第一章：偏微分方程课件.ppt

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1、 数学物理方程数学物理方程 指从物理学或其他各门自然科指从物理学或其他各门自然科学、技术科学中的某些物理问题导出的偏微分方学、技术科学中的某些物理问题导出的偏微分方程程(有时也包括积分方程、微分积分方程等有时也包括积分方程、微分积分方程等)。它。它们反映了有关的未知变量关于时间的导数和与空们反映了有关的未知变量关于时间的导数和与空间变量的导数之间的制约关系。连续介质力学、间变量的导数之间的制约关系。连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理方程的范围。物理方程的范围。教学目的教学目的 通过本课程的教学使学生获得有关偏通过本课程的教学使

2、学生获得有关偏微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三类微分方程的一些基本概念、基本方法，掌握三类典型方程定解问题的解法，进一步扩大学生的数典型方程定解问题的解法，进一步扩大学生的数学知识面，为后继课程提供必要的数学基础。学知识面，为后继课程提供必要的数学基础。1参考书目参考书目数学物理方程数学物理方程,王明新王明新,清华大学出版社。清华大学出版社。数学物理方程数学物理方程，姜礼尚，姜礼尚，高教出版社。高教出版社。工程技术中的偏微分方程工程技术中的偏微分方程，潘祖梁，潘祖梁，浙江大学出版社。浙江大学出版社。2一一.偏微分方程（偏微分方程（partial differential partial

3、 differential equation)equation)（PDEPDE）的基本概念）的基本概念自变量自变量未知函数未知函数偏微分方程的一般形式偏微分方程的一般形式3PDEPDE的阶的阶：PDEPDE的解的解 古典解古典解广义解广义解概念概念是指这样一个函数，它满足方程，是指这样一个函数，它满足方程，并且在所考虑的区域内有并且在所考虑的区域内有m m阶连阶连续偏导数。续偏导数。线性线性PDEPDE非线性非线性PDEPDE半线性半线性PDEPDE拟线性拟线性PDEPDE完全非线性完全非线性PDEPDE自由项自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的在偏微分方程中，不含有未知函数及其

4、偏导数的项称为自由项项称为自由项4线性线性PDEPDE：PDEPDE中对所含未知函数及其各阶导数的全中对所含未知函数及其各阶导数的全体都是线性的。例如：体都是线性的。例如：常系数线性常系数线性PDE:PDE:不然称为变系数的不然称为变系数的齐次线性齐次线性PDE:不然称为非齐次的不然称为非齐次的线性线性PDEPDE的主部的主部:具有最高阶数偏导数组成的部分具有最高阶数偏导数组成的部分主部5PDEPDE中对最高阶导数是线性的。例如中对最高阶导数是线性的。例如：半线性半线性PDEPDE：完全非线性完全非线性PDEPDE：PDEPDE中对最高阶导数不是线性的。中对最高阶导数不是线性的。拟线性拟线性P

5、DEPDE：拟拟线性线性PDEPDE中，最高阶导数的系数仅为自中，最高阶导数的系数仅为自变量的函数。例如：变量的函数。例如：非线性非线性PDE6举例（未知函数为二元函数）举例（未知函数为二元函数）1.2.变换解为：解为：7举例（未知函数为二元函数）举例（未知函数为二元函数）4.3.解为：变换解为：85.不易找出其通解，但还不易找出其通解，但还是可以找出一些特解是可以找出一些特解任意解析函数任意解析函数 的实部和虚部均满足方程。的实部和虚部均满足方程。也是解也是解6.特解都不易找到特解都不易找到KDVKDV方程方程举例（未知函数为二元函数）举例（未知函数为二元函数）97.拟线性拟线性PDE8.拟

6、线性拟线性PDE9.半线性半线性PDE10.半线性半线性PDE11.完全非线性完全非线性PDE10举例举例(多元函数多元函数)拉普拉斯拉普拉斯(Laplace)(Laplace)方程方程热传导方程热传导方程波动方程波动方程11二二.定解问题的适定性定解问题的适定性定解定解问题问题PDE定解条件定解条件初值条件初值条件 initial condition边值条件边值条件 boundary condition初、边值条件初、边值条件初值问题、边值问题、混合问题初值问题、边值问题、混合问题12经典的定解问题举例经典的定解问题举例1+1维波动方程维波动方程(弦振动方程弦振动方程)的初值问题的初值问题1

7、3经典的定解问题举例经典的定解问题举例热传导方程的初值问题热传导方程的初值问题14经典的定解问题举例经典的定解问题举例二维调和方程的二维调和方程的边值问题边值问题第一边值问题（Dirichlet）第二边值问题（Neumann）第三边值问题（Robin）15经典的定解问题举例经典的定解问题举例热传导方程的初、边值问题热传导方程的初、边值问题16何为适定性？何为适定性？存在性存在性唯一性唯一性连续依赖性（稳定性）连续依赖性（稳定性）适定性适定性若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的适定的。稳定性：

8、只要定解条件的偏差足够小，相应的稳定性：只要定解条件的偏差足够小，相应的定解问题解的偏差也将非常小定解问题解的偏差也将非常小17三三.物理模型与定解问题的导出物理模型与定解问题的导出弦振动方程的导出弦振动方程的导出18弦振动方程与定解问题弦振动方程与定解问题 一长为一长为L L的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受的柔软均匀细弦，拉紧后，当它受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微小到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微小横振动。横振动。假设这运动发生在同一平面内，求假设这运动发生在同一平面内，求弦上各点位移随时间变化规律。弦上各点位移随时间变化规律。弦弦上上各点作往返运动的主要原因在于弦的张力各点作

9、往返运动的主要原因在于弦的张力作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和张力都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此都在不断变化，但它们遵循物理的运动规律。由此可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。19取弦的取弦的平衡位置为平衡位置为OXOX轴，运动平面为轴，运动平面为XOUXOUOUXPQL在时刻 t，弦线在 x 点的位移为 u(x,t)OUXPQ上图中上图中PQPQ的放大图示的放大图示20假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为假设弦线是均匀的，弦作微小振动，故可认为 即表明弧段即表明弧段PQ在

10、振动过程中长度近似不在振动过程中长度近似不变。根据变。根据Hooke定律，弦上各点的张力定律，弦上各点的张力 T 的大的大小与时间小与时间 t 无关，只与无关，只与x有关。再由于弦是柔有关。再由于弦是柔软的，弦上各点的张力软的，弦上各点的张力 T 的方向正是弦的切的方向正是弦的切线方向。线方向。21(*1)(*2)设设 为弦的线密度为弦的线密度(单位长度的质量单位长度的质量)，为为作用在弦线上且垂直于平衡位置的强迫外力密度作用在弦线上且垂直于平衡位置的强迫外力密度(单位单位长度的力长度的力)，根据牛顿第二定律，根据牛顿第二定律，22(*1)这这表明张力的大小与表明张力的大小与 x 也也无关，即

11、无关，即常数常数(*2)，微分中值定理，微分中值定理23令令，可得微分方程方程可得微分方程方程弦是弦是均匀的，故均匀的，故 为常数，记为常数，记方程改写为方程改写为刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通刻划了均匀弦的微小横振动的一般规律。通常称为常称为弦振动方程。弦振动方程。24 为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的为了具体给出弦的振动规律，除了列出它所满足的方程外，由于弦开始时的形状和弦上各点的速度，对弦方程外，由于弦开始时的形状和弦上各点的速度，对弦振动将有直接影响，由此必须列出振动将有直接影响，由此必须列出初始条件初始条件或者或者(以及以及)边界条件边界条件已知端点的位移已知端点

12、的位移已知在端点受到垂直于已知在端点受到垂直于弦的外力的作用弦的外力的作用已知端点的位移与所受外力作用已知端点的位移与所受外力作用的一个线性组合的一个线性组合252+1维波动方程或膜振动方程维波动方程或膜振动方程 一块均匀的拉紧的薄膜，离开静止水平位置作一块均匀的拉紧的薄膜，离开静止水平位置作垂直于水平位置的微小振动，其运动规律满足垂直于水平位置的微小振动，其运动规律满足其中：其中：u(x,y,t)表示在表示在 t 时刻、膜在时刻、膜在(x,y)点处的位移点处的位移f(x,y,t)表示单位质量所受的外力表示单位质量所受的外力a2=T/：T表示张力、表示张力、为线密度为线密度263+1维波动方程

13、或声波方程维波动方程或声波方程n+1维波动方程维波动方程27热传导方程热传导热传导分析：设杆长方向为分析：设杆长方向为x轴，考虑轴，考虑杆上从杆上从x到到x+dx的一段的一段(代表代表)，其质量为其质量为dm=dx，热容量为，热容量为cdm。设杆中的热流沿。设杆中的热流沿x轴正向，轴正向，强度为强度为q(x,t)，温度分布为，温度分布为 u(x,t)，则，则问题：一根长为问题：一根长为L的均匀导热细的均匀导热细杆，侧面绝热，内部无热源。其杆，侧面绝热，内部无热源。其热传导系数为热传导系数为k，比热为，比热为c，线密，线密度为度为。求杆内温度变化的规律。求杆内温度变化的规律。由能量守恒定律由能量

14、守恒定律 cdmdu=dQ=q(x,t)-q(x+dx,t)dt=-qx(x,t)dxdt于是有于是有c ut=-qx由热传导定律由热传导定律q(x,t)=-k ux(x,t)代入前面的式子，得到代入前面的式子，得到c ut=k uxxut=a2 uxx28推广：推广：情况：内部有热源情况：内部有热源(或侧面不绝热或侧面不绝热)分析：设热源强度分析：设热源强度(单位时间在单位单位时间在单位长度长度 中产生的热量中产生的热量)为为F(x,t)，代表，代表段的段的 吸热为吸热为Fdxdt方程：方程：c ut=k uxx+F ut=a2 uxx+f，f=F/(c)29稳定场方程稳定场方程产生：在演化

15、问题中，有时会到达一个不随时间变化产生：在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。的稳定状态，对应的方程称为稳定场方程。形式：在对应的演化方程中取消时间变量形式：在对应的演化方程中取消时间变量t，对，对t的导的导数为零。数为零。分类：分类：无外界作用情况无外界作用情况拉普拉斯方程：拉普拉斯方程：u=utt+uyy+uzz=0有外界作用情况有外界作用情况泊松方程：泊松方程：u=utt+uyy+uzz=f(x,y,z)典型应用典型应用静电场方程：静电场方程：u=-/稳定温度分布：稳定温度分布：u=-F/k30 在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型在

16、数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：的偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程波动方程；热传导方程；稳定场方程这三类这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点解也表现出各自不同的特点我们在解析几何中知道对于二次实曲线我们在解析几何中知道对于二次实曲线其中其中 为常数，且设为常数，且设 四、数学物理方程的分类四、数学物理方程的分类3131则当则当 时，上述二次曲线分别为双时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆受此启发，下面我们来对二阶线性偏曲线、抛物线和椭圆受此启发，

17、下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类微分方程进行分类.下面主要以含下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行为例，进行理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论理论分析而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的的基本方法是一样的两个自变量两个自变量(x,y)的二阶线性偏微分方程所具有的的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为普遍形式为3232 二阶线性二阶线性PDE方程的分类方程的分类两个自变量，齐次两个自变量，齐次主部主部目的目的：通过自变量的非奇异变换来简化方程通过自变量的非奇异变换来简化方程的主部，从而据此分类。的

18、主部，从而据此分类。非奇异非奇异（1）33复合求导复合求导34系数之间的关系（2）（1）（3）35其他系数之间的关系（3*）36考虑考虑如若能找到两个相互独立的解如若能找到两个相互独立的解那么就作变换那么就作变换从而有从而有（4）37假设假设是是方程方程的的特解，则关系式特解，则关系式是是常微分方程常微分方程（4）（5）的的一般积分。反之亦然。一般积分。反之亦然。引理引理 由此可知，要求方程（由此可知，要求方程（4）的解，只须求出常微）的解，只须求出常微分方程（分方程（5）的一般积分。）的一般积分。38定义定义称常微分方程（称常微分方程（5）为）为PDE（1）的的特征方程。特征方程。称（称（5

19、）的积分曲线为）的积分曲线为PDE（1）的的特征曲线。特征曲线。（6）39记记定义定义方程方程(1)在点在点M 处是处是双曲型双曲型：椭圆型：椭圆型：抛物型：抛物型：若在点若在点M M处，有处，有若在点若在点M M处，有处，有若在点若在点M M处，有处，有40双曲型双曲型PDE右端为两相异右端为两相异的实函数的实函数它们的一般积分为它们的一般积分为由此令由此令，方程（方程（1 1）可改写为）可改写为双曲型方程的双曲型方程的第一标准型第一标准型双曲型方程的双曲型方程的第二标准型第二标准型41抛物型抛物型PDE由此得到一般积分为由此令由此令，其中与独立独立(线性无关线性无关)的任意函数。的任意函数。42由于由于由此推出由此推出43因此，方程（因此，方程（1 1）可改写为）可改写为抛物型方程的标准型抛物型方程的标准型而而44椭圆型椭圆型PDE右端为两相异右端为两相异的复数的复数由此推出两族复数积分曲线为由此推出两族复数积分曲线为其中45由此令由此令从而方程（从而方程（1 1）可改写为）可改写为，满足方程（满足方程（4 4）椭圆型方程的标准型椭圆型方程的标准型46例例1抛物型方程抛物型方程令47例例2双曲型方程双曲型方程48例例3Tricomi方程椭圆型椭圆型双曲型双曲型抛物型抛物型4950