中考数学总复习二次函数的综合问题难点解析与训练.doc

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1、二次函数的综合问题例1。如图1，已知抛物线（b是实数且b2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C（1）点B的坐标为_，点C的坐标为_（用含b的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由图1例2。2014年苏州市中考第29题如图1，二次函数ya(x

2、22mx3m2)（其中a、m是常数，且a0，m0）的图像与x轴分别交于A、B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0,3)，点D在二次函数的图像上，CD/AB，联结AD过点A作射线AE交二次函数的图像于点E，AB平分DAE（1）用含m的式子表示a；（2）求证：为定值；（3）设该二次函数的图像的顶点为F探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，联结GF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由图1练习1、如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连结BC，

3、以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为(m, 0)，过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q（1）求点A、B、C的坐标；（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD、BC于点M、N试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由；（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使BDQ为直角三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由图1 练习2、如图1，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当ACD的面积等

4、于ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E(4, 0)，M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式图1 练习3（2015苏州）如图，已知二次函数（其中0m1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC （1）ABC的度数为 ；（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由练习4（2016苏

5、州）如图，直线与轴、轴分别相交于A、B两点，抛物线经过点B (1)求该地物线的函数表达式； (2)已知点M是抛物线上的一个动点，并且点M在第一象限内，连接AM、BM设点M的横坐标为，ABM的面积为S求S与的函数表达式，并求出S的最大值； (3)在(2)的条件下，当S取得最大值时，动点M相应的位置记为点. 写出点的坐标； 将直线绕点A按顺时针方向旋转得到直线，当直线与直线重合时停止旋转在旋转过程中，直线与线段交于点C设点B、到直线的距离分别为、，当最大时，求直线旋转的角度（即BAC的度数）练习5（2017苏州）如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于 A、B两点，与y轴交于点C，OB=O

6、C点D在函数图象上，CDx轴，且CD=2，直线l是抛物线的对称轴，E是抛物线的顶点（1）求b、c的值；（2）如图，连接BE，线段OC上的点F关于直线l的对称点F恰好在线段BE上，求点F的坐标；（3）如图，动点P在线段OB上，过点P作x轴的垂线分别与BC交于点M，与抛物线交于点N试问：抛物线上是否存在点Q，使得PQN与APM的面积相等，且线段NQ的长度最小？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，说明理由参考答案：例1。思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形PBC暗示了点P到两坐标轴的距离相等2联结OP，把四边形PCOB重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含b的式子表示3第（3）题要探究三个三角

7、形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q最大的可能在经过点A与x轴垂直的直线上满分解答（1）B的坐标为(b, 0)，点C的坐标为(0, )（2）如图2，过点P作PDx轴，PEy轴，垂足分别为D、E，那么PDBPEC因此PDPE设点P的坐标为(x, x)如图3，联结OP所以S四边形PCOBSPCOSPBO2b解得所以点P的坐标为()图2 图3（3）由，得A(1, 0)，OA1如图4，以OA、OC为邻边构造矩形OAQC，那么OQCQOA当，即时，BQAQOA所以解得所以符合题意的点Q为()如图5，以OC为直径的圆与直线x1交于点Q，那么OQC90。因此OCQQOA当时，BQAQOA此时O

8、QB90所以C、Q、B三点共线因此，即解得此时Q(1,4)图4 图5考点伸展第（3）题的思路是，A、C、O三点是确定的，B是x轴正半轴上待定的点，而QOA与QOC是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA与QOC相似把点Q的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点B的位置如图中，圆与直线x1的另一个交点会不会是符合题意的点Q呢？如果符合题意的话，那么点B的位置距离点A很近，这与OB4OC矛盾例2。思路点拨1不算不知道，一算真奇妙通过二次函数解析式的变形，写出点A、B、F的坐标后，点D的坐标也可以写出来点E的纵坐标为定值是算出来的2在计算的过程中，第（1）题的

9、结论及其变形反复用到3注意到点E、D、F到x轴的距离正好是一组常见的勾股数（5，3，4），因此过点F作AD的平行线与x轴的交点，就是要求的点G满分解答（1）将C(0,3)代入ya(x22mx3m2)，得33am2因此（2）由ya(x22mx3m2)a(xm)(x3m)a(xm)24axm2a(xm)24，得A(m, 0)，B(3m, 0)，F(m, 4)，对称轴为直线xm所以点D的坐标为(2m,3)设点E的坐标为(x, a(xm)(x3m)如图2，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为D、E由于EAEDAD，所以因此所以am(x3m)1结合，于是得到x4m当x4m时，ya(xm)(x3m)5a

10、m25所以点E的坐标为(4m, 5)所以图2 图3（3）如图3，由E(4m, 5)、D(2m,3)、F(m,4)，可知点E、D、F到x轴的距离分别为5、4、3那么过点F作AD的平行线与x轴的负半轴的交点，就是符合条件的点G来源:学科网来源:学#科#网Z#X#X#K证明如下：作FFx轴于F，那么因此所以线段GF、AD、AE的长围成一个直角三角形此时GF4m所以GO3m，点G的坐标为(3m, 0)考点伸展第（3）题中的点G的另一种情况，就是GF为直角三角形的斜边此时因此所以此时 来源:学科网ZXXK练习1、思路点拨1第（2）题先用含m的式子表示线段MQ的长，再根据MQDC列方程2第（2）题要判断四

11、边形CQBM的形状，最直接的方法就是根据求得的m的值画一个准确的示意图，先得到结论3第（3）题BDQ为直角三角形要分两种情况求解，一般过直角顶点作坐标轴的垂线可以构造相似三角形满分解答（1）由，得A(2,0)，B(8,0)，C(0,4)（2）直线DB的解析式为由点P的坐标为(m, 0)，可得，所以MQ当MQDC8时，四边形CQMD是平行四边形解方程，得m4，或m0（舍去）此时点P是OB的中点，N是BC的中点，N(4,2)，Q(4,6)所以MNNQ4所以BC与MQ互相平分所以四边形CQBM是平行四边形图2 图3（3）存在两个符合题意的点Q，分别是(2,0)，(6,4)考点伸展：第（3）题可以这样

12、解：设点Q的坐标为如图3，当DBQ90时， 所以解得x6此时Q(6,4)如图4，当BDQ90时， 所以解得x2此时Q(2,0)图3 图4练习2、思路点拨1根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点D有两个2当直线l与以AB为直径的圆相交时，符合AMB90的点M有2个；当直线l与圆相切时，符合AMB90的点M只有1个3灵活应用相似比解题比较简便满分解答（1）由，得抛物线与x轴的交点坐标为A(4, 0)、B(2, 0)对称轴是直线x1（2）ACD与ACB有公共的底边AC，当ACD的面积等于ACB的面积时，点B、D到直线AC的距离相等过点B作AC的平行线交抛物线的对称

13、轴于点D，在AC的另一侧有对应的点D设抛物线的对称轴与x轴的交点为G，与AC交于点H由BD/AC，得DBGCAO所以所以，点D的坐标为因为AC/BD，AGBG，所以HGDG而DHDH，所以DG3DG所以D的坐标为图2 图3（3）过点A、B分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线l总是有交点的，即2个点M以AB为直径的G如果与直线l相交，那么就有2个点M；如果圆与直线l相切，就只有1个点M了联结GM，那么GMl在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtEM1A中，AE8，所以M1A6所以点M1的坐标为(4, 6)，过M1、E的直线l为根据对称性，直线l还可以是考点伸展第（3）题中的直线l恰好经过

14、点C，因此可以过点C、E求直线l的解析式来源:Zxxk.Com在RtEGM中，GM3，GE5，所以EM4在RtECO中，CO3，EO4，所以CE5因此三角形EGMECO，GEMCEO所以直线CM过点C3解：（1）45 理由如下：令x=0，则y=-m，C点坐标为（0，-m）令y=0，则，解得，0m1，点A在点B的左侧，B点坐标为（m，0）OB=OC=mBOC90，BOC是等腰直角三角形，OBC45（2）解法一：如图，作PDy轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，由题意得，抛物线的对称轴为 设点P坐标为（，n）来源:学科网ZXXKPA= PC， PA2= PC2，即AE2+ PE2=CD2+ PD2

15、解得P点的坐标为 解法二：连接PB由题意得，抛物线的对称轴为 P在对称轴l上，PA=PBPA=PC，PB=PCBOC是等腰直角三角形，且OB=OC，P在BC的垂直平分线上 P点即为对称轴与直线的交点P点的坐标为 （3）解法一：存在点Q满足题意P点的坐标为，PA2+ PC2=AE2+ PE2+CD2+ PD2=AC2=，PA2+ PC2=AC2APC90 PAC是等腰直角三角形以Q、B、C为顶点的三角形与PAC相似，QBC是等腰直角三角形 由题意知满足条件的点Q的坐标为（-m，0）或（0，m）如图，当Q点的坐标为（-m，0）时，若PQ与x轴垂直，则，解得，PQ=若PQ与x轴不垂直，则0m1，当时

16、，取得最小值，PQ取得最小值，当，即Q点的坐标为（，0）时， PQ的长度最小 如图，当Q点的坐标为（0，m）时，若PQ与y轴垂直，则，解得，PQ=若PQ与y轴不垂直，则0m1，当时，取得最小值，PQ取得最小值，当，即Q点的坐标为（0，）时， PQ的长度最小 综上：当Q点坐标为（，0）或（0，）时，PQ的长度最小解法二： 如图，由（2）知P为ABC的外接圆的圆心APC 与ABC对应同一条弧，且ABC45，APC2ABC90 下面解题步骤同解法一4解：（1）令x=0代入y=3x+3，y=3，B（0，3），把B（0，3）代入y=ax22ax+a+4，3=a+4，a=1，二次函数解析式为：y=x2+2

17、x+3；（2）令y=0代入y=x2+2x+3，0=x2+2x+3，x=1或3，抛物线与x轴的交点横坐标为1和3，M在抛物线上，且在第一象限内，0m3，过点M作MEy轴于点E，交AB于点D，由题意知：M的坐标为（m，m2+2m+3），D的纵坐标为：m2+2m+3，把y=m2+2m+3代入y=3x+3，x=，D的坐标为（，m2+2m+3），DM=m=，S=DMBE+DMOE=DM（BE+OE）=DMOB=3=（m）2+0m3，当m=时，S有最大值，最大值为；（3）由（2）可知：M的坐标为（，）；过点M作直线l1l，过点B作BFl1于点F，根据题意知：d1+d2=BF，此时只要求出BF的最大值即可，

18、BFM=90，点F在以BM为直径的圆上，设直线AM与该圆相交于点H，点C在线段BM上，F在优弧上，当F与M重合时，BF可取得最大值，此时BMl1，A（1，0），B（0，3），M（，），由勾股定理可求得：AB=，MB=，MA=，过点M作MGAB于点G，设BG=x，由勾股定理可得：MB2BG2=MA2AG2，（x）2=x2，x=，cosMBG=，l1l，BCA=90，BAC=455解：（1）CDx轴，CD=2，抛物线对称轴为x=1OB=OC，C（0，c），B点的坐标为（c，0），0=c2+2c+c，解得c=3或c=0（舍去），c=3；（2）设点F的坐标为（0，m）对称轴为直线x=1，点F关于直线l

19、的对称点F的坐标为（2，m）由（1）可知抛物线解析式为y=x22x3=（x1）24，E（1，4），直线BE经过点B（3，0），E（1，4），利用待定系数法可得直线BE的表达式为y=2x6点F在BE上，m=226=2，即点F的坐标为（0，2）；（3）存在点Q满足题意设点P坐标为（n，0），则PA=n+1，PB=PM=3n，PN=n2+2n+3作QRPN，垂足为R，SPQN=SAPM，QR=1点Q在直线PN的左侧时，Q点的坐标为（n1，n24n），R点的坐标为（n，n24n），N点的坐标为（n，n22n3）在RtQRN中，NQ2=1+（2n3）2，时，NQ取最小值1此时Q点的坐标为；点Q在直线PN的右侧时，Q点的坐标为（n+1，n24）同理，NQ2=1+（2n1）2，时，NQ取最小值1此时Q点的坐标为综上可知存在满足题意的点Q，其坐标为或【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、轴对称、三角形的面积、勾股定理、二次函数的性质、方程思想及分类讨论思想等知识在（1）中求得抛物线的对称轴是解题的关键，在（2）中用F点的坐标表示出F的坐标是解题的关键，在（3）中求得QR的长，用勾股定理得到关于n的二次函数是解题的关键本题考查知识点较多，综合性较强，特别是最后一问，难度很大