概率论与随机过程2.4.pptx

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1、 在实际中，人们常常对在实际中，人们常常对随机变量的函数随机变量的函数更感兴趣更感兴趣.求截面面积求截面面积 A=的分布的分布.例如，已知圆轴截面直径例如，已知圆轴截面直径 d 的分布，的分布，引言又如已知又如已知t=t0 时刻噪声电压时刻噪声电压 V的分布，的分布，求功率求功率 W=V2/R (R为电阻）的分布等为电阻）的分布等.2.4 随机变量的函数的分布 这类问题的一般提法是：若X是随机变量，求Y=g(X)的分布(其中y=g(x)是x的一个实值函数)。为了求Y的分布，首先我们要理解Y是一个怎样的随机变量，设X是定义在样本空间=上的随机变量，那么Y=Y()=g(X()，由此可见Y亦是定义在

2、上的随机变量，它是经过g(.)与X(.)复合而成的。设X是离散型随机变量，则Y=g(X)一般也是离散型随机变量。此时，只需由X分布律求得Y的分布律即可。X -1 0 1 2 3 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 求(1)Y=X-1;(2)Y=-2X2的分布律.例:设离散型随机变量X的分布律为 一、离散型随机变量函数的分布解:由X的分布律可得下表 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10 X -1 0 1 2 3X-1 -2 -1 0 1 2-2X2 -2 0 -2 -8 -18由此可见(1)Y=X-1的所有可能取值为-2,-1,0,1,2-2,-1,0,1,2，

3、且 PY=-2=PX=-1=2/10;PY=-1=PX=0=1/10；PY=0=PX=1=1/10;PY=1=PX=2=3/10；PY=2=PX=3=3/10。故得Y=X-1的分布律为 Y -2 -1 0 1 2 P 2/10 1/10 1/10 3/10 3/10(2)Y=-2X2的所有可能取值为-18,-8,-2,0;-18,-8,-2,0;且PY=-18=PX=3=3/10;PY=-8=PX=2=3/10；PY=-2=PX=1+PX=-1=1/10+3/10=2/5;PY=0=PX=0=1/10；故得Y=-2X2的分布律为 Y -18 -8 -2 0 P 3/10 3/10 2/5 1/

4、10 一般地，我们先由X的取值xk，k=1，2，求出Y的取值yk=g(xk)，k=1，2如果诸yk都不相同，则由PY=yk=PX=xk可得 Y的分布律；如果诸yk中有某些取值相同，则把相应的X的取值 的概率相加。二、连续型随机变量函数的分布再由FY(y)进一步求出Y的概率密度 设X为连续型随机变量，具有概率密度fx(x)，又Y=g(X)，在大部分情况下Y也是连续型随机变量，若Y是连续型随机变量，考虑求出Y的概率分布。1一般方法 可先求出Y的分布函数FY(y)：因为FY(y)=PYy=Pg(X)y，设ly=x|g(x)y则例1:设随机变量X具有概率密度 求Y=2X+1的概率密度.解:先求Y的分布

5、函数 计算的关键在于确定积分区间ly，即解不等式g(x)y得出x的解区间ly。这种方法我们称之为分布函数法。当 1y9时，0 0(y-1)/24，当 y9时 FY(y)=1,由此可得Y的概率密度为 当 y1时，(y-1)/20时，有 于是得Y的概率密度为 例如：设XN(0，1)，其概率密度为 则Y=X2的概率密度为 此时称Y服从自由度为1的2分布。当函数y=g(x)y=g(x)可导且为严格单调函数时，我们有下面结果 设随机变量X具有概率密度fX(x)，又设函数g(g(x x)处处可导且恒有g(x)0(0(或恒有g(x)0的情况。此时g(x)在(-,+)严格单调增加，它的反函数h(y)存在，且在

6、(，)严格单调增加，可导，现在先来求Y的分布函数FY(y)。因为Y=g(X)在(，)取值，故当y时，FY(y)=PYy=0；当y时，FY(y)=PYy=1；当y0(或恒有g(x)0)，此时 若若g(x)0()=Acos0且有反函数 =h(v)=arcsin(V/A)=h(v)=arcsin(V/A)，又的概率密度为 于是，由公式：若在上题中在(0(0，)上服从均匀分布，因为此时v=g()=Asinv=g()=Asin在(0(0，)上不是单调函数，上述定理失效，此时方法如何？例4 设X在0,服从均匀分布，求：Y=sinX的分布函数FY(y).解：（1）（2）y=sinx在0,不单调，但可分为两单

7、调区间 （0,/2）(/2,)（3）求：FY(y)=PYy当0y1时：FY(y)=PsinX1,G(y)=1;对对y0,G(y)=0;由于由于对对0y1,G(y)=P(Y y)=P(F(X)y)=P(X (y)=F(y)=y即即Y的分布函数是的分布函数是求导得求导得Y的密度函数的密度函数可见可见,Y 服从服从0，1上的均匀分布上的均匀分布.例6:设分布函数F(x)为严格递增的分布函数，F-1(x)为F(x)的反函数，若X U(0，1),证明Y=F-1(X)的分布函数为F(y)。证明:设Y的分布函数为FY(y)，由分布函数的定义有 FY(y)=PY y=P F-1(X)y=P XF(y)=F(y)这个结论在随机模拟中具有基本的重要性。均匀分布可通过上述方法产生分布函数为F(x)的随机变量。