教学课件第3章 图像处理中的正交变换（第3－4讲）（研究生学位课）.ppt

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1、教学课件第3章图像处理中的正交变换（第34讲）（研究生学位课）数字图像处理学数字图像处理学第第3章章 图图像像处处理中的正交理中的正交变换变换（第四讲）（第四讲）阮秋琦教授阮秋琦教授3.4 哈尔函数及哈尔变换哈尔函数及哈尔变换在图像编码及数字滤波方面得到应用的另一种归一化正交函数是哈尔(Haar)函数。它的一个重要特点是收敛均匀而迅速。图3-16 哈尔函数波形图 上述哈尔函数是定义在区间0,1)内的，但是，我们可以以1为周期，将它延拓至整个时间轴上。另外，阶数不相同的两个哈尔函数，或者互不重迭（例如har(3,t),和har(4,t),；或者一个哈尔函数处于另一个哈尔函数的半周之内（例如har

2、(4,t),和har(2,t),，这两种情况都是正交的。(3-174)总的来说，哈尔函数的正交性可用下式来表示图3-17指数函数展开成有限哈尔函数 从图可见，项数越多，逼近越好，这种增加项数的效果是很明显的。而在傅里叶级数和沃尔什级数中就没有这样直观、简单。图3-16 哈尔函数波形图按上述定义来看，三角函数，沃尔什函数都是全域函数。从式(3-176)可以看出，全域函数har(0,t),和har(1,t),的系数C(0)和C(1)在整个正交区间内受f(t)的影响；区域函数的系数C(2),C(3)等只受f(t)部分值的影响。这样，如果用哈尔函数去逼近f(t)，则全域函数在整个正交区间内起作用，而区

3、域函数则在部分区域起作用。在工程应用中，如果我们希望将一个函数f(t)的某一部分逼近得更好的话，那么，哈尔函数有独到之处。3.3.4.3 4.3 哈尔变换及快速算法哈尔变换及快速算法 把离散的哈尔函数写成矩阵形式就可得到哈尔矩阵。前八个哈尔函数组成的矩阵如下式所示。(3-178)哈尔正变换由下式来定义(3-179)其逆变换如下式所示(3-180)仿照沃尔什变换，利用矩阵因子分解之方法也可以得到快速哈尔变换。一般说来，快速哈尔变换的流程图并不是蝶形的，但是，我们可以用重新排序的方法构成哈尔变换的蝶式运算流程图。具体作法如下：例如：f(2)的序号是2，则：2十进=010二进，倒置后仍是010二进，

4、所以,f(2)f(2)又例如：f(4)序号为4，则：4十进100二进倒置后是001二进1十进，所以f(1)f(4)。以此类推可求出f(0)f(0),f(1)f(4),f(2)f(2)，f(3)f(6)，f(4)f(1)，f(5)f(5)，f(6)f(3)，f(7)f(7)。这样排序后，第一步运算就构成蝶式运算的方式了。以后，为使后续运算也是蝶式的形式，第二，第三步等也要重新排序。其流程图如图3-18所示。图3-18 哈尔变换蝶式运算流程图一般说来，用蝶式快速算法需要log2N次比特倒置，2(N-1)加减法及N次乘法。采用蝶式流程算法的目的是使哈尔变换也能用FFT 处理机来运算。二维哈尔变换与二

5、维沃尔什哈达玛变换完全相似。其中只要把哈达玛矩阵换成哈尔矩阵就可以了。它的定义可用下式表示(3-181)其反变换式为(3-182)矩阵式定义如下二式所示（3-181）（3-182）二维哈尔变换的计算也可按一维方法进行。需要指出的一点是，由于哈尔矩阵不是对称矩阵，因此，二维哈尔正变换与逆变换也是不同的。3.5 3.5 斜矩阵与斜变换斜矩阵与斜变换 在图像处理中要用到的另一种正交变换是斜变换（Slant Transform）。斜向量和斜变换的概念是由伊诺莫托(Enomoto)和夏伊巴塔(Shibata)于1971年提出来的。后来关于斜变换的一般定义又由普拉特(Pratt)，W.K韦尔克(Welch

6、)和W.H.陈(Chen)进一步推导出来。已经证明，斜向量非常适合于表示灰度逐渐改变的图像信号。目前，斜变换已成功地应用于图像编码。3.5.1 3.5.1 斜矩阵的构成斜矩阵的构成 斜向量是一个在其范围内呈均匀阶梯下降的离散锯齿波形。N=4，阶梯高度为2的斜向量如图3-19所示。图3-19 N=4,阶梯为2的斜向量如果用S(n)来表示NN 斜矩阵，设N=2nn为正整数，则(3-185)对于N=22的斜矩阵可以写成下式(3-186)式中的a、b应满足下列两个条件：第一，阶梯高度必须均匀；第二，S(2)必须是正交的。由上述两个条件，我们可以求出a、b的值。首先，由阶梯高度必须均匀的条件，可有下式成立由此，S(2)可写成如下形式(3-187)其次，利用正交条件可求出b值。这样便求得斜矩阵如下(3-188)显然，S(2)也具有列率性质。S(2)的列率为0，1，2，2。S(2)也可以用S(1)来表示，因为(3-189)（3-191）(3-192)3.5.2 3.5.2 斜斜 变变 换换 用斜矩阵可定义变换的矩阵式如下(3-193)(3-194)斜变换也可以用快速算法来计算，下面以N4的情况来说明斜变换的快速算法。图3-20 斜变换快速算法流程图二维斜变换的矩阵式如下