0附录1-截面的几何性质.ppt

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1、0附录1-截面的几何性质 概述概述 在实际工程中发现，同样的材料，同截面积，由于在实际工程中发现，同样的材料，同截面积，由于横截面的几何形状不同，构件的强度、刚度有明显不同，横截面的几何形状不同，构件的强度、刚度有明显不同，研究截面几何性质的目的就是解决研究截面几何性质的目的就是解决如何用最少的材料，如何用最少的材料，制造出能承担较大荷载的杆件的问题制造出能承担较大荷载的杆件的问题。如一张纸（或作业本），两端放在铅笔上，明显弯如一张纸（或作业本），两端放在铅笔上，明显弯曲，更不能承载东西了。但把同一张纸折成波浪状（象曲，更不能承载东西了。但把同一张纸折成波浪状（象石棉瓦状）石棉瓦状），这时纸的

2、两端再搁在铅笔上，不仅不弯曲，这时纸的两端再搁在铅笔上，不仅不弯曲，再放上一支铅笔，也不弯曲。再放上一支铅笔，也不弯曲。概述概述 截面的几何性质截面的几何性质 这些与构件横截面的形状、尺寸有关的量统称为截面的几何性质截面的几何性质截面面积截面面积A A、极惯性矩、极惯性矩I IP P、静矩、惯性矩、惯性积静矩、惯性矩、惯性积。概述概述 意义截面设计截面设计-1 静矩和形心静矩和形心 一、一、简单图形的静矩（面积矩、一次矩）简单图形的静矩（面积矩、一次矩）dA对对y轴的微静矩轴的微静矩:dA对对z轴的微静矩轴的微静矩:1、定义：和 分别称为该截面对z轴和y轴的静矩：-1 静矩和形心静矩和形心 一

3、、一、简单图形的静矩（面积矩、一次矩）简单图形的静矩（面积矩、一次矩）2、性质：静矩是对一定的轴而言的，不同截面对同一坐标轴的静矩不同，同一截面对不同的轴的静矩值也不同；静矩值可正、可负，也可能为零；静矩的单位为：m3、cm3、mm3。-1 静矩和形心静矩和形心 一、一、简单图形的静矩（面积矩、一次矩）简单图形的静矩（面积矩、一次矩）3 3、静矩和形心的关系、静矩和形心的关系 理论力学已知平面理论力学已知平面图形形心图形形心坐标公式：坐标公式：可得可得静矩和形静矩和形心心坐标的关系坐标的关系：什么情况下截面对轴的静矩为零？结论：结论：图形对过形心的轴的静矩为零。图形对过形心的轴的静矩为零。若图

4、形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。例例1 求图形对y、z 轴的静矩Sz=Ayc；Sy=Azc。可以作为公式使用。可以作为公式使用。-1 静矩和形心静矩和形心 二、二、简单图形的形心简单图形的形心1 1、形心坐标公式、形心坐标公式：2 2、形心确定的规律：、形心确定的规律：（a a）图形有对称轴时，）图形有对称轴时，形心必在此对称轴上形心必在此对称轴上。（b b）图形有两个对称轴时，形心必在）图形有两个对称轴时，形心必在两对称轴的交点处两对称轴的交点处。-1 静矩和形心静矩和形心 三、三、组合截面（由若干个基本图形组合而成）的静矩组合截面

5、（由若干个基本图形组合而成）的静矩基本图形基本图形-指面积、形心位置已知的图形指面积、形心位置已知的图形四、四、组合截面的形心组合截面的形心 截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截面对于同一轴的静矩。该截面对于同一轴的静矩。例例2 2 试计算图示三角形截面对于与其试计算图示三角形截面对于与其底边重合的底边重合的 z 轴的静矩。轴的静矩。解：解：取平行于取平行于 z 轴的狭长条轴的狭长条dA三角形对三角形对 z 轴的静矩为：轴的静矩为：Ozyb(y)yd yhb三角形形心的三角形形心的 y 坐标：坐标：解：组合图形，用正负面积法解之解：组合图

6、形，用正负面积法解之.方法方法1 用正面积法求解用正面积法求解.将截面分为将截面分为1，2 两个矩形两个矩形.例例3 试确定图示截面形心试确定图示截面形心C的位置的位置.取取 z 轴和轴和 y 轴分别与截面的轴分别与截面的左边和底左边和底边缘重合边缘重合101012012Ozy90图图(a)矩形矩形 1矩形矩形 2所以所以101012012Ozy90方法方法2 用负面积法求解，图形分割及坐标如图用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b)图图(b)C1（0,0）C2（5,5）C2负面积负面积负面积负面积C1yz-2 极惯性矩、惯性矩和惯性积极惯性矩、惯性矩和惯性积 一、一、极惯性矩（截面二次极矩）

7、极惯性矩（截面二次极矩）定义：平面图形中任一微面积定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐标原点的距离与它到坐标原点的距离平方的平方的乘积乘积2dA,称为该面积称为该面积dA对于坐标对于坐标原点原点o的的极惯性矩极惯性矩。yzdAzyo截面对坐标原点截面对坐标原点o的的极惯性矩极惯性矩为：为：简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。实心圆截面：实心圆截面：空心圆截面：空心圆截面：-2 极惯性矩、惯性矩和惯性积极惯性矩、惯性矩和惯性积 二、二、惯性矩（截面二次轴矩）惯性矩（截面二次轴矩）yzdAzyodA对对 z 轴的惯性距轴的惯性距:dA对对 y 轴的惯性距轴的惯性距:u量纲：量纲：m4、mm4。

8、图形对图形对 z 轴的惯性矩轴的惯性矩:图形对图形对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩:u极惯性矩：极惯性矩：u惯性矩的取值恒为正值。惯性矩的取值恒为正值。-2 极惯性矩、惯性矩和惯性积极惯性矩、惯性矩和惯性积 三、三、惯性积惯性积定义定义:平面图形内，微面积平面图形内，微面积dA与其两个坐标与其两个坐标z、y的乘积的乘积zydA在整个图形内的积分称在整个图形内的积分称为该图形对为该图形对z、y轴的惯性积。轴的惯性积。惯性矩恒为正值；惯性积可正可负或为零。常用单位：yzdAzyo(3)若若Iyz=0，则坐标轴，则坐标轴y与与z轴称为截面的一对轴称为截面的一对主惯性轴主惯性轴；Iy与与Iz称为称为主惯性

9、矩主惯性矩。(4)若若Iyz=0，且，且y与与z轴同时通过截面形心，则称其为截面的一对轴同时通过截面形心，则称其为截面的一对形心主惯性轴形心主惯性轴，对应的，对应的Iy与与Iz称为截面的称为截面的形心主惯性矩形心主惯性矩。-2 极惯性矩、惯性矩和惯性积极惯性矩、惯性矩和惯性积 三、三、惯性积惯性积(1)(1)惯性矩、惯性积是对轴而言的，不同截面对同一对轴或同惯性矩、惯性积是对轴而言的，不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的数值是不同的；极惯性矩是对点（称为极一截面对不同轴的数值是不同的；极惯性矩是对点（称为极点）而言的，同一截面对不同点的极惯性矩值也不同。点）而言的，同一截面对不同点的极惯性矩

10、值也不同。(2)(2)若截面有一根对称轴若截面有一根对称轴,则该则该截面对包括此对称轴在内的一截面对包括此对称轴在内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。对正交坐标轴的惯性积必为零。-2 极惯性矩、惯性矩和惯性积极惯性矩、惯性矩和惯性积 三、三、惯性积惯性积组合截面组合截面的的惯性矩和惯性积：惯性矩和惯性积：当截面由个简单图形组合而成时，截面对于某当截面由个简单图形组合而成时，截面对于某根轴的惯性矩或惯性积等于这些简单图形对于该轴的根轴的惯性矩或惯性积等于这些简单图形对于该轴的惯性矩或惯性积之和。即惯性矩或惯性积之和。即:-2 极惯性矩、惯性矩和惯性积极惯性矩、惯性矩和惯性积 四、四、惯性半径惯性半

11、径 截面对z轴的惯性半径截面对y轴的惯性半径如以如以r表示某一截面对某轴的惯性半径，定义表示某一截面对某轴的惯性半径，定义Ip d 432Wp=d 316Ip D 432(1-4)Wp=D 316(1-4)=/D对于实心圆截面：对于实心圆截面：对于圆环截面：对于圆环截面：Wp=D/2Ip扭转截面系数：扭转截面系数：y圆形y圆环圆环解：解：bhzyCyd y 例例4 求矩形截面对其对称轴求矩形截面对其对称轴y,z轴的惯性矩及抗弯截面系数轴的惯性矩及抗弯截面系数.同理：同理：取微面积取微面积dA=dzdy，则：则：zyd解：因为截面对其圆心解：因为截面对其圆心 O 的极惯性矩为的极惯性矩为 例例5

12、 求圆形截面对其对称轴的惯性矩求圆形截面对其对称轴的惯性矩.所以所以 解：因为截面对其圆心解：因为截面对其圆心 O 的极惯性矩为的极惯性矩为 例例6 求圆环截面对其对称轴的惯性矩求圆环截面对其对称轴的惯性矩.y圆环 =d/D对于实心圆截面：对于实心圆截面：对于圆环截面：对于圆环截面：y圆形y圆环圆环 =d/D小小 结结一、静矩：一、静矩：性质：性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；二、极惯性矩：二、极惯性矩：实心圆截面：实心圆截面：空心圆截面：空心圆截面：Wp=D 316(1-4)=d/DWp=d 316小小 结结三、惯性矩：三、惯性矩：矩形截面：矩形截面：几何关系：几何关系：圆形截面：圆形截面：圆环截面：圆环截面：谢谢观赏谢谢观赏