向量在立体几何中的应用同步课时训练-高二数学北师大版（2019）选择性必修第一册.docx

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1、3.4 向量在立体几何中的应用-高二数学北师大版（2019）选择性必修第一册同步课时训练学校：_姓名：_班级：_考号：_一、选择题1、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面ABC上的射影为BC的中点，则异面直线AB与所成角的余弦值为( )A.B.C.D.2、已知平面内有一个点的一个法向量为,则下列点P中,在平面内的是( )A. B.C.D.3、如图，某圆锥SO的轴截面SAC是等边三角形，点B是底面圆周上的一点，且，点M是SA的中点，则异面直线AB与CM所成角的余弦值是( )A.B.C.D.4、如图,正四棱锥中，O为顶点在底面内的投影，P为侧棱SD的中点，且，则直线BC与平面PAC的夹角是(

2、)A30B45C60D905、如图，在直三棱柱中，点D为BC的中点，则异面直线AD与所成的角为( )A.B.C.D.6、如图,点为矩形所在平面外一点,平面为线段的中点,则点到平面的距离为( )A.B.C.D.7、已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等,在底面上的射影为的中点,则异面直线与所成的角的余弦值为( )A.B.C.D.8、已知直线的方向向量，直线的方向向量，且，则的值是( )A.-6B.6C.14D.-149、已知菱形ABCD中，沿对角线AC折叠之后，使得平面平面DAC，则二面角的余弦值为( )A.2B.C.D.10、在直三棱柱中，分别是，的中点，则与所成角的余弦值是( )A.B.C.D.二

3、、填空题11、在棱长为2的正方体中，M,N分别是的中点，则直线MN与平面ABCD所成的角的余弦值为_.12、如图，在直三棱柱中，D为上一点.若二面角的大小为30，则AD的长为_.13、已知，若，且平面ABC，则_.三、解答题14、如图,和都是边长为2的正三角形,且它们所在平面互相垂直.平面,且.(1)设P是的中点,求证:平面.(2)求二面角的正弦值.15、如图，PO是三棱锥的高，E是PB的中点.（1）求证：平面PAC；（2）若，求二面角正余弦值.参考答案1、答案：B解析：如图，设BC的中点为D，连接、AD、，易知即为异面直线AB与所成的角(或其补角)设三棱柱的侧棱与底面边长均为1，则，由余弦定

4、理，得故选：B.2、答案：B解析：对于B,则,所以,则点在平面内.同理可得,ACD不正确.3、答案：C解析：以过点O且垂直于平面SAC的直线为x轴，直线OC，OS分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设，则根据题意可得，所以，设异面直线AB与CM所成角为，则.故选：C.4、答案：A解析：如图所示,以为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设，则.则，设平面的法向量为,则，可求得，则.，直线与平面所成的角为.故选A.5、答案：B解析：解法一 取的中点，连接，.易证，故，所成的角就是AD，所成的角.，D为BC的中点，又，为直角三角形，即异面直线AD与所成的角为，故选B.解法二 易知AB，A

5、C，两两垂直，以A为坐标原点，AB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，即异面直线AD与所成的角为.故选B.6、答案：B解析：如图,以为原点,分别以所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,则,.设平面的一个法向量为,则即令,则.点到平面的距离.7、答案：D解析：设的中点为,连接,则由题意知平面,分别以所在直线为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,设侧棱长为,则,则.所以.8、答案：A解析：,故选A.9、答案：D解析：设菱形ABCD的边长为1，取AC的中点O，连接BO、DO，因为，所以，又平面平面DAC，平面平面，所以平面ACD，如图建系，则，所以，.设平面BCD的法

6、向量为，则即令，得，则，易知平面CDA的一个法向量为，所以，故选D.10、答案：A解析：如图，设，则，.故选A.11、答案：解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，平面ABCD的一个法向量为,所以，设直线MN与平面ABCD所成的角为，则，所以.12、答案：解析：如图，以C为坐标原点，CA，CB，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz，则，.设，则点D的坐标为，.设平面的法向量为，则令，得.又平面的一个法向量为，记为n，则由，解得（负值舍去），故.13、答案：解析：因为，所以，即，所以.因为平面ABC，所以，且，即解得所以.14、答案：(1)见解析(2)解析：(1)证明：

7、取的中点O,连接.是正三角形,.平面平面,平面平面,平面.平面,.在中,.又,为等腰三角形.是的中点,.平面,.平面平面,平面.(2)由(1)知,四边形为平行四边形, ,.以点O为坐标原点,以的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系,则, ,.设平面的法向量为,则即令,则,.设平面的法向量为,则即令,则,.,二面角的正弦值为.15、答案：（1）证明见解析（2）解析：（1）如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE.因为，所以.因为PO为三棱锥的高，所以平面ABC，因为平面ABC，所以.又平面POD，且，所以平面POD.因为平面POD，所以，又，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.因为D，E分别为BA，BP的中点，所以，因为平面PAC，平面PAC，所以平面PAC.又平面ODE，所以平面平面PAC.又平面ODE，所以平面PAC.（2）连接OA，因为平面ABC，平面ABC，所以，所以.易得在中，所以，又，所以在中，.以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，以过A且垂直于平面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，设平面AEC的法向量为，则，即，令，则.设平面AEB的法向量为，则，即，令，则.所以.设二面角的大小为，则.学科网（北京）股份有限公司