余弦定理课件-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册.pptx

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1、6.4.3余弦定理、正弦定理（第1课时）朝阳区课程资源高一年级数学（第10课时）第一阶段第一阶段 推导余弦定理推导余弦定理环节一：提出解三角形问题环节一：提出解三角形问题引入情境引入情境：如图所示，设无法到达的两个山峰的顶点分别为 .其中，利用现代的测量工具可以测得地面上可到达的一点和其它任意一点的距离，也可以测得地面上可到达的一点和其它任意两点连线的夹角.那么我们如何获得 两点间的距离呢？在地面上任取一点 ，三点 可以构成一个三角形，然后借助三角形的边角关系来求解.通过测量，可以得到两边 的长度和 的大小.第一阶段第一阶段 推导余弦定理推导余弦定理环节一：提出解三角形问题环节一：提出解三角形

2、问题引入情境引入情境：如图所示，设无法到达的两个山峰的顶点分别为 .其中，利用现代的测量工具可以测得地面上可到达的一点和其它任意一点的距离，也可以测得地面上可到达的一点和其它任意两点连线的夹角.那么我们如何获得 两点间的距离呢？在地面上任取一点 ，三点 可以构成一个三角形，然后借助三角形的边角关系来求解.通过测量，可以得到两边 的长度和 的大小.【问题1】能否将这一问题进一步抽象成数学问题？引导语引导语：我们已经学习过用向量方法解决几何问题，通常要先用向量表示相应几何元素，通过向量运算研究其关系，并得到相应结论.【问题2】在 中，已知 和 ，求线段的 长度.第一阶段第一阶段 推导余弦定理推导余

3、弦定理环节二：用向量法解决解三角形问题问题环节二：用向量法解决解三角形问题问题引导语引导语：我们已经学习过用向量方法解决几何问题，通常要先用向量表示相应几何元素，通过向量运算研究其关系，并得到相应结论.【问题2】在 中，已知 和 ，求线段的 长度.探究活动探究活动1 1：请同学们以小组合作的形式，尝试回答下列问题：请同学们以小组合作的形式，尝试回答下列问题.第一阶段第一阶段 推导余弦定理推导余弦定理环节二：用向量法解决解三角形问题问题环节二：用向量法解决解三角形问题问题【问题2】在 中，已知 和 ，求线段的 长度.探究活动探究活动1 1：请同学们以小组合作的形式，尝试回答下列问题：请同学们以小

4、组合作的形式，尝试回答下列问题.追问1：画图并回答，如何用向量表示问题中的几何元素？追问2：几何问题中出现线段长度时，可以转化成向量的哪种运算？追问3：如何在向量运算中，运用已知量中的夹角？追问4：如何通过以上向量运算，解决这一几何问题？第一阶段第一阶段 推导余弦定理推导余弦定理环节二：用向量法解决解三角形问题问题环节二：用向量法解决解三角形问题问题【问题2】在 中，已知 和 ，求线段的 长度.探究活动探究活动1 1：请同学们以小组合作的形式，尝试回答下列问题：请同学们以小组合作的形式，尝试回答下列问题.追问1：画图并回答，如何用向量表示问题中的几何元素？第一阶段第一阶段 推导余弦定理推导余弦

5、定理环节二：用向量法解决解三角形问题问题环节二：用向量法解决解三角形问题问题【问题2】在 中，已知 和 ，求线段的 长度.追问2：几何问题中出现线段长度时，可以转化成向量的哪种运算？可以转换成向量的模，即线段的 长度为 的模，线段 的长度为 的模，线段 的长度为 的模，即 .第一阶段第一阶段 推导余弦定理推导余弦定理环节二：用向量法解决解三角形问题问题环节二：用向量法解决解三角形问题问题【问题2】在 中，已知 和 ，求线段的 长度.追问2：几何问题中出现线段长度时，可以转化成向量的哪种运算？可以转换成向量的模，即线段的 长度为 的模，线段 的长度为 的模，线段 的长度为 的模，即 .第一阶段第

6、一阶段 推导余弦定理推导余弦定理环节二：用向量法解决解三角形问题问题环节二：用向量法解决解三角形问题问题【问题2】在 中，已知 和 ，求线段的 长度.追问3：如何在向量运算中，运用已知量中的夹角？向量数量积运算涉及夹角，与 的夹角为 的补角，故 .为 和 的夹角，故 .第一阶段第一阶段 推导余弦定理推导余弦定理环节二：用向量法解决解三角形问题问题环节二：用向量法解决解三角形问题问题【问题2】在 中，已知 和 ，求线段的 长度.追问4：如何通过以上向量运算，解决这一几何问题？第一阶段第一阶段 推导余弦定理推导余弦定理环节二：用向量法解决解三角形问题问题环节二：用向量法解决解三角形问题问题【问题2

7、】在 中，已知 和 ，求线段的 长度.追问4：如何通过以上向量运算，解决这一几何问题？第一阶段第一阶段 推导余弦定理推导余弦定理环节二：用向量法解决解三角形问题问题环节二：用向量法解决解三角形问题问题【问题3】问题2中，已知量及未知量分别为三角形中的哪些元素？有何关系？第一阶段第一阶段 推导余弦定理推导余弦定理环节二：用向量法解决解三角形问题问题环节二：用向量法解决解三角形问题问题【问题2】在 中，已知 和 ，求线段的 长度.【问题3】问题2中，已知量及未知量分别为三角形中的哪些元素？有何关系？一般地，把三角形的三个角一般地，把三角形的三个角 和它们的对边和它们的对边 叫做三叫做三角形的元素角

8、形的元素.像这样，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫像这样，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形做解三角形.第一阶段第一阶段 推导余弦定理推导余弦定理环节二：用向量法解决解三角形问题问题环节二：用向量法解决解三角形问题问题【问题2】在 中，已知 和 ，求线段的 长度.引导语引导语：又可表示为 ，这就是余弦定理的内容.【问题4】能否用文字语言和符号语言表述余弦定理？第二阶段第二阶段 理解余弦定理理解余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理引导语引导语：又可表示为 ，这就是余弦定理的内容.【问题4】能否用文字语言和符号语言表述余弦定理？追问1：如图，你有

9、什么发现？追问2：用文字语言和符号语言分别表述定理？追问3：余弦定理的公式结构具有什么样的特征？第二阶段第二阶段 理解余弦定理理解余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理【问题4】能否用文字语言和符号语言表述余弦定理？追问1：如图，你有什么发现？第二阶段第二阶段 理解余弦定理理解余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理【问题4】能否用文字语言和符号语言表述余弦定理？追问2：用文字语言和符号语言分别表述定理？文字语言：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这文字语言：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的

10、积的两倍两边与它们夹角的余弦的积的两倍.符号语言：在符号语言：在 中，中，则：则：；第二阶段第二阶段 理解余弦定理理解余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理【问题4】能否用文字语言和符号语言表述余弦定理？追问3：余弦定理的公式结构具有什么样的特征？每一个等式都有四个量，即三条边和一个角；等式左侧为其中一边的平方；等式右侧为另外两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的2倍；其中左侧的边所对的角为等式右边的角.第二阶段第二阶段 理解余弦定理理解余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理探究活动探究活动2 2：小组讨论余弦定理在解三角形中有哪

11、些应用：小组讨论余弦定理在解三角形中有哪些应用.【问题5】余弦定理在三角形中可以解决哪些问题？【问题6】余弦定理和勾股定理之间有什么关系？第二阶段第二阶段 理解余弦定理理解余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理探究活动探究活动2 2：小组讨论余弦定理在解三角形中有哪些应用：小组讨论余弦定理在解三角形中有哪些应用.【问题5】余弦定理在三角形中可以解决哪些问题？追问1：余弦定理涉及几个元素？可以用于解决几类问题？追问2：结合三角形全等判定定理回答，何时三角形具有唯一确定性？利用手中工具验证一下.（三根定长吸管，及一个三角板）【问题6】余弦定理和勾股定理之间有什么关系？

12、追问1：若 不为直角，与 间又有什么关系？第二阶段第二阶段 理解余弦定理理解余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理【问题5】余弦定理在三角形中可以解决哪些问题？追问1：余弦定理涉及几个元素？可以用于解决几类问题？由余弦定理中有四个元素可知，可以进行知三推一，已知三边求角，或者已知两边一角求边.因此，余弦定理又有形式：；.第二阶段第二阶段 理解余弦定理理解余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理【问题5】余弦定理在三角形中可以解决哪些问题？追问2：结合三角形全等判定定理回答，何时三角形具有唯一确定性？利用手中工具验证一下.已知两边及其夹角

13、求第三边时，三角形唯一确定，与其有关的判定定理为 .已知三边求角时，三角形唯一确定，与其有关的判定定理为 .第二阶段第二阶段 理解余弦定理理解余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理【问题5】余弦定理在三角形中可以解决哪些问题？追问2：结合三角形全等判定定理回答，何时三角形具有唯一确定性？利用手中工具验证一下.在已知两边及其对角时，三角形可能不唯一，如图所示.第二阶段第二阶段 理解余弦定理理解余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理【问题6】余弦定理和勾股定理之间有什么关系？追问1：若 不为直角，与 间又有什么关系？第二阶段第二阶段 理解

14、余弦定理理解余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理【问题6】余弦定理和勾股定理之间有什么关系？追问1：若 不为直角，与 间又有什么关系？若为 直角，则 ，故 .因此，余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理也是余弦定理的特例.若 为锐角，则 ，根据 ,可知 若 为钝角，则 ，根据 ,可知 第二阶段第二阶段 理解余弦定理理解余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理环节三：归纳分析，得出余弦定理引导语引导语：引导语：请同学们解决下列问题，并验证探究2.第三阶段第三阶段 应用余弦定理应用余弦定理环节五：余弦定理，由探究到应用环节五：余弦定理，由探究到应用引导语引导语：引导语：请

15、同学们解决下列问题，并验证探究2.第三阶段第三阶段 应用余弦定理应用余弦定理环节五：余弦定理，由探究到应用环节五：余弦定理，由探究到应用引导语引导语：引导语：请同学们解决下列问题，并验证探究2.第三阶段第三阶段 应用余弦定理应用余弦定理环节五：余弦定理，由探究到应用环节五：余弦定理，由探究到应用引导语引导语：引导语：请同学们解决下列问题，并验证探究2.第三阶段第三阶段 应用余弦定理应用余弦定理环节五：余弦定理，由探究到应用环节五：余弦定理，由探究到应用引导语引导语：引导语：请同学们解决下列问题，并验证探究2.第三阶段第三阶段 应用余弦定理应用余弦定理环节五：余弦定理，由探究到应用环节五：余弦定

16、理，由探究到应用引导语引导语：引导语：请同学们解决下列问题，并验证探究2.第三阶段第三阶段 应用余弦定理应用余弦定理环节五：余弦定理，由探究到应用环节五：余弦定理，由探究到应用引导语引导语：引导语：请同学们解决下列问题，并验证探究2.第三阶段第三阶段 应用余弦定理应用余弦定理环节五：余弦定理，由探究到应用环节五：余弦定理，由探究到应用引导语引导语：引导语：请同学们解决下列问题，并验证探究2.第三阶段第三阶段 应用余弦定理应用余弦定理环节五：余弦定理，由探究到应用环节五：余弦定理，由探究到应用引导语引导语：引导语：请同学们解决下列问题，并验证探究2.第三阶段第三阶段 应用余弦定理应用余弦定理环节

17、五：余弦定理，由探究到应用环节五：余弦定理，由探究到应用引导语引导语：引导语：请同学们解决下列问题，并验证探究2.第三阶段第三阶段 应用余弦定理应用余弦定理环节五：余弦定理，由探究到应用环节五：余弦定理，由探究到应用引导语引导语：引导语：请同学们解决下列问题，并验证探究2.第三阶段第三阶段 应用余弦定理应用余弦定理环节五：余弦定理，由探究到应用环节五：余弦定理，由探究到应用引导语引导语：引导语：请同学们解决下列问题，并验证探究2.第三阶段第三阶段 应用余弦定理应用余弦定理环节五：余弦定理，由探究到应用环节五：余弦定理，由探究到应用引导语引导语：引导语：请同学们解决下列问题，并验证探究2.第三阶

18、段第三阶段 应用余弦定理应用余弦定理环节五：余弦定理，由探究到应用环节五：余弦定理，由探究到应用引导语引导语：引导语：请同学们解决下列问题，并验证探究2.第三阶段第三阶段 应用余弦定理应用余弦定理环节五：余弦定理，由探究到应用环节五：余弦定理，由探究到应用引导语引导语：引导语：请同学们解决下列问题，并验证探究2.第三阶段第三阶段 应用余弦定理应用余弦定理环节五：余弦定理，由探究到应用环节五：余弦定理，由探究到应用引导语引导语：引导语：请同学们解决下列问题，并验证探究2.第三阶段第三阶段 应用余弦定理应用余弦定理环节五：余弦定理，由探究到应用环节五：余弦定理，由探究到应用归纳小结归纳小结【问题7】本节课我们学习了哪些内容？你有哪些收获？