最新大学高等数学第五版上课件D31中值定理教学课件.ppt

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1、大学高等数学第五版上课件D31中值定理一、罗尔一、罗尔(Rolle)定理定理第一节机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 中值定理 第三三章 拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论推论:若函数在区间 I 上满足则在 I 上必为常数.证证:在 I 上任取两点日中值公式,得由 的任意性知,在 I 上为常数.令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.证明等式证证:设由推论可知 (常数)令 x=0,得又故所证等式在定义域 上成立.自证自证:经验经验:欲证时只需证在 I 上机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例

2、3.证明不等式证证:设中值定理条件,即因为故因此应有机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理分析分析:及(1)在闭区间 a,b 上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使满足:要证柯西 目录 上页 下页 返回 结束 证证:作辅助函数且使即由罗尔定理知,至少存在一点思考思考:柯西定理的下述证法对吗?两个 不一定相同错错!机动 目录 上页 下页 返回 结束 上面两式相比即得结论.柯西定理的几何意义柯西定理的几何意义:注意:弦的斜率切线斜率机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.设至少存在一点使证证:结论可变形为设则在

3、 0,1 上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点 ,使即证明机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.试证至少存在一点使证证:法法1 用柯西中值定理.则 f(x),F(x)在 1,e 上满足柯西中值定理条件,令因此 即分析分析:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.试证至少存在一点使法法2 令则 f(x)在 1,e 上满足罗尔中值定理条件,使因此存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键关键:利用逆向思

4、维设辅助函数费马引理机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.填空题填空题1)函数在区间 1,2 上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间机动 目录 上页 下页 返回 结束 上.方程2.设且在内可导,证明至少存在一点使提示提示:由结论可知,只需证即验证在上满足罗尔定理条件.设机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.若可导,试证在其两个零点间一定有的零点.提示提示:设欲证:使只要证亦即作辅助函数验证在上满足罗尔定理条件.机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业作业P132 7,8,10,12,14,15第二节 目录 上页 下页 返回 结束 柯西柯西(1789 1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷.其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书 7 本,备用题备用题求证存在使1.设 可导，且在连续，证证：因此至少存在显然在 上满足罗尔定理条件,即设辅助函数使得机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 证明对任意有证证：2.不妨设机动 目录 上页 下页 返回 结束 结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！28