中考数学高频考点突破——相似三角形的性质和判定.docx

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1、中考数学高频考点突破相似三角形的性质和判定1. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=4，BC=6，M 是 BC 的中点，DEAM 于点 E(1) 求证：ADEMAB；(2) 求 DE 的长2. 如图，点 B，D，E 在一条直线上，BE 交 AC 于点 F，ABAD=ACAE，且 BAD=CAE(1) 求证：ABCADE；(2) 求证：AEFBCF3. 如图，ABC 是等边三角形，点 D，E 分别在 BC，AC 上，且 BD=CE，AD 与 BE 相交于点 F(1) 证明：ABDBCE；(2) 证明：ABEFAE；(3) 若 AF=7，DF=1，求 BD 的长4. 如图，在 ABC 中，AD 是

2、BC 边上的中线，且 AD=AC，DEBC，DE 与 AB 相交于点 E，EC 与 AD 相交于点 F(1) 求证：ABCFCD(2) 过点 A 作 AMBC 于点 M，求 DE:AM 的值(3) 若 SFCD=5，BC=10，求 DE 的长5. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在边 CD 上（不与点 C，D 重合），连接 AE，BD 交于点 F(1) 若点 E 为 CD 中点，AB=25，求 AF 的长(2) 若 tanAFB=2，求 DFBF 的值(3) 若点 G 在线段 BF 上，且 GF=2BG，连接 AG，CG，DEDC=x，四边形 AGCE 的面积为 S1，ABG 的面积为

3、S2，求 S1S2 的最大值6. 如图，在平面直角坐标系中，A，B 两点的坐标分别为 20,0 和 0,15，动点 P 从点 A 出发在线段 AO 上以每秒 2cm 的速度向原点 O 运动，动直线 EF 从 x 轴开始以每秒 1cm 的速度向上平行移动（即 EFx 轴），分别与 y 轴、线段 AB 交于点 E，F，连接 EP，FP，设动点 P 与动直线 EF 同时出发，运动时间为 t 秒(1) 求 t=9 时，PEF 的面积(2) 直线 EF 、点 P 在运动过程中，是否存在这样的 t，使得 PEF 的面积等于 40cm2？若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由(3) 当 t 为何

4、值时，EOP 与 BOA 相似7. 在四边形 ABCD 中，E，F 分别是边 BC，CD 的中点，连接 AE，AF(1) 如图 1，若四边形 ABCD 的面积为 5，则四边形 AECF 的面积为 ；(2) 如图 2，延长 AE 至 G，使 EG=AE，延长 AF 至 H，使 FH=AF，连接 BG，GH，HD，DB求证：四边形 BGHD 是平行四边形；(3) 如图 3，对角线 AC，BD 相交于点 M，AE 与 BD 交于点 P，AF 与 BD 交于点 N直接写出 BP，PM，MN，ND 的数量关系8. 若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形(1) 已知 A

5、BC 是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的 AC 的长(2) 如图 1，在四边形 ABCD 中，ADBC，对角线 BD 平分 ABC，BAC=ADC求证：ABCDCA求证：ABC 是比例三角形(3) 如图 2，在（2）的条件下，当 ADC=90 时，求出 BDAC 的值9. 在 ABC 中，P 为边 AB 上一点(1) 如图 1，若 ACP=B，求证：AC2=APAB；(2) 若 M 为 CP 的中点，AC=4如图 2，若 PBM=ACP，AB=7，求 BP 的长；如图 3，若 ABC=45，A=BMP=60，求 BP 的长10. 我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂

6、三角形”例如图 1，图 2，图 3 中，AF，BE 是 ABC 的中线，AFBE，垂足为 P像 ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”设 BC=a，AC=b，AB=c(1) 【特例探索】如图 1，当 ABE=45，c=22 时，a= ，b= ；如图 2，当 ABE=30，c=4 时，求 a 和 b 的值(2) 【归纳证明】请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 3 证明你发现的关系式(3) 利用（2）中的结论，解答下列问题：在边长为 3 的菱形 ABCD 中，O 为对角线 AC，BD 的交点，E，F 分别为线段 AO，DO 的中点，连接 BE，CF 并延长交于

7、点 M，BM，CM 分别交 AD 于点 G，H，如图 4 所示，求 MG2+MH2 的值11. 如图，在 ABC 中，C=90，D 为 AC 上的一点，过 D 作 DEAC，过 B 作 BEAB，DE，BE 交于点 E已知 BC=3，AB=5(1) 证明：EFBABC(2) 若 CD=1，请求出 ED 的长(3) 连接 AE，记 CD=a，AFE 与 EBF 面积的差为 b若存在实数 t1，t2，m（其中 t1t2），当 a=t1 或 a=t2 时，b 的值都为 m求实数 m 的取值范围12. 在 ABC 中，AD 是 ABC 的角平分线(1) 如图 1，过 C 作 CEAD 交 BA 延长线

8、于点 E，若 F 为 CE 的中点，连接 AF，求证：AFAD(2) 如图 1，在（1）的条件下，若 CD=2BD，SABD=10，求 BCE 的面积(3) 如图 2，M 为 BC 的中点，过 M 作 MNAD 交 AC 于点 N，猜想线段 AB，AC，AN 之间的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明13. 如图，在 RtABC 中，ACB=90，点 D 在 AB 上，以 AD 为直径的 O 与 BC 相切于点 E，与 AC 相交于点 F连接 AE(1) 求证：AE 平分 CAD；(2) 连接 DF，交 AE 于点 G，若 O 的直径是 12，AE=10，求 EG 的长；(3) 连接 CD，若

9、 B=30，CE=23，求 CD 的长14. 如图，在 ABC 中，ACB=90，CD 是高，BE 平分 ABC，BE 分别与 AC，CD 相交于点 E，F(1) 求证：AEBCFB(2) 求证：AECE=ABCB(3) 若 CE=5，EF=25，BD=6，求 AD 的长15. 如图，在 ABC 中，B=ACB=45，AB=32，点 D 是 BC 上一点，作 DEAD 交射线 AC 于 E，DF 平分 ADE 交 AC 于 F(1) 求证：ABCF=BDCD；(2) 如图 2，当 AED=75 时，求 CF 的长；(3) 若 CD=2BD，求 AFEF16. 在平行四边形 ABCD 中，AB=

10、6，BC=8，点 E，F 分别为 AB，BC 的两点(1) 如图 1，若 B=90，且 BF=CE=2，连接 EF，DE，判断 EF 和 DE 的数量关系及位置关系，并说明理由；(2) 如图 2，B=FED=60，求证：EFED=BECD；(3) 如图 3，若 ABC=90，点 C 关于 BD 的对称点为点 C，点 O 为平行四边形 ABCD 对角线 BD 的中点，连接 OC 交 AD 于点 G，求 GD 的长17. 解答下列问题：(1) 【问题发现】如图 1，在 RtABC 中AB=AC=4，BAC=90，点 D 为 BC 的中点，以 CD 为一边作正方形 CDEF，点 E 恰好与点 A 重

11、合，则线段 BE 与 AF 的数量关系为 ；(2) 【拓展研究】在( 1 )的条件下，如果正方形 CDEF 绕点 C 旋转，当点 B，E，F 三点共线时，连接 BE，CE，AF，线段 BE 与 AF 的数量关系有无变化？请仅就图 2 的情形给出证明；(3) 【问题发现】当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时，求线段 AF 的长18. 如图，正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，点 E 是射线 BC 上一动点，CFDE 于点 F，连接 OF(1) 求证：CF2=DFEF(2) 连接 OF，求证：DOFDEB(3) 若 AB=2，当点 E 运动到使 CE=12BC 时，

12、求 OF 的长度19. 如图，已知 AB 是 O 的直径，点 C 在 O 上，过点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 P，AC=PC，COB=2PCB(1) 求证：PC 是 O 的切线；(2) 求证：BC=12AB；(3) 点 M 是弧 AB 的中点，CM 交 AB 于点 N，若 AB=8，求 MNMC 的值20. 如图 1，在菱形 ABCD 中，AB=3，BCD=120，M 为对角线 BD 上一点（M 不与点 B，D 重合），过点 M 作 MNCD，使得 MN=CD，连接 CM，AM，BN(1) 当 DCM=30 时，求 DM 的长度(2) 如图 2，延长 BN，DC 交于点 E，求证：A

13、MDE=BECD(3) 如图 3，连接 AN，则 AM+AN 的最小值是 答案1. 【答案】(1) 四边形 ABCD 是矩形， ADBC， DAE=AMB，又 DEA=B=90， DAEAMB；(2) 由（1）知 DAEAMB， DE:AD=AB:AM， M 是边 BC 的中点，BC=6， BM=3，又 AB=4，B=90， AM=5， DE:6=4:5， DE=2452. 【答案】(1) BAD=CAE， BAD+CAD=CAE+CAD，即 BAC=DAE，在 ABC 和 ADE 中， ABAD=ACAE，BAC=DAE， ABCADE(2) ABCADE， C=E，在 AEF 和 BFC

14、中，C=E，AFE=BFC， AEFBCF3. 【答案】(1) ABC 是等边三角形， AB=BC，ABD=BCE，在 ABD 与 BCE 中， AB=BC,ABC=BAC=C,BD=CE, ABDBCE（SAS）(2) 由（1）得：BAD=CBE，又 ABC=BAC， ABE=EAF，又 AEF=BEA， AEFBEA(3) BAD=CBE，BDA=FDB， ABDBDF， ADBC=BDDF， BD2=ADDF=AF+DFDF=8， BD=224. 【答案】(1) D 是 BC 边上的中点，DEBC， BD=DC，EDB=EDC=90， BDEEDC，即 B=DCE， AD=AC， ADC

15、=ACB， ABCFCD(2) AD=AC，AMDC， DM=12DC， BD=DC， BDBM=23， DEBC，AMBC， DEAM， DEAM=BCBM=23(3) ABCFCD，BC=2CD， SABCSFCD=4，即 SABC=20， DEAM=23，即 AM=32DE， 121032DE=20，即 DE=835. 【答案】(1) 点 E 为 CD 中点，AB=AD=CD=25， DE=5， AE=AD2+DE2=20+5=5， ABCD， ABFEDF， DEAB=EFAF=12， AF=2EF，且 AF+EF=5， AF=103(2) 如图 1，连接 AC， 四边形 ABCD 是

16、正方形， AB=BC=CD=AD，BD=2AB，AOBD，AO=BO=CO=DO， AO=DO=BO=22AB， tanAFB=AOOF=2， OF=12AO=24AB， DF=ODOF=24AB，BF=OB+OF=324AB， DFBF=13(3) 如图 2，设 AB=CD=AD=a，则 BD=2a， DEDC=x， DE=xa， SADE=12ADDE=12xa2， ABFEDF， DEAB=DFBF=x， DF=xBF， SABF=1x+112a2， GF=2BG， S2=SABG=13SABF=a26x+1， AB=CB，ABG=CBG，BG=BG， ABGCBGSAS SABG=SC

17、BG， S1= 四边形 AGCE 的面积 =a212xa22a26x+1， S1S2=3x2+3x+4=3x122+194， 当 x=12 时，S1S2 的最大值为 1946. 【答案】(1) EFOA， BEF=BOA，又 B=B， BEFBOA， EFOA=BEBO，当 t=9 时，OE=9，OA=20，OB=15， EF=20615=8， SPEF=12EFOE=1289=36cm2(2) BEFBOA， EF=BEOABO=15t2015=4315t， 124315tt=40，整理，得 t215t+60=0， =15241600， 方程没有实数根， 不存在使得 PEF 的面积等于 40

18、cm2 的 t 值(3) 当 EPO=BAO 时，EOPBOA， OPOA=OEOB，即 202t20=t15，解得 t=6，当 EPO=ABO 时，EOPAOB， OPOB=OEOA，即 202t15=t20，解得 t=8011， 当 t=6 或 t=8011 时，EOP 与 BOA 相似7. 【答案】(1) 52 (2) 如图，连接 EF E，F，分别是 BC，CD 的中点， EFBD，EF=12BD EG=AE，FH=AF， EFGH，EF=12GH， BDGH，BD=GH， 四边形 BGHD 是平行四边形(3) BPPM=NDMN8. 【答案】(1) 当 AC=43或92或6 时，AB

19、C 是比例三角形(2) ADBC， ACB=CAD，又 BAC=ADC， ABCDCA由知，ABCDCA， BCAC=ACAD，即 CA2=BCAD， ADBC， ADB=CBD， BD 平分 ABC， ABD=CBD， ADB=ABD， AB=AD， CA2=BCAB， ABC 是比例三角形(3) 如图，过点 A 作 AHBD 于点 H， AB=AD， BH=12BD， ADBC，ADC=90， BCD=90， BHA=BCD=90，又 ABH=DBC， ABHDBC， ABBD=BHBC，即 ABBC=BHDB， ABBC=12BD2，又 ABBC=AC2， 12BD2=AC2， BDAC

20、=2【解析】(1) ABC 是比例三角形，且 AB=2，BC=3，当 AB2=BCAC 时，得：4=3AC，解得：AC=43；当 BC2=ABAC 时，得：9=2AC，解得：AC=92；当 AC2=ABBC 时，得：AC2=6，解得：AC=6（负值舍去）；所以当 AC=43或92或6 时，ABC 是比例三角形9. 【答案】(1) ACP=B，A=A， ACPABC， ACAP=ABAC， AC2=APAB(2) 如图 2，取 AP 在中点 G，连接 MG，设 AG=x，则 PG=x，BG=7x， M 是 PC 的中点， MGAC， BGM=A， ACP=PBM， APCGMB， APGM=AC

21、BG，即 2x2=47x， x=7332， AB=7， AP=733， PB=33；如图 3，过 C 作 CHAB 于 H，延长 AB 到 E，使 BE=BP，设 BP=x ABC=45，A=60， CH=23，HE=23+x， CE2=232+23+x2， PB=BE，PM=CM， BMCE， PMB=PCE=60=A， E=E， ECPEAC， CEEP=AECE， CE2=EPEA， 12+12+x2+43x=2xx+23+2， x=272， PB=27210. 【答案】(1) 25；25 同理可得：PF=1，PE=3，则 a=213，b=27(2) 关系为：a2+b2=5c2证明：如图

22、 3，设：EBA=，则：PB=ABcos=ccos，PA=csin，由得：PF=12PA=12csin，PE=12csin，则 a2+b2=2AE2+2BF2=c25sin2+cos2=5c2(3) AE=OE=13EC，AGBC， AG=13BC=13AD，则 EF=12BC=12AD，同理 HG=13AD， GH=13AD， GH=23EF， GHBC，EFBC， HGEF， MG=23ME=13MB，同理：MH=13MC，则 MG2+MH2=19MB2+MC2=195BC2=5【解析】(1) 如图 1，2，3，4，连接 EF，则 EF 是 ABC 的中位线，则 EF=12AB，EFAB，

23、 EFPBPA， PBPE=PAPF=ABEF=12. 在图 1 中，PB=ABsin45=2=PA，由得：PF=1，b=2BF=2PB2+PF2=25=a11. 【答案】(1) DEAC，BEAB， ADF=EBF=90， AFD=EFB， A=E， C=EBF=90， EFBABC(2) C=90，AB=5，BC=3， AC=4， DC=1， AD=3， ADF=C=90，A=A， ADFACB， ADAC=AFAB=DFBC，即 34=AF5=DF3， DF=94，AF=154，BF=ABAF=54 EFBABC， EFAB=BFBC=BEAC，代入可得 EF=2512， ED=EF+F

24、D=133(3) CD=a，则 AD=4a0a4，由（2）得 ADAC=DFBC=AFAB，即 4a4=AF5， AF=554a，BF=ABAF=54a， BFBC=BEAC， BE=53a， b=SAEFSBEF=12AFBE12BFBE=1253a554a54a=2512a2+256a0a4, 当 0a2，b1=2512a2+256a，a=1，bmax=2512，当 2a4，b2=2512a2256a，a=4，b2=503 当 a=t1 或 a=t2 时，b 的值都为 m， 0m251212. 【答案】(1) AD 为 ABC 的角平分线， BAD=CAD， CEAD， BAD=E，CAD

25、=ACE， E=ACE， AC=AE， F 为 EC 的中点， AFEC， ADEC， AFE=FAD=90， AFAD(2) CD=2BD， BC=3BD， ADCE， ABDEBC， SABDSEBC=BDBC2=132=19， SBCE=9SABD=910=90(3) AC=AB+2AN；理由如下：延长 BA 与 MN 延长线于点 E，过 B 作 BFAC 交 NM 延长线于点 F，如图所示： MBF=C，F=MNC， M 为 BC 的中点， BM=CM，在 BFM 和 CNM 中， F=MNC,MBF=C,BM=CM, BFMCNMAAS， BF=CN， MNAD， BAD=E，CAD

26、=MNC=ANE， E=ANE=F， AE=AN，BE=BF， BF=AB+AN， AC=AN+CN=AN+BF=AB+2AN13. 【答案】(1) 连接 OE OA=OE， OAE=OEA BC 是 O 切线， OEBC OEB=90，且 ACB=90 OEAC CAE=AEO CAE=EAO AE 平分 CAD(2) 连接 DE AD 是直径， AED=90 AD=12，AE=10， DE=AD2AE2=211 EDF=EAC=EAD，AED=AED， DEGAED DEAE=EGDE DE2=AEEG 44=10EG EG=4.4(3) 如图，过点 D 作 DPBC 于点 P B=30，

27、ACB=90， BAC=60，AB=2AC AE 平分 CAB， CAE=BAE=30 B=EAB=30 AE=BE CAE=30，CE=23，ACB=90， AE=2CE=43，AC=3CE=6 AB=2AC=12 AED=90，EAD=30，AE=43， DE=4，AD=8 BD=ABAD=128=4 PDBC，B=30，BD=4， PD=2，PB=23 CP=CE+BEPB=23+4323=43在 RtCDP 中，CD=CP2+PD2=21314. 【答案】(1) ACB=90， ACD+BCD=90， CD 为 AB 边上的高， ADC=90， A+ACD=90， A=BCD， BE

28、是 ABC 的平分线， ABE=CBE， AEBCFB(2) ABE=CBE，A=BCD， CFE=BCD+CBE=A+ABE， CEF=A+ABE， CEF=CFE， CE=CF， AEBCFB， AECF=ABCB， AECE=ABCB(3) 如图，作 CHEF 于 H CE=CF，CHEF， EH=FH=5， CH=EC2EH2=5252=25，由 BFDCFH， DFHF=BDCH， DF5=625， DF=3，CD=CF+DF=8，由 ACDCBD， ADCD=CDBD， AD8=86， AD=32315. 【答案】(1) 如图 1 中， DEAD， ADE=90， DF 平分 AD

29、E， ADF=FDC=45， ADC=B+BAD=ADF+FDC，B=ADF=45， BAD=FDC， B=C， ABDCDF， ABCD=BDCF， ABCF=BDCD(2) 如图 2 中，过点 A 作 AHBC 于 H B=C=45， AB=AC=32， BC=2AB=6， AHBC， BH=CH=3，AH=BH=CH=3， ADDE，AED=75， ADE=90，DAE=15， ADH=DAE+C=60， DAH=30，DH=AHtan30=3， BD=3+3，CD=33， ABCF=BDCD， 32CF=3+333， CF=2(3) 如图 21 中，过点 A 作 AHBC 于 H，过点

30、 E 作 EGCD 于 G设 BD=a，则 CD=2a，BC=3a AB=AC，BAC=90， AH=HB=HC=1.5a，DH=0.5a，C=B=45， AHD=ADE=DGE=90， ADH+EDG=90，EDG+DEG=90， ADH=DEG， ADHDEG，设 EG=CG=y，则 DG=ay， AHDG=DHEG， 1.5a2a+y=0.5ay，解得 y=a， CG=EG=a，EC=2a， CF=BDCDAB=a2a322=223a， AF=ACCF=322a223a=526a，EF=CF+CE=223a+2a=523a， AFEF=526a523a=1216. 【答案】(1) EF=

31、DE，EFDE理由如下： 四边形 ABCD 为平行四边形，B=90， C=B=90 AB=6，BC=8，BF=CE=2， BE=BCCE=6=CD在 BEF 和 CDE 中，BF=CE,B=C,BE=CD, BEFCDESAS， EF=DE，BEF=CDE CDE+CED=90， BEF+CED=90， DEF=90，即 EFDE(2) 如图 2，在 AB 上取点 G，使 BG=BE，连接 EG，则 BEG 为等边三角形， BGE=BEG=60， EGF=180BGE=120 四边形 ABCD 为平行四边形，B=60， C=120=EGF， CED+CDE=60 DEF=60，BEG=60，

32、GEF+CED=1806060=60， CDE=GEF， CDEGEF， EFDE=GECD，即 EFED=BECD(3) 连接 AC，CC，AC，设 CC 交 BD 于点 M，如图 3 所示，则 BD 为线段 CC 的垂直平分线 ABC=90， 平行四边形 ABCD 为矩形， BD=BC2+CD2=10，OC=12AC=12BD=5，CM=BCCDBD=245， OM=OC2CM2=75 点 O 为 AC 的中点，点 M 为 CC 的中点， AC=2OM=145，且 ACBD， AGCDGO， AGDG=ACDO=1455=1425， DG=2514+25AD=2003917. 【答案】(1

33、) BE=2AF (2) 无变化；如图 2，在 RtABC 中，AB=AC=4，所以 ABC=ACB=45，所以 sinABC=CACB=22，在正方形 CDEF 中，FEC=12FED=45，在 RtCEF 中，sinFEC=CFCE=22，所以 CFCE=CACB，因为 FCE=ACB=45，所以 FCEACE=ACBACE，所以 FCA=ECB，所以 ACFBCE，所以 BEAF=CBCA=22，所以 BE=2AF，所以线段 BE 与 AF 的数量关系无变化(3) 当点 E 在线段 AF 上时，如图 2，由 1 知，CF=EF=CD=22，在 RtBCF 中，CF=22，BC=42，根据

34、勾股定理得，BF=26，所以 BE=BFEF=2622，由（2）知，BE=2AF，所以 AF=232，当点 E 在线段 BF 的延长线上时，如图 3，在 RtABC 中，AB=AC=4，所以 ABC=ACB=45，所以 sinABC=CACB=22，在正方形 CDEF 中，FEC=12FED=45，在 RtCEF 中，sinFEC=CFCE=22，所以 CFCE=CACB，因为 FCE=ACB=45，所以 FCB+ACB=FCB+FCE，所以 FCA=ECB，所以 ACFBCE，所以 BEAF=CBCA=2，所以 BE=2AF，由（1）知，CF=EF=CD=22，在 RtBCF 中 CF=22

35、，BC=42，根据勾股定理的，BF=26，所以 BE=BF+EF=26+22，由（2）知，BE=2AF，所以 AF=23+2，即：当正方形 CDEF 旋转到 B，E，F 三点共线时候，线段 AF 的长为 232 或 23+2【解析】(1) 在 RtABC 中，AB=AC=4，根据勾股定理得，BC=2AB=42，点 D 为 BC 的中点，所以 AD=12BC=22，因为四边形 CDEF 是正方形，所以 AF=EF=AD=22，因为 BE=AB=4，所以 BE=2AF18. 【答案】(1) 正方形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O， BCD=90，OA=OB=OC=OD， CFDE 于

36、点 F， CFD=CFE=90， CDF+DCF=CDF+CEF=90， DCF=CEF， CDFECF， CFEF=DFCF， CF2=DFEF(2) 设 BC=CD=a， BD=BC2+CD2=2a， OD=12BD=22a， DBOD=2a22a=a2， CDF=EDC，DCF=DEC， DCFDEC， DCDE=DFDC， DEDF=DC2=a2， DBOD=DEDF， ODDE=DFDB， ODF=EDB， DOFDEB(3) AB=BC=CD=2， CE=12BC=1，OD=12BD=2， BE=BCCE=1， DE=CD2+CE2=22+12=5， DOFDEB， OFEB=DO

37、DE， OF=EBDODE=125=10519. 【答案】(1) OA=OC， A=ACO又 COB=2A，COB=2PCB， A=ACO=PCB又 AB 是 O 的直径， ACO+OCB=90 PCB+OCB=90即 OCCP， OC 是 O 的半径 PC 是 O 的切线(2) AC=PC， A=P， A=ACO=PCB=P又 COB=A+ACO，CBO=P+PCB， COB=CBO， BC=OC BC=12AB(3) 连接 MA，MB， 点 M 是 AB 的中点， AM=BM， ACM=BCM ACM=ABM， BCM=ABM BMN=BMC， MBNMCB BMMC=MNBM BM2=M

38、NMC又 AB 是 O 的直径，AM=BM， AMB=90，AM=BM AB=8， BM=42 MNMC=BM2=3220. 【答案】(1) 过点 M 作 MHCD 与点 H， 四边形 ABCD 是菱形， BD 平分 ADC， MDC=12ADC=12180120=30， MDC=MCD=30， DH=12CD=32，在 RtDMH 中，cosMDH=DHDM=32， DM=1(2) MNCD， BMN=BDE，BNM=E， BMNBDE， MNDE=BNBE， BNDE=BEMN， MN=CD，AB=CD， AB=MN， MNCD，ABCD， ABMN， 四边形 ABNM 是平行四边形， BN=NM， MN=CD， AMDE=BECD(3) 3 【解析】(3) 如图，连接 CN，则 CNDB，作 B 过 CN 对称点 B，连接 AB， AM+AN=BN+AN， AM+ANmin=BA=3学科网（北京）股份有限公司