概率论与数理统计2习题课.ppt

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1、第二章第二章 随机变量的分布和数字特征随机变量的分布和数字特征习题课习题课1概率论与数理统计一、离散型随机变量一、离散型随机变量离散型随机变量离散型随机变量的的定义定义:取值有限个或可列无取值有限个或可列无穷穷多个多个.1.1.概率函数：概率函数：离散型随机变量离散型随机变量的的描述方式描述方式:2.2.分布函数：分布函数：3.3.两者之间的关系：两者之间的关系：离散型随机变量概率函数的性质：离散型随机变量概率函数的性质：（正定性）（正定性）（归一性）（归一性）2概率论与数理统计离散型随机变量函数的离散型随机变量函数的分布分布：已知离散型随机变量已知离散型随机变量 X的概率分布为的概率分布为则

2、其函数则其函数 的概率分布为的概率分布为 X PY=g(X)P如果如果g(xk)中有一些是相同的，把它们合并即可中有一些是相同的，把它们合并即可.3概率论与数理统计 9.9.如果如果 它是否能成为它是否能成为一个离散型随机变量的概率分布一个离散型随机变量的概率分布,为什么为什么?解解由微积分知识知，级由微积分知识知，级数数 收敛收敛,记记正定性：正定性：归一性：归一性：则当则当 时，时，是一个离散型随机变量的是一个离散型随机变量的概率函数概率函数.？4概率论与数理统计10、已知、已知求常数求常数C.解解泊松分布泊松分布5概率论与数理统计1.1.是非判断题是非判断题 可以充当某一离散型可以充当某

3、一离散型 随机变量的概率函数随机变量的概率函数.().()错错6概率论与数理统计袋中有袋中有2 2个黑球个黑球1 1个白球，有放回地抽取，直到抽到个白球，有放回地抽取，直到抽到 白球为止白球为止,但限取但限取3 3次次,取得黑球个数取得黑球个数X X的概率分布为的概率分布为()()错错7概率论与数理统计袋中有袋中有2 2个黑球个黑球1 1个白球，有放回地抽取，直到抽到个白球，有放回地抽取，直到抽到白球为止白球为止,但限取但限取3 3次次,求取得黑球个数求取得黑球个数X的概率分布的概率分布.解解 先确定先确定X的所有可能取值的所有可能取值取了一次，取到的是白球；取了一次，取到的是白球；取了两次，

4、第一次取到黑球，第二次取到白球；取了两次，第一次取到黑球，第二次取到白球；取了三次，前两次取到黑球，第三次取到白球；取了三次，前两次取到黑球，第三次取到白球；取了三次，都取的是黑球。取了三次，都取的是黑球。8概率论与数理统计袋中有袋中有2 2个黑球个黑球1 1个白球，有放回地抽取，直到抽到个白球，有放回地抽取，直到抽到 白球为止白球为止,但限取但限取3 3次次,取得黑球个数取得黑球个数X X的概率分布为的概率分布为()()错错9概率论与数理统计2.2.填空填空一批零件共有一批零件共有100100件件,其中有其中有5 5件次品件次品,从中抽取从中抽取2020件件,每次抽每次抽1 1次次,设设X表

5、示其中包含的次品数表示其中包含的次品数,若抽取后放回若抽取后放回,则则X的概率分布为的概率分布为 ；若抽取后不放回；若抽取后不放回,则则X的概的概率分布为率分布为 ；在有放回抽取的条件下；在有放回抽取的条件下,令令Y表示表示首首次摸到次品时试验的次数次摸到次品时试验的次数,则则Y的概率分布为的概率分布为 10概率论与数理统计解解 几何分布几何分布11概率论与数理统计设随机变量设随机变量X X的概率分布为的概率分布为则则X的分布函数的分布函数的分布函数的分布函数解解12概率论与数理统计在伯努利试验中在伯努利试验中,设成功的概率为设成功的概率为 以以X表示表示首次成功所需试验次数首次成功所需试验次

6、数,则则X取偶数的概率是取偶数的概率是解解13概率论与数理统计二、连续型随机变量二、连续型随机变量1.1.概率密度概率密度f(x)：描述方式描述方式:2.2.分布函数分布函数F(x)：3.3.二者之间的关系：二者之间的关系：定义定义:如果存在一个非负可积函数如果存在一个非负可积函数 f(x)使得使得则称则称X为连续型随机变量，称为连续型随机变量，称 f(x)为为X的概率密度的概率密度.14概率论与数理统计密度函数的性质：密度函数的性质：（正定性）（正定性）（归一性）（归一性）分布函数的性质：分布函数的性质：右连续性右连续性有界性有界性单调不减性单调不减性且且15概率论与数理统计连续型随机变量函

7、数的连续型随机变量函数的分布分布：已知连续型随机变量已知连续型随机变量 X的概率密度的概率密度 f(x)，其函数其函数 的概率密度有两种求法：的概率密度有两种求法：1.1.分布函数法分布函数法16概率论与数理统计2.2.公式法（公式法（定理定理2.12.1）(1)(1)定理的条件：定理的条件：g(x)单调可导，且导数恒不为零单调可导，且导数恒不为零;(2)(2)求求g(x)的值域的值域(a,b);(3)(3)求求g(x)的反函数的反函数h(y);(4)(4)求反函数的导数求反函数的导数 ；(5)(5)代入公式：代入公式：17概率论与数理统计14.能否作为概率密度函数？若能，求能否作为概率密度函

8、数？若能，求a的值；若不能，的值；若不能，说明理由。说明理由。解解但不能保证在但不能保证在 区间区间 上上 故故 f(x)不能作为概率密度函数。不能作为概率密度函数。18概率论与数理统计24.24.设随机变量设随机变量 确定确定a的值；求分布函数的值；求分布函数F(x).解解19概率论与数理统计当当 时时,当当 时时,当当 时时,20概率论与数理统计25.25.设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布函数的分布函数F(x)为为 确定系数确定系数A；计算；计算 求概率密度求概率密度 f(x).解解 在在 处连续处连续21概率论与数理统计22概率论与数理统计函数函数 可以作为某一连续可以作为某一连

9、续型随机变量的概率密度型随机变量的概率密度.().()1.1.是非判断题是非判断题对对23概率论与数理统计 X为连续型随机变量为连续型随机变量,f(x)是它的概率密度是它的概率密度,则必有则必有()()错错 连续型随机变量的概率密度函数是连续函数连续型随机变量的概率密度函数是连续函数.()()错错分布函数分布函数 24概率论与数理统计 设设 ，则分布，则分布 函数为函数为()()错错25概率论与数理统计 如果如果X的分布函数为的分布函数为F(x),),则对任意实数则对任意实数 有有()()错错对于连续型随机变量对于连续型随机变量对于离散型随机变量对于离散型随机变量26概率论与数理统计 设设X的

10、分布函数的分布函数 ，则，则()()连续型随机变量取任意值的概率为连续型随机变量取任意值的概率为0 0错错27概率论与数理统计设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为用用Y表示对表示对X的的3 3次独立重复观察中事件次独立重复观察中事件出现的次数出现的次数,则则解解2.2.填空填空于是于是28概率论与数理统计 设连续型随机变量设连续型随机变量X的分布函数为的分布函数为则则的概率密度的概率密度f(x)=.)=.解解29概率论与数理统计30概率论与数理统计设随机变量设随机变量X X服从服从(0,2)(0,2)上的均匀分布上的均匀分布,则随机变量则随机变量在在(0,4)(0,4)的概率密度函数

11、的概率密度函数解解所以当所以当 时时 在在(0,4)(0,4)内的单调递增，且导数恒不内的单调递增，且导数恒不为为0 0，可用公式法，可用公式法31概率论与数理统计三三.随机变量的数字特征随机变量的数字特征 数学期望的定义数学期望的定义式式：随机变量函随机变量函数的数学期望：数的数学期望：注注：变函数不变分布变函数不变分布32概率论与数理统计数学数学期望的性质期望的性质:1.E(c)=c 2.E(cX)=cEX5.E(X1+X2)=EX1+EX23.E(X+c)=EX+c4.E(aX+b)=aEX+b注：期望具有线性性质注：期望具有线性性质33概率论与数理统计方差的定义式：方差的定义式：方差的

12、性质：方差的性质：方差的计算公式：方差的计算公式：注：方差不具有线性性质注：方差不具有线性性质34概率论与数理统计42.42.随机变量随机变量X的密度函数为的密度函数为35概率论与数理统计43.43.设随机变量设随机变量X的分布函数的分布函数F(x)为为求求EX和和DX.解解 36概率论与数理统计37概率论与数理统计 设设X的概率密度为的概率密度为f(x),则则()()设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为1 1的泊松分布的泊松分布,则则Y=3X2的数学期望的数学期望EY=1,=1,方差方差DY=9.()=9.()1.1.是非判断题是非判断题错错对对38概率论与数理统计设设X服从指数分布服

13、从指数分布,且期望为且期望为10,10,则方差为则方差为100.100.()()设设X的期望的期望EX=1,=1,方差方差DX=9,=9,则则()()对对但但X不一定服从正态分布不一定服从正态分布错错39概率论与数理统计设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布函数为的分布函数为则则2.2.填空填空40概率论与数理统计解解X的概率分布为的概率分布为41概率论与数理统计 设设X表示表示1010次独立重复射击命中目标的次次独立重复射击命中目标的次数数,每次射中目标的概率为每次射中目标的概率为0.4,0.4,则则 的数学的数学期望期望解解42概率论与数理统计 设随机变量设随机变量X服从参数为服从参数为

14、 的泊松分布的泊松分布,且已知且已知 则则解解43概率论与数理统计 设设X服从参数为服从参数为1 1的指数分布的指数分布,则则解解44概率论与数理统计设连续型随机变量设连续型随机变量X的概率密度为的概率密度为则则X的数学期望为的数学期望为 X的方差为的方差为解解45概率论与数理统计趣例趣例 在澳门葡京大酒店在澳门葡京大酒店,赌博的人摩肩接踵赌博的人摩肩接踵.有一种有一种“押对子押对子”的规则如下：庄家从的规则如下：庄家从6 6付（每付付（每付5252张）张）扑克牌中随机抽取扑克牌中随机抽取2 2张，如果你下注了，当是对子张，如果你下注了，当是对子时，庄家赔十倍，否则输掉赌注。求下注时，庄家赔十

15、倍，否则输掉赌注。求下注100100元时，元时，你和庄家在每局中期望赢多少钱？你和庄家在每局中期望赢多少钱？解：解：取到对子的概率为取到对子的概率为获利为获利为X X，其可能取值为，其可能取值为10001000或或-100-100，期望为，期望为46概率论与数理统计 在商业活动中，风险无处不在。企在商业活动中，风险无处不在。企业家常常从期望值出发来分析风险，以业家常常从期望值出发来分析风险，以便作出正确的决策便作出正确的决策 有一家个体户，有资金一笔，如果经营有一家个体户，有资金一笔，如果经营西瓜，风险大但利润高西瓜，风险大但利润高(成功的概率为成功的概率为0.7，获利获利2000元元,失败则

16、赔钱失败则赔钱500元元)；如果经如果经营工艺品，风险小但获利少营工艺品，风险小但获利少(95会赚，利会赚，利润为润为1000元，失败则赔钱元，失败则赔钱300元元)究竟该究竟该如何决策？如何决策？趣例趣例47概率论与数理统计所以权衡下来，情愿所以权衡下来，情愿“搏一记搏一记”，去经营，去经营西瓜，因它的期望值高西瓜，因它的期望值高于是计算期望值：于是计算期望值：经营西瓜，期望值经营西瓜，期望值=20000.7+(-500)0.3=1250元元而经营工艺品期望值而经营工艺品期望值 10000.95+(-300)0.05935元元48概率论与数理统计趣例趣例(分赌本问题分赌本问题)1717世纪中

17、叶世纪中叶,一位赌徒向法国数学家帕斯卡一位赌徒向法国数学家帕斯卡(16231662)(16231662)提出一个使他苦恼长久的分赌本问题提出一个使他苦恼长久的分赌本问题:甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注5050法郎，每局中无法郎，每局中无平局。他们约定，谁先赢平局。他们约定，谁先赢3 3局，则得全部赌本局，则得全部赌本100100法郎。法郎。当甲赢了当甲赢了2 2局，乙赢了局，乙赢了1 1局时，因故要中止赌博，现问局时，因故要中止赌博，现问这这100100法郎如何分配才算公平？法郎如何分配才算公平？如果平均分配，对甲不公平；全部归甲，对乙不如果平均分配，对甲不公平；

18、全部归甲，对乙不公平；按比例分配甲多些比较合理。公平；按比例分配甲多些比较合理。如果甲分得如果甲分得100100法郎的法郎的2/32/3，乙分得，乙分得100100法郎的法郎的1/31/3，这是基于已赌局数，但未包括未来情况。，这是基于已赌局数，但未包括未来情况。49概率论与数理统计 帕斯卡仔细研究后，于帕斯卡仔细研究后，于16541654年提出如下分法：年提出如下分法：设想再赌下去，最多再赌设想再赌下去，最多再赌2 2局即可结束。情况为如局即可结束。情况为如下四种之一：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。两赌徒下四种之一：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。两赌徒赌技相同，故四种情况发生的概率均为赌技相同，故四种情

19、况发生的概率均为1/41/4。甲最。甲最终所得记为随机变量终所得记为随机变量X X，其可能取值为，其可能取值为0 0或或100100。有。有X 0 100X 0 100 P 0.25 0.75P 0.25 0.75EX=75EX=75甲的甲的期望期望所得为所得为7575法郎。法郎。这就是这就是“数学期望数学期望”这一名称的由来这一名称的由来。这一问题在概率这一问题在概率史上有非常重要史上有非常重要的地位的地位,人们把人们把16541654年年7 7月月2929日作日作为概率论的生日为概率论的生日.50概率论与数理统计趣例趣例 为普查某种疾病，需抽血检验。在为普查某种疾病，需抽血检验。在N N个

20、人的人群个人的人群中，每人的血分别检验，需检验中，每人的血分别检验，需检验N N次。一个统计学次。一个统计学家提出如下方法：按家提出如下方法：按k k个人一组进行分组，同组血个人一组进行分组，同组血样混合检验一次，若呈阴性，说明这样混合检验一次，若呈阴性，说明这k k个人都无此个人都无此种疾病，而平均每人只需检验种疾病，而平均每人只需检验1/k1/k次；若呈阳性，次；若呈阳性，说明这说明这k k个人至少有一人患此种疾病，个人至少有一人患此种疾病，再对这再对这 k k个人分别检验，则平均每人个人分别检验，则平均每人 需检验需检验1/k+11/k+1次。假设此种疾病的发病次。假设此种疾病的发病 率

21、为率为p p，且得此种疾病相互独立。问，且得此种疾病相互独立。问 此种方法能否减少平均检验次数？此种方法能否减少平均检验次数？51概率论与数理统计设设X X为每个人平均检验次数，则为每个人平均检验次数，则欲使欲使只需只需 比如当比如当p=0.01p=0.01时，取时，取1111人为一组，验血工作量人为一组，验血工作量可减少可减少80%80%。这正是美国二战期间大量征兵时，对。这正是美国二战期间大量征兵时，对新兵体检所采用的减少工作量的措施之一。新兵体检所采用的减少工作量的措施之一。52概率论与数理统计四四.几种重要的离散型分布几种重要的离散型分布1.1.两点分布两点分布0 10 1数学期望：数

22、学期望：方差方差:凡是只有两个可能结果的随机凡是只有两个可能结果的随机试验，都可用试验，都可用0-10-1分布来描述分布来描述应用场合应用场合:53概率论与数理统计2 2二项分布二项分布概率函数：概率函数：记号：记号：期望和方差：期望和方差：二项分布的计算方法二项分布的计算方法:1.1.直接查表法直接查表法2.2.变量转换法变量转换法3.3.泊松近似法泊松近似法:n和和p的取值都比较小；的取值都比较小；:p较大较大,n较小；较小；:n较大较大,p较小较小.54概率论与数理统计若若(n+1)p是整数，则是整数，则若若(n+1)p不是不是整数，则整数，则二项分布中二项分布中X的最大可能值：的最大可

23、能值：若若 为为X的最大可能值，则有的最大可能值，则有(n+1)p 和和(n+1)p 1 (n+1)p55概率论与数理统计3.3.泊松泊松(Poisson)(Poisson)分布分布查表查表(课本课本352352页页)概率函数：概率函数：记号：记号：期望和方差：期望和方差：泊松分布的计算方法泊松分布的计算方法:泊松分布的应用场合泊松分布的应用场合:排队问题排队问题56概率论与数理统计46.46.设每次投篮的命中率为设每次投篮的命中率为0.7,0.7,求投篮求投篮1010次恰有次恰有3 3次命次命中的概率中的概率;至少命中至少命中3 3次的概率次的概率.记记 则则解解 设设X表示表示1010次命

24、中的次数次命中的次数,则则57概率论与数理统计49.49.某机器生产的产品中有某机器生产的产品中有1/10001/1000是次品，求生产是次品，求生产800800件产品，次品不超过两件的概率。件产品，次品不超过两件的概率。由于由于n很大，很大，p很小，所以很小，所以X近似服从泊松分布，近似服从泊松分布，解解 设设X表示表示800800件产品中的次品数，则件产品中的次品数，则58概率论与数理统计 某射手射击命中率为某射手射击命中率为0.8,0.8,则他连射则他连射1313弹时最弹时最 可能命中可能命中1111弹弹.().()设设X表示表示1313弹中命中的弹数弹中命中的弹数,则则所以所以X的最大

25、可能值为的最大可能值为1111，即连射即连射1313弹时最可能命中弹时最可能命中1111弹弹.对对59概率论与数理统计 如果如果 当当 且且 较小时有较小时有()()5050件商品中有件商品中有5 5件次品件次品,从中任取从中任取4 4件件,则则4 4件中的件中的次品数服从超几何分布次品数服从超几何分布.().()对对对对60概率论与数理统计 设设 已知已知 则则解解于是于是61概率论与数理统计五五.几种重要的连续型分布几种重要的连续型分布1 1均匀分布均匀分布分布函数分布函数:密度函数密度函数:记号记号:62概率论与数理统计期望和方差期望和方差:X在在a,b内任何子区间上取值的概率与内任何子

26、区间上取值的概率与子区间的长度成正比，与子区间所处的位子区间的长度成正比，与子区间所处的位置无关置无关.均匀分布的特点：均匀分布的特点：均匀分布的应用场合均匀分布的应用场合:掷质点问题掷质点问题63概率论与数理统计指数分布指数分布分布函数分布函数:密度函数密度函数:记号记号:64概率论与数理统计期望和方差期望和方差:指数分布的应用场合：指数分布的应用场合：寿命分布寿命分布无记忆性（或无后效性）无记忆性（或无后效性）即元件以前曾经无故障使用的时间，不影响它以即元件以前曾经无故障使用的时间，不影响它以后的使用寿命。后的使用寿命。指数分布的特点：指数分布的特点：65概率论与数理统计记号：记号：X N

27、(,2)密度函数：密度函数：三正态分布三正态分布期望和方差：期望和方差：66概率论与数理统计标准正态分布：标准正态分布：标准正态分布的标准正态分布的期望和方差期望和方差:密度函数：密度函数：67概率论与数理统计标准正态分布的计算：标准正态分布的计算：（356356页表页表3 3）1 1密度函数值的计算密度函数值的计算68概率论与数理统计（358358页表页表4 4）2 2分布函数值的计算分布函数值的计算69概率论与数理统计一般正态分布的计算：一般正态分布的计算：.密度函数标准化密度函数标准化:2.2.分布函数标准化分布函数标准化:3.3.随机变量标准化随机变量标准化:正态分布的应用场合：正态分布的应用场合：非常广泛非常广泛70概率论与数理统计 设设 则则X的概率密度函数有性质的概率密度函数有性质 ()()设设 则则()()错错错错71概率论与数理统计 设设 则则 ()()设设 则则()()错错错错72概率论与数理统计 设随机变量设随机变量 且且 则则解解 于是于是73概率论与数理统计