最新大学高等数学经典课件2-1ppt课件.ppt

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1、大学高等数学经典课件大学高等数学经典课件2-2-1 1 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系第二章第二章 导导 数数 与与 微微 分分 我们已经研究了函数即变量之间相互依存关系,现在我们进一步研究当自变量变化时，函数变化的 快慢程度，即变化率问题.这就产生导数和微分的 概念。高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高

2、高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 显然,存在的充分必要条件是 都存在,且 都可导(在I的端点上为单侧可导),则称f(x)在区间I上可导。此时，在I上每一个确定的x值，都有函数f(x)的一个确定的导数值与它相应,这样构成的新函数叫做原函数f(x)在区间 I上的导函数，有时称为f在 I 上的导数,记作如果函数y=f(x)在某区间I上的每一点 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系即有可见函

3、数在x0处的导数值f(x0)就是导函数f(x)在点x=x0的函数值 有了导数的定义后,可以说变速运动的瞬时速度v 是路 程函数 s=f(t)对于时间的导数,即v=ds/dt,导数的实质是 平均变化率的极限,它反映当自变量变化时,函数变化的 快慢程度，导数大，函数的变化 快；导数小，函数的 变化慢。高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例1 试按定义取函数 的导数。解:一般由定义求导数按下面三个步骤进行;(1)求出函数y的增量y;(2)写出增量比y/x;(3)使x0,求增量比的极限.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 在理解导数

4、的概念和用导数的定义来求导数时，我们通 过上述例子应该明确下面几点.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(1)函数y=f(x)的改变量y=f(x+x)-f(x);当x固定时,y 是随x的变化而变化的，即是x的函数,当x发生变化 时,y也是x的函数，故y是x,x两者的函数。同样,它们的变化率一般说来也是两者的 函数，这说明函(2)若函数y=f(x)在x0点处连续，则当x0时,y0。这样求增量 比y/x的极限过程，也就是研究两个 无穷小量y，x之比 y/x的过程，数在不同点的变化率也不同.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 函数

5、f(x)在点x0处可导即表示y和x是同价无 穷小量 或者y比x高价的无穷小量.这表示导数必须依赖于极限.(3)导数f(x)是x的函数,它和x没有关系.(4)令x0+x=x,则x=x0-x,当x0时,xx0,导数有如下 的表示法.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例2 设 存在,求下列各极限解：解题思路就是应用公式 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例3 设f(x)在x=1处连续,且求f(1)高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数

6、理理系系导数不存在例4 设f(x)在(-,+)内有定义，对任意x，恒有 f(x+1)=2f(x),当0 x1时,f(x)=x(1-x2),试判断在x=0处,f(x)是否存在.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(1)常数y=C的导数常数的导数为0，常数在任意一点的变化率为0.1.求导数举例求导数举例:高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 在下一讲中我们可以知道这个导数公式对于任意实数 也是成立的，有(2)幂函数y=xn(nN)的导数 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系（3）指数函数y=ax(

7、a0,a1)的导数P68例7，证明如下 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系下面证明 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 上面我们讨论了导数的定义,从定义上看导数是两个无穷小之比的极限.如果导数存在,则y和x这两个无穷小分别是等阶,同阶的，低阶的。从上面导数的举例中,我们得到下列的求导公式（4）正(余)弦函数的导数 设y=sinx则 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(1)常数C的导数.(C)=0.(2)幂函数f(x)=xn (xn)=nxn-1(3)指数函数f(x)=ax (ax)=ax

8、 lna 特别是f(x)=ex (ex)=ex(4)对数函数f(x)=logax (logax)=1/(xlna).特别是f(x)=lnx (lnx)=1/x(5)三角函数f(x)=sinx (sinx)=cosx f(x)=cosx (cosx)=-sinx.在今后的计算中我们不用定义求导数而直接使用上面的公式.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例5 下面的求导验算正确否？如有错误，则改正之。解：1 0 第二项是常数，常数的导数为0 20 ln2的导数是0,且1/x不是简单的倒数问题.有些抽象函数如果在某点可导,只能用定义计算该函数 在该点 的导数.例如

9、高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例6 设f(x)=(x3-a3)(x),其中(x)在x=a处连续,求f(x)的导数.解:因不知道f(x)在x=a处可导,只能用定义求 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 证明:因f(x)为偶函数,f(x)=f(-x),由导数定义,有例7 如果f(x)为偶函数且 存在,证明 =0 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 用导数定义求可导函数的差值与其自变量为无穷小之比 的极限解：如果此函数极限存在,则它的倒数为则原极限等于1例8 已知f(x0)=-1,求 高高

10、等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系三三.导导 数数 的的 几几 何何 意意 义义 设M0(x0,y0)是曲线 y=f(x)上的一点，在M0的邻域内取一 点M(x0+x,y0+y),固定M0，当x0时，割线MM0绕M0转动到极限位M0T，称M0T为曲线在点M0的切线xM0M0Tyxx0 x0+xyyMM0的斜率 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 导数的几何意义是曲线在该点的切线的斜率.由点斜式方程可知 曲线 y=f(x)在M0(x0,y0)的切线方程 是 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系我

11、们知道,法线和切线相互垂直,它们斜率的乘积为-1,平面曲线的法线方程为如果函数在x0点处的导数为无穷大，这时切线垂直于x轴，法线平行于x轴，切线方程为 x=x0，法线方程为 y=y0.高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例9 求曲线 y=x2 在点 (3,9)处的切线方程和法线方程 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系四、四、函数可导性与连续性的关系函数可导性与连续性的关系设函数y=f(x)在点x处可导，即存在极限 这说明函数y=f(x)在点x连续，即可导必连续，但函数 连续不一定可导。我们可举出反例来.高高等等数数学学电电子

12、子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例10 函数 y=|x|在(-,+)内处处连续,但它在x=0处却不可导.导数为曲线的斜率，在图中可见当x=0时它的左右极限不相等。所以函数在该点不可导，就是在该点没有切线。yy=|x|高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系例11 函数 在(-,+)内处处连续，但它在 x=0处却不可导解：在x=0处 表示在x=0处的极限为无穷大，即该点的切线垂直于x轴。高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 可导的函数一定连续，连续的函数一定有极限，所以f(x)在x0处可导就一定有极限.可导连续有极限

13、不一定不一定 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 例12 讨论 函数 f(x)=在点x=0，x=1及x=2处的连续性和可导性解:(1)在x=0点处(2)在x=1点处 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系 例12 讨论 函数 f(x)=在点x=0，x=1及x=2处的连续性和可导性 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系(3)在点x=2处 例12 讨论 函数 f(x)=在点x=0，x=1及x=2处的连续性和可导性 高高等等数数学学电电子子教教案案 武武汉汉科科技技学学院院数数理理系系X-12xX2+1X/2+1xy12-1 例12 讨论 函数 f(x)=在点x=0，x=1及x=2处的连续性和可导性结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！41