第六章自旋与全同粒子案例.ppt

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1、（一）（一）Stern-Gerlach Stern-Gerlach 实验实验 (二）光谱线精细结构二）光谱线精细结构 （三）电子自旋假设（三）电子自旋假设 （四）回转磁比率（四）回转磁比率 1 电子自旋的实验证据电子自旋的实验证据第六章第六章 自旋与全同粒子自旋与全同粒子 赣南师范学院物理系赣南师范学院物理系（1）实验描述）实验描述 Z 处于于 S S 态的的氢原子原子（2）结论）结论 I。氢原子有磁矩。氢原子有磁矩 因而在非均匀磁场中发生偏转因而在非均匀磁场中发生偏转 II。氢原子磁矩只有两种取向。氢原子磁矩只有两种取向 即空间量子化的即空间量子化的 基态的氢原子束流，经非基态的氢原子束流，

2、经非均匀磁场发生偏转，在感光板均匀磁场发生偏转，在感光板上呈现两条分立线。上呈现两条分立线。NS（一）（一）Stern-Gerlach 实验实验（3）讨论）讨论 磁矩与磁磁矩与磁场之夹角场之夹角 原子原子 Z Z 向受力向受力 分析分析 若原子磁矩可任意取向，则若原子磁矩可任意取向，则 cos 可在可在（-1，+1）之间连续变化，感光板将呈现连续带之间连续变化，感光板将呈现连续带但是实验结果是：出现的两条分立线对应但是实验结果是：出现的两条分立线对应 cos =-1 和和+1，处于，处于 基态的氢原子基态的氢原子 =0，没有轨，没有轨道磁矩，所以原子磁矩来自于电子的固有磁矩，即道磁矩，所以原子

3、磁矩来自于电子的固有磁矩，即自旋磁矩。自旋磁矩。3p 3s 5893 3p3/2 3p1/2 3s1/2 D1 D2 5896 5890 钠原子光谱中的一条亮钠原子光谱中的一条亮黄线黄线 5893，用高分辨率，用高分辨率的光谱仪观测，可以看到该的光谱仪观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。条谱线组成。其他原子光谱中也可以其他原子光谱中也可以发现这种谱线由更细的一些发现这种谱线由更细的一些线组成的现象，称之为线组成的现象，称之为光谱光谱线的精细结构线的精细结构。该现象只有。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到考虑了电子的自旋才能得到解释解释（二）光谱线精细结构

4、（二）光谱线精细结构 乌伦贝克乌伦贝克 和和 高斯密特高斯密特1925年根据上述现象提出了年根据上述现象提出了电子自旋假设电子自旋假设（1 1）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向）每个电子都具有自旋角动量，它在空间任何方向上的投影只能取两个数值：上的投影只能取两个数值：（三）电子自旋假设（三）电子自旋假设（2 2）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的）每个电子都具有自旋磁矩，它与自旋角动量的关系为：关系为：自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数自旋磁矩，在空间任何方向上的投影只能取两个数值：值：Bohr 磁子磁子（1 1）电子自旋回转磁比率）电子自旋回转磁比率 我们知道，轨道

5、角动量与轨道磁矩的关系是：我们知道，轨道角动量与轨道磁矩的关系是：（2 2）轨道回转磁比率）轨道回转磁比率 则，轨道回转磁比率为：则，轨道回转磁比率为：可见电子自旋回转磁比率是轨道回转磁比率的二可见电子自旋回转磁比率是轨道回转磁比率的二倍倍（四）回转磁比率（四）回转磁比率 2 自旋算符和自旋波函数自旋算符和自旋波函数（一）含自旋的状态波函数（一）含自旋的状态波函数（二）自旋算符（二）自旋算符 （三）自旋算符的矩阵表示与（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli Pauli 矩阵矩阵 （四）含自旋波函数的归一化和几率密度（四）含自旋波函数的归一化和几率密度 （五）自旋波函数（五）自旋波函数 （六）力

6、学量平均值（六）力学量平均值因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动因为自旋是电子内部运动自由度，所以描写电子运动除了用除了用(x,y,z)三个坐标变量外，还需要一个自旋变三个坐标变量外，还需要一个自旋变量量(SZ），于是电子的含自旋的波函数需写为：），于是电子的含自旋的波函数需写为：由于由于 SZ 只取只取 /2 两个值，两个值，所以上式可写为两个分量：所以上式可写为两个分量：（一）含自旋的状态波函数（一）含自旋的状态波函数 若若已已知知电电子子处处于于Sz=/2或或Sz=-/2的的自自旋旋态态，则则波波函函数可分别写为：数可分别写为：写成列矩阵写成列矩阵 规定列矩阵规定列矩阵 第一行

7、对应于第一行对应于Sz=/2，第二行对应于第二行对应于Sz=-/2。自旋角动量是纯量子概念，它不可能用经典力学来解释。自旋角动量也是一个力学量，但是它和其他力学量有着根本的差别通通常常的的力力学学量量都都可可以以表表示为坐标和动量的函数示为坐标和动量的函数:而而自自旋旋角角动动量量则则与与电电子子的的坐坐标标和和动动量量无无关关，它它是是电电子子内内部部状状态态的的表表征征，是是描描写写电电子子状状态态的的第第四四个个自自由由度（第四个变量）。度（第四个变量）。与与其其他他力力学学量量一一样样，自自旋旋角角动动量量也也是是用用一一个个算算符符描描写，记为写，记为（二）自旋算符（二）自旋算符 自

8、旋角动量自旋角动量 轨道角动量轨道角动量 异同点异同点:与坐标、动量无关与坐标、动量无关 不适用不适用 同是角动量同是角动量 满足同样的角动量对易关系满足同样的角动量对易关系 由由于于自自旋旋角角动动量量在在空空间间任任意意方方向向上上的的投投影影只只能能取取 /2/2 两个值两个值所以所以 的本征值都是的本征值都是/2/2，其平，其平方为方为 /2/22 2 算符的本征值是算符的本征值是 仿照仿照 自旋量子数自旋量子数s s 只有一个数值只有一个数值（1）SZ的矩阵形式的矩阵形式 电子自旋算符（如电子自旋算符（如SZ）是）是作用于电子自旋波函数上作用于电子自旋波函数上的，既然电子波函数表示的

9、，既然电子波函数表示成了成了21 的列矩阵，那么，的列矩阵，那么，电子自旋算符的矩阵表示电子自旋算符的矩阵表示应该是应该是 22 矩阵。矩阵。因因为为1/2 描描写写的的态态，SZ有有确确定定值值 /2，所所以以1/2 是是 SZ 的本征态，本征值为的本征态，本征值为 /2，即有：，即有：矩阵形式矩阵形式（三）自旋算符的矩阵表示与（三）自旋算符的矩阵表示与 Pauli 矩阵矩阵 同理对同理对1/2 处理，有处理，有 最后得最后得 SZ 的矩阵的矩阵形式形式 SZ 是对角矩阵，是对角矩阵，对角矩阵元是其本对角矩阵元是其本征值征值/2。（2）Pauli 算符算符 1.Pauli 算符的引进算符的引

10、进 分分量量形形式式 因为因为S Sx x,S,Sy y,S,Sz z的本征值都是的本征值都是/2/2，所以所以x x,y y,z z的本征值都是的本征值都是1 1；x x2 2,y y2 2,Z Z2 2 的本征值都是的本征值都是 2.2.反对易关系反对易关系 基于基于的对易关系，可的对易关系，可 以证明以证明各分量之间满各分量之间满 足反对易关系足反对易关系:证：证：我们从对易关系我们从对易关系:出发出发 左乘左乘y 右乘右乘y 二式相加二式相加 同理可证同理可证:x,y 分量的反对易关系亦成立分量的反对易关系亦成立.证毕证毕 或或 y2=1 由对易关系和由对易关系和反对易关系还反对易关系

11、还可以得到关于可以得到关于 Pauli 算符的如算符的如下非常有用性下非常有用性质：质：3.Pauli算符的矩阵形式算符的矩阵形式 根据定义根据定义 求求Pauli 算符的其他两个分量算符的其他两个分量 令令 利用反对利用反对易关系易关系 X 简化为：简化为：令：令：c=expi(为实），则为实），则 由力学量算由力学量算符厄密性符厄密性 得：得：b=c*(或或c=b*)x2=I 求求y 的矩阵形式的矩阵形式 这里有一个相位不定性，习惯上取这里有一个相位不定性，习惯上取=0，于是得到，于是得到 Pauli 算符的矩阵形式为：算符的矩阵形式为：写成矩阵形式写成矩阵形式 从从自自旋旋算算符符与与

12、Pauli 矩矩阵阵的的关关系系自自然然得得到到自自旋旋算算符符的的矩阵表示：矩阵表示：课堂练习：（1）由对易关系和反对易关系得出由对易关系和反对易关系得出（2）由自旋算符的矩阵形式得出上式。）由自旋算符的矩阵形式得出上式。（1 1）归一化）归一化 电电子子波波函函数表示成数表示成 矩阵形矩阵形式后，式后，波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标波函数的归一化时必须同时对自旋求和和对空间坐标积分，即积分，即（四）含自旋波函数的归一化和几率密度（四）含自旋波函数的归一化和几率密度（2）几率密度）几率密度 表示表示 t 时刻在时刻在 r 点附近点附近 单位体积内找到电子的几率单位体积内找到电

13、子的几率 表示表示t时刻时刻r点处点处 单位体积内找到自旋单位体积内找到自旋 Sz=/2的电子的几率的电子的几率表示表示t时刻时刻 r点处单位点处单位 体积内找到体积内找到 自旋自旋 Sz=/2 的电子的几率的电子的几率在全空间找到在全空间找到Sz=/2的电子的几率的电子的几率在全空间找到在全空间找到 Sz=/2 的电子的几率的电子的几率波函数波函数 通通常常自自旋旋和和轨轨道道运运动动之之间间是是有有相相互互作作用用的的，所所以以电电子子的的自自旋旋状状态态对对轨轨道道运运动动有有影影响响。但但是是，当当这这种种相相互互作作用用很很小小时时，可可以以将将其其忽忽略略，此此时时可可以以写写成成

14、如如下形式：下形式：（五）自旋波函数（五）自旋波函数 其中其中 是是 的本征函数，称为的本征函数，称为自旋波函数自旋波函数求：自旋波函数求：自旋波函数(Sz)SZ 的本征方程的本征方程 令令 因为因为 Sz 是是 2 2 矩阵，所以在矩阵，所以在 S2,Sz 为对角矩阵的表象为对角矩阵的表象内，内，1/2,-1/2 都应是都应是 21 的列矩阵。的列矩阵。代入本征方程得：代入本征方程得：由归一化条件确定由归一化条件确定a1 所以所以 二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交二者是属于不同本征值的本征函数，彼此应该正交 引引进进自自旋旋后后，任任一一自自旋旋算算符符的的函函数数 G 在在 S

15、z 表表象象表表示示为为22矩阵矩阵 算符算符 G 在任意态在任意态中对中对自旋自旋求平均的平均值求平均的平均值（六）力学量平均值（六）力学量平均值 算符算符 G 在在 态中对态中对坐标和自旋坐标和自旋同时求平均的平均值是：同时求平均的平均值是：人有了知识，就会具备各种分析能力，人有了知识，就会具备各种分析能力，明辨是非的能力。明辨是非的能力。所以我们要勤恳读书，广泛阅读，所以我们要勤恳读书，广泛阅读，古人说古人说“书中自有黄金屋。书中自有黄金屋。”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，通过阅读科技书籍，我们能丰富知识，培养逻辑思维能力；培养逻辑思维能力；通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平，培养文学情趣；培养文学情趣；通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。有许多书籍还能培养我们的道德情操，有许多书籍还能培养我们的道德情操，给我们巨大的精神力量，给我们巨大的精神力量，鼓舞我们前进鼓舞我们前进。