=2， 点 F 的坐标为 0,2易得直线 AD 的解析式为 y=12x+2，与 y=2x+4 组成方程组并解得：x=45， 交点 D 的坐标为 45,12513. 【答案】(1

24、) 设直线 AB 的函数表达式为 y=kx+b，将 A3,0，B0,3 代入得 0=3k+b,3=b, 解得 k=1,b=3. 直线 AB 的函数表达式为 y=x+3(2) 如图，作 CEAB 于 E， 直线 y=3x3 交 x 轴于点 C， C1,0， A3,0，B0,3， AOB 为等腰直角三角形，BAO=45， CEA 为等腰直角三角形， AC=4， CE=22如图，当以 DE 为斜边时，DF=22， CE=22， C 与 D 重合， D1,0，如图，当以 DF 为斜边时，DE=22，同理，得到 D1,0，如图，当以 EF 为斜边时，DE=DF=22，DEF=DFE=45，根据题意两直线

25、解析式可以求出 G3,6，如图，作出 DEF，GNx 轴，ED 延长线交 GN 于 M，得到 GN=6AG=62， DEF=45，CAB=45， DEAC， AGC 是 EGD 和 AGC 的公共角， EGDAGC， GEAG=DEAC，解得 GE=6， DEF=45， GM=32， MN=322， D 点的纵坐标为，代入 y=3x3 中，解得 x=23， D23,32214. 【答案】(1) 正比例函数 y2=34x 的图象交于点 Am,3， 3=34m， m=4， A4,3；把 A4,3，B0,1 代入 y1=kx+b 得 4k+b=3,b=1, 解得：k=12,b=1, 一次函数 y1

26、的表达式为 y1=12x+1(2) 当 y1=0 时，x=2， C2,0， BOC 的面积 =1212=1(3) 由图象知，当 2x0 时，y1y2015. 【答案】(1) 将 A3,4 代入 y=mx，得 m=34=12， 反比例函数的解析式为 y=12x；将 B6,n 代入 y=12x，得 6n=12，解得 n=2， B6,2，将 A3,4 和 B6,2 分别代入 y=kx+bk0，得 3k+b=46k+b=2, 解得 k=23b=2, 所求的一次函数的解析式为 y=23x+2；(2) 当 y=0 时，23x+2=0，解得：x=3， C3,0， SAOC=1234=6，SBOC=1232=

27、3， SAOB=6+3=9；(3) 存在过点 A 作 AP1x 轴于 P1，AP2AC 交 x 轴于 P2，如图， AP1C=90， A 点坐标为 3,4， P1 点的坐标为 3,0， P2AC=90， P2AP1+P1AC=90，而 AP2P1+P2AP1=90， AP2P1=P1AC， RtAP2P1RtCAP1， AP1CP1=P1P2AP1，即 46=P1P24， P1P2=83， OP2=3+83=173， P2 点的坐标为 173,0， 满足条件的 P 点坐标为 3,0 、 173,016. 【答案】(1) 8；4 (2) m=2(3) m=4 或 m=15417. 【答案】(1)

28、 B3,0(2) t=2，t=54，t=165(3) 12，418. 【答案】(1) y=3x6 (2) 94,0 或 6,0 或 14,0 或 12,0 (3) 设翻转后点 D 落在 y 轴上的点为 D，设点 Q 的坐标为 x,3x6，则：BD=BD，DQ=DQ， BD=BD=42+362=5，故点 D 的坐标为 0,2， DQ2=DQ2，即：x2+3x6+22=x42+3x662，解得：x=187，故点 Q 的坐标为 187,117【解析】(1) 将点 D 的横坐标为 4 代入一次函数 y=34x+3 表达式，解得：y=6，即点 D 的坐标为 4,6，将点 C，D 的坐标代入一次函数表达式

29、 y=kx+b 得：6=4k+b,0=2k+b, 解得：k=3,b=6. 故答案为：y=3x6(2) 当 PA=PD 时，点 B 是 AD 的中点，故：过点 B 且垂直于 AD 的直线方程为：y=43x+3，令 y=0，则 x=94，即点 P 的坐标为 94,0；当 PA=AD 时， AD=442+62=10，故点 P 的坐标为 6,0 或 14,0；当 DP=AD 时，同理可得：点 P 的坐标为 12,0，故点 P 的坐标为 94,0 或 6,0 或 14,0 或 12,019. 【答案】(1) 对于直线 y=2x+2，令 y=0，得到 x=1，所以 A1,0，因为点 C 的横坐标为 2，所

30、以 C2,2(2) 由题意 BC=BM，设 Mm,n，则有 2+m2=5，2+n2=0，解得 m=8，n=2，所以 M8,2(3) 作点 A 关于 y 轴的对称点 A1,0，连接 CA 交 y 轴于 P，此时 PA+PC 的值最小，设最小 CA 的解析式为 y=kx+b，则有 k+b=0,2k+b=2, 解得 k=23,b=23, 所以直线 CA 的解析式为 y=23x23，所以 P0,2320. 【答案】(1) 直线 l1:y=2x+6 与坐标轴交于 A，B 两点， 当 y=0 时，得 x=3，当 x=0 时，y=6； A0,6，B3,0；当 k=2 时，直线 l2:y=2x+2k0， C0,2，D1,0 解 y=2x+6,y=2x+2 得 x=1,y=4, E1,4， BDE 的面积 =1244=8(2) 连接 OE设 En,2n+6， S四边形OBEC=SEOC+SEOB， 122n+1232n+6=233，解得 n=23， E23,143，把点 E 代入 y=kx+2 中，143=23k+2，解得 k=4 直线 y=4k+2 交 x 轴于 D， D12,0， Pa,b 在第二象限，在线段 CD 上， 12a0， b=4a+2， m=a+b=5a+2， 12m2学科网（北京）股份有限公司