第2章控制系统建模.pptx

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1、第2章 控制系统建模建模的一般方法拉氏变换与传递函数动态结构图及其等效变换信号流图及梅逊公式数学模型数学模型：描述被控对象输入和输出之间量化关系的数学表达式静态数学模型静态数学模型：系统中各变量随时间变化缓慢，以至于它们对时间的变化率可以忽略不计（变量的各阶次导数为零）动态数学模型动态数学模型：描述变量各阶次导数之间关系的微分方程，其中各变量随时间的变化率不可以忽略（变量的各阶次导数不为零）建模建模：获得数学模型的过程经典控制的数学模型主要采用输入输出的描述方法（外部描述），现代控制则常用表示系统内部状态的变量描述（内部描述）不同的控制系统可能具有完全相同的数学模型，同一个物理系统也可以用不同

2、的数学模型表示。建模一旦完成，对控制系统的量化分析主要针对数学模型，而不再涉及实际系统的具体性质、特点。常用常用数学模型数学模型：微分方程（时域）、传递函数（复域）、频率特性（频域）、动态结构图与信号流图2.1微分方程建模的一般方法-机理分析法2.1.1 线性元件的微分方程建立元件微分方程的一般步骤是：确定元件的输入和输出变量。根据元件遵循的物理（或化学等）定律，列写相应的微分方程。消去中间变量。标准化，将与输入有关的各项放在等号的右边，与输出有关的各项放在左边，方程两边变量的导数按降幂次序排列。例2-1 建立如图所示的RLC无源电路的微分方程。其中ur(t)为输入，uc(t)为输出。解：设R

3、LC电路的回路电流为i(t)，由基尔霍夫定律可写出回路方程为例2-2 图示为弹簧-质量-阻尼器机械位移系统。建立质量m以外力F(t)为输入（重力不计），位移y(t)为输出的微分方程。解：根据牛顿第二定律有F1(t)为阻尼器的阻力；为阻尼器的阻力；F2(t)为弹簧的弹力。为弹簧的弹力。f为阻尼系数；为阻尼系数；k为弹性系数。为弹性系数。比较两式可以看出，RLC无源电路和弹簧-质量-阻尼器机械位移系统的微分方程结构相同，称这种具有相同微分方程结构的元件或系统为相似系统。相似系统揭示了不同物理现象间的相似关系，便于我们使用一个简单系统模型去研究与其相似的复杂系统。例2-3试列出图示电枢控制的他励直流

4、电动机的微分方程，电枢电压 ua(t)为输入，电动机转速m(t)为输出。其中Ra，La分别为电枢电路的电阻和电感；励磁磁通为常值。解：设电枢回路电流为ia，电压平衡方程为电枢电阻Ra电感LaEa是电枢反电势Ce是反电势系数电磁转矩方程为 Cm是电动机转矩系数，Mm(t)是电动机转矩。电动机轴上的转矩平衡方程为fm是电动机和负载折算到电动机轴上的粘性摩擦系数，Jm是电动机和负载折算到电动机轴上的转动惯量，Mc(t)是折合到电动机轴上的总负载转矩。消去中间变量ia(t)，Ea及Mm(t)，可得微分方程若La很小，可以忽略不计，则上式可以简化为Tm=Ra Jm/(Ra fm+Ce Cm)是电动机机电

5、时间常数，K1=Cm/(Ra fm+Ce Cm)，K2=Ra/(Ra fm+Ce Cm)是电动机传递系数。若Ra 和Jm 也忽略不计，则可简化为此时，电动机的输出转速m(t)与输入电枢电压ua(t)成正比，电动机可作为测速发电机使用。2.1.2 控制系统的微分方程控制系统是由若干元件组成的，所以可以分两步来建模：第一步先将系统分解为各个元件（环节），并写出它们的输入输出数学表达式；第二步再对各式联立，消去中间变量就可获得描述整个系统的输入输出关系的微分方程。例2-4建立图示速度控制系统的微分方程。参考输入为ui，输出是转速。解：控制系统由给定电位器、运算放大器1（比较作用）、运算放大器2（RC

6、校正网络）、功率放大器、直流电动机、测速发电机、减速器等元件构成。分别列写各元件的微分方程：速度控制系统原理图速度控制系统原理图运算放大器1：参考输入电压ui 和反馈电压ut 在此比较，产生偏差电压并进行放大，故有K1=R2/R1是运算放大器1的比例系数。运算放大器2：RC校正网络有K2=R2/R1是运算放大器2的比例系数，=R1C是微分时间常数。功率放大器：对晶闸管整流装置，若忽略控制电路的时间滞后，有K3为比例系数。直流电动机：根据上例可得Tm，Km，Kc，Mc是考虑减速机和负载后，折算到电动机轴上的等效值。减速机：设减速比为i，则有测速发电机：因为输出电压与转速成正比，故有 Kt为测速发

7、电机的比例系数。根据以上各式消去中间变量u1，u2，ua，ut，m，整理可得Tm=(i Tm+K1 K2 K3 Km Kt)/(i+K1 K2 K3 Km Kt)；Kg=K1 K2 K3 Km/(i+K1 K2 K3 Km Kt)；Kg=K1 K2 K3 Km/(i+K1 K2 K3 Km Kt)；Kc=Kc/(i+K1 K2 K3 Km Kt)。上式即为速度控制系统的微分方程，可用于研究给定电压为ui，或有负载扰动转矩Mc时，控制系统的动态性能。2.1.3 线性系统的基本特征能用线性微分方程描述的元件或系统，称为线性元件或线性系统。线性系统的重要特征就是满足叠加定理，即具有可叠加性和齐次行。

8、例如系统的线性微分方程为叠加性：设r(t)=r1(t)，输出解c(t)=c1(t)，当r(t)=r2(t)时，输出解为c(t)=c2(t)，易证上式满足叠加性，即当r(t)=r1(t)+r2(t)时，输出c(t)=c1(t)+c2(t)。这说明两个输入信号同时作用在控制系统所得到的输出，等于各个信号单独作用时得到的输出之和。齐次性：若r(t)=k r1(t)，k 为常数，易证上式的输出必为c(t)=k c1(t)。这说明参考输入增大若干倍时，系统输出将增大同样的倍数。叠加定理给线性系统的分析和设计带来了方便。如果有几个输入信号（如给定输入和扰动输入）同时作用于系统，可以将这些信号单独作用（其它

9、输入可以认为是零），分别求出相应的输出，再将这些输出叠加即得这些信号共同作用的输出解。此外，输入信号可以只取单位值1，实际输出只要乘以相应的倍数即可，从而简化了分析过程。2.1.4 非线性系统的线性化常用的线性化方法为小偏差法。考虑非线性函数：设工作点为A(x0,y0)，若离A的增量x充分小，以至于可用直线AC代替曲线AB，此时x与y成线性关系，这种线性关系与原非线性关系f(x)的误差取决于x，x越小，误差越小。将f(x)在x0附近展开成泰勒级数忽略x2及以上的高次项令y=y f(x0)，即可得在工程应用中，如果非线性微分方程中的变量只在某工作点的附近作微小变化，且非线性函数在工作点附近连续可

10、导，一般可采用线性化的方法。需要指出的是，因f(x0)会随x0的不同而变化，因此线性化后的微分方程，会随工作点的不同而改变。例2-5 设铁芯线圈电路如图(a)所示，铁芯线圈的磁通与线圈的电流i的关系如图(b)所示，建立以ur 为输入，i 为输出的微分方程模型。线性化方程性化方程解：线圈的感应电动势为电压回路方程为由图(b)知，d(i)/di是电流i 的非线性函数，将(i)在i0处展开为略去高阶导数项有令，并略去可得上式代入电压回路方程，得铁芯线圈在工作点i0的增量线性化微分方程为2.2 拉氏变换与传递函数拉氏变换的定义及相关性质、定理用拉氏变换求解微分方程传递函数定义、性质及典型环节的传递函数

11、2.2.1 拉氏变换的定义对函数f(t)，t 为实变量，如果线性积分（s=+j为复变量）存在，则称其为函数f(t)的拉氏变换。变换后的函数将是复变量s 的函数，一般记为F(s)，或L Lf(t)，即通常称F(s)为f(t)的象函数，而f(t)为F(s)的原函数。相应的定义拉氏逆变换为拉氏拉氏变换拉氏逆拉氏逆变换2.2.2 拉氏变换的性质与定理1.线性性质f 1(t)和f 2(t)的拉氏变换分别为 F1(s)和F2(s)，a，b 为常数2.微分定理f(0)，f(0)，f(n-1)(0)为函数 f(t)及其各阶导数在 t=0时的值。当f(0)=f(0)=f(n-1)(0)=0时，则有3.积分定理f

12、(-1)(0)，f(-2)(0)，f(-n)(0)为函数 f(t)及其各重积分在 t=0时的值。当f(-1)(0)=f(-2)(0)=f(-n)(0)=0时，则有4.终值定理如果 L f(t)=F(s)，且 sF(s)的所有极点全在 s 平面的左半部，即 sF(s)在 s 的右半平面及虚轴上解析，则有5.初值定理如果L f(t)=F(s)，并且存在，则有6.位移定理应用用时要要 注意条件注意条件2.2.3 用拉氏变换求解微分方程用拉氏变换求解微分方程是工程中常用的方法，具体求解的步骤如下：对微分方程中的各项做拉氏变换（要注意各变量的初值），将微分方程转化为以复数s 为变量的代数方程。根据上一步

13、得到的代数方程解出系统输出的拉氏变换表达式。对系统输出的拉氏变换表达式进行拉氏逆变换，即可得到微分方程的解。设系统输出的拉氏变换为C(s)，其表达式一般为a1，a2，an 和b0，b1，b2，bm 均为常实数，m，n为正整数，且有m n对C(s)的分母多项式作因式分解A(s)=(s-s1)(s-s2)(s-sn)s1，s2，sn为方程A(s)=0的根，即C(s)的极点（1）A(s)=0无重根。展开为部分分式之和di 是待定常数，称为C(s)在极点 si 处的留数取拉氏逆变换得输出的解为（2）A(s)=0有重根。设s1为m 重根，sm+1，sm+2，sn 为单根，将C(s)展开为d1，dm 可根

14、据下式确定：取拉氏逆变换得输出的解为例2-6 设定常微分方程为输入为单位阶跃函数，即u(t)=1(t)，初始条件为y(0)=-1，y(0)=2，求微分方程的解。解：先对微分方程的各项进行拉氏变换可得代入初始条件求得令s(s2+3s+2)=0，得方程的根为：s1=0，s2=-1，s3=-2，没有重根，故Y(s)用部分分式可展开为取拉氏逆变换可得微分方程的解为2.2.4 传递函数的定义与性质1.传递函数的定义定义：控制系统的传递函数G(s)是线性定常系统在零初始条件下，输出c(t)的拉氏变换C(s)与输入r(t)的拉氏变换R(s)之比。传递函数可以有量纲和单位，即输出变量的单位与输入变量的单位之比

15、。线性定常系统零初始条件下拉氏变换为故其传递函数为例2-8 求出RLC电路的传递函数G(s)=Uc(s)/Ur(s)，已知其微分方程为解：在零初始条件下对微分方程取拉氏变换可得根据定义，传递函数为2.传递函数的性质主要性质：（1）传递函数只适用于线性定常系统，是线性定常系统的复数域数学模型，它与时间域的数学模型线性定常微分方程一一对应，各个系数对应相等。（2）传递函数表示系统传递、变换输入信号的能力，反映系统本身的性能，由传递函数自身的结构和参数决定，与输入信号的形式无关。（3）传递函数通常是复变量s 的有理分式，所有系数均为实数，其分子多项式的次数m 小于等于分母多项式的次数n，即m n。这

16、主要是因为实际可物理实现的系统或元件通常具有惯性及能源有限的缘故。（4）传递函数是系统的外部描述，不能反映系统内部物理结构的信息，故不同的物理系统是可以具有相同形式传递函数的；另一方面，对同一系统，如果取不同的物理量作输入或输出时，其传递函数也不相同。（5）传递函数的拉氏逆变换是输入为单位脉冲函数(t)时的响应c(t)，即脉冲响应。因为此时有R(s)=1，而c(t)=L-1C(s)=L-1G(s)R(s)=L-1G(s)。3.传递函数的零极点表示形式传递函数的分母多项式等于零（A(s)=0）即是系统的特征方程式，它的最高次数n 就是系统的阶数。特征方程A(s)=0的根p1，p2，pn 称为传递

17、函数的极点；分子多项式等于零（B(s)=0）得到的根z1，z2，zm 称为传递函数的零点。因为分子、分母多项式的系数都是实数，故传递函数若具有复数的极、零点，它们必然是共轭出现的。Kr 称为根增益或根放大系数。零、极点对控制系统性能有极大的影响，常用零极点分布图表示，在复平面用符号“”标示零点的位置，用符号“”标示极点的位置。任一传递函数必有零极点分布图与之对应，故零极点分布图也可表征系统的动态特性。如传递函数其零极点分布图2.2.5 典型环节的传递函数根据动态特性或传递函数的异同对系统分类，归纳出几种基本类型，称为典型环节。元件不论是机械式、电气式或液压式，只要数学模型形式相同就是同一种环节

18、，其动态特性也基本相似，故掌握典型环节有利于分析和设计控制系统。1.比例环节比例环节又称放大环节或无惯性环节，是指输出量与输入量成比例的环节。其时域数学模型为传递函数为 K 称为比例系数、放大系数或增益系数。大多数控制系统中都有比例环节，如电阻电路、没有间隙的齿轮传动系、刚性杠杆、分压器、理想放大器及测速发电机的电压和转速关系都可视为比例环节。2.惯性环节惯性环节又称非周期环节，其输出量与输入量之间的关系用微分方程可表示为n由于惯性环节是用一阶微分方程描述的，故也称一阶系统，其传递函数为 T 称为惯性环节的时间常数，可以用来衡量惯性的大小。n惯性环节有一个极点p=-1/T。惯性环节一般至少含有

19、一个储能元件。一阶RC 低通滤波电路就是最典型的惯性环节，在一定条件下，许多高阶系统也可近似为惯性环节。3.积分环节积分环节的输出量与输入量的积分成正比。其时域数学模型为 T 为积分时间常数，当输入信号变为零后，积分环节的输出信号将保持输入信号变为零时刻的值不变，具有记忆功能。其传递函数为积分环节有一个p=0的极点。实际系统中的积分环节都是在近似条件下得到的，如忽略饱和特性及惯性因素，运算放大器构成的积分器就是一个积分环节。4.微分环节(理想微分环节、实际微分环节)1）理想微分环节输出量与输入量的变化率成正比，用微分方程可表示为 为微分时间常数微分是积分的逆运算，其传递函数为微分环节有一个z=

20、0的零点。2）实用微分环节理想微分环节往往因惯性的存在而难于实现，工程中常采用实用微分环节来代替为传递函数为实用微分环节有一个p=-1/的极点和一个z=0的零点。特点：微分环节的输出量与输入信号的微分有关，所以它可以预示输入信号的变化趋势。5.振荡环节（二阶系统）可用二阶微分方程描述为传递函数为T 为时间常数；为阻尼系数（也称阻尼比）。令 n=1/T n为无阻尼自然振荡频率当0 1时，有一对共轭的复数极点特点：环节中有两个储能元件，当受到输入信号作用时，能量会在两个储能元件之间交换并形成振荡。6.延迟环节延迟环节又称滞后环节，时域模型可表示为 为延迟时间常数传递函数为它是s 的超越函数，可线性

21、化为特点：输出信号与输入信号形状完全相同，只是输出要经过一段时间才能复现输入信号。一些液压、气动或机械传动系统及各种工业炉中都会有延迟环节。以上是控制系统最基本的六个典型环节，有时为了便于分析，也将一阶微分环节、二阶微分环节看作典型环节。7.一阶微分环节8.二阶微分环节要强调的是：典型环节是按数学模型区分的，不同于元件、装置或系统。一个元件的数学模型可能若干典型环节组成，若干元件也可能只构成一个典型环节。传递函数可以用典型环节来表示，即系统的传递函数可以写成典型环节乘积的形式，以后的分析中会常用到这种表示。例如，一个系统的传递函数为它是由以上典型环节相乘构成的。1.一个比例环节 K=52.一个

22、一阶微分环节 2s+l3.一个积分环节 1/s4.一个惯性环节 1/(s+1)5.一个振荡环节 1/(s2+s+1)2.3 控制系统的动态结构图结构图的组成及绘制等效变换及化简闭环系统的传递函数2.3.1 动态结构图的组成及绘制动态结构图（结构图、方框图）是用来描述系统中各环节之间信号传递关系的数学图形，表示了各环节之间的因果关系以及对各变量所进行的运算，是描述复杂控制系统结构的简便方法。根据动态结构图的等效变换规则可以化简一个复杂的控制系统，求出控制系统的传递函数。2.3.1 动态结构图的组成及绘制1）信号线带箭头的直线或折线，箭头表示信号的流向，线旁标记信号的拉氏变换即象函数2）函数方框框

23、内为对应的传递函数，两侧为输入、输出信号线。3）比较点也称综合点，表示对输入信号进行加减运算，输出信号等于各输入信号的代数和。“”表示相加（可省略），“”表示相减，不能省略。4）引出点也称分支点，表示信号的引出位置或测量位置，从同一点引出的信号，其大小和性质与原信号完全相同绘制系统动态结构图的步骤：划分系统为各典型环节的组合形式，求得各环节的传递函数。画出各环节的函数方框，标出引出点、比较点及信号箭头。按信号的流向连接各函数方框。注意：n图中的信号只能沿箭头方向单向流动，无负载效应；n环节划分要注意单向性原则，即每个环节只有输入到输出的作用，没有输出到输入的反作用；前后两个环节之间，前者的输出

24、决定后者的输入，后者的输入对前者的输出亦无反作用；n对不可忽略的反作用，可用反馈连接的方式实现。例2-9 图示为RC 滤波网络，其中电压U1(s)为系统的输入，电压U2(s)为系统的输出，试绘制该系统的动态结构图。解：电阻是比例环节，电容是微分环节，因此将该电路划分为两个比例环节和两个微分环节。由于电路网络中负载效应不可忽略，因此利用反馈连接来实现。建立各元件的微分方程，分别求出四个典型环节的传递函数传递函数对应4个函数方框；方程中间项分母的变量相减对应着比较点。画上式所对应的动态结构图时，一般按从输入到输出对应从左到右的顺序。按信号流向连接函数方框、比较点、引出点，则得动态结构图2.3.2

25、动态结构图的等效变换及化简等效变换原则是指化简前后两个变量之间的数学关系即传递函数不变，而这两个变量之间内部的结构和中间变量可以按等效原则进行变化。1.环节的串联若干环节的串联可用一个等效环节代替，其传递函数为各环节传递函数之积。2.环节的并联特点：各环节的输入信号相同，系统的输出信号等于各环节输出信号的代数和。3.反馈连接由图可得4.比较点和引出点的移动1）比较点前移、后移前移在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框;后移在移动支路中串入所越过的传递函数方框。2）引出点前移、后移前移在移动支路中串入所越过的传递函数方框;后移在移动支路中串入所越过的传递函数倒数方框。3）相邻比较点之间移动对

26、于相邻的多个比较点来说，由于其运算为加、减法，满足交换率，故这些比较点可任意交换位置。4）相邻引出点之间移动同一条信号线上的信号是完全相同的，因此同一条信号线上的所有引出点可任意改变位置，而不会影响输入输出关系。注意：相邻引出点和比较点之间不能互换注意：相邻引出点和比较点之间不能互换!系统动态结构图的化简以及求系统传递函数的一般步骤为确定输入信号和输出信号。如果有多个输入信号作用在系统上，则应分别对输入信号进行结构图化简，求出各个传递函数。对于有多个输出信号的系统，亦如此。利用移动规则消除交叉连接。如果在结构图中有交叉连接，则可以运用相关移动规则，将系统等效变换为无交叉的回路系统。对于多回路结

27、构，可由里向外进行等效变换，直至化简为只有一个函数方框的等效结构图，即可得到所求的传递函数。例2-10 化简图示的系统动态结构图，并求出其传递函数。2.3.3 闭环系统的传递函数1.闭环系统的开环传递函数定义为将反馈环节H(s)的输出端断开的前向通路传递函数2.输入作用下系统的闭环传递函数令n(t)=03.扰动作用下系统的闭环传递函数令r(t)=04.系统的总输出由叠加定理5.输入作用下系统的偏差闭环传递函数令n(t)=0，r(t)为输入，er(t)为输出6.扰动作用下系统的偏差闭环传递函数令r(t)=0，n(t)为输入，en(t)为输出7.系统的总偏差根据线性系统的叠加定理比较以上各式可知，

28、这些闭环传递函数的分母相同，即具有相同的闭环特征多项式1+G1(s)G2(s)H(s)，方程1+G1(s)G2(s)H(s)=0称为闭环系统的特征方程，故也具有相同的特征方程，这是闭环系统的本质特征。2.4 信号流图及梅逊公式信号流图的基本要素信号流图的术语、性质及绘制等效变换梅逊公式2.4.1 信号流图的基本要素信号流图是由节点和支路组成的一种信号传递网络。其基本要素有：1）节点节点代表系统中的变量或信号，用小圆圈表示。2）支路支路则是连接两个节点的定向线段，用带箭头的线表示。3）支路增益支路增益表示变量的因果关系，即从支路一端沿箭头方向传送到另一端的函数关系，并用标在支路旁的函数表示。a

29、a2.4.2 信号流图的术语、性质及绘制1.信号流图的术语1）输入节点输入节点也叫源节点，这种节点只有输出支路，对应自变量或外输入。2）输出节点输出的节点也叫汇节点或阱点，这种节点只有输入支路，一般对应输出变量。3）混合节点既有输入支路又有输出支路的节点，就称混合节点。4）通路通路也称路径，是沿支路的箭头方向相继经过多个节点的支路，一个信号流图可以有很多通路。5）开通路是指从某节点开始，终止于另一节点且只经过通路中每个节点一次的通路。6）闭通路闭通路也称回路，是指从某节点开始，终止于同一节点，且只经过通路中每个节点一次的通路。7）不接触回路是指没有任何公共节点的一些回路。8）支路增益、通路增益

30、与回路增益支路增益是指两节点间的增益；通路增益与回路增益分别是指通路与回路中各支路增益的乘积。9）前向通路信号从输入节点到输出节点传递时，每个节点只通过一次的通路，叫做前向通路。在前向通路中，各支路增益的乘积就称为前向通路增益。x0为输入节点，x6为输出节点，x1、x2、x3、x4、x5为混合节点。abcdej 为前向通路，abcde 和fghi 是通路，ai 不是通路，因为两条支路的方向不一致，无法相继经过各节点，abi 也不是通路，因为两次经过节点x1，bi 是闭通路（回路），而bchi 不是闭通路，因为两次经过节点x2。图中共有四个回路，即bi、ch、dg和ef，有三组两两不相接触的回路

31、即bi-ef，bi-dg和ch-ef，没有三个及以上不相接触的回路。2.信号流图的性质（1）节点表示系统的变量。自左向右顺序设置，是所有流向该节点的信号之代数和，同一节点流出的信号均可用该节点的变量表示。（2）支路表示的是一个信号对另一个信号的函数关系，相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路增益而变换为另一信号。（3）信号只能沿支路上的箭头单向传递，即只有前因后果的因果关系。（4）信号流图不是唯一的。由于描述同一个系统的方程可以写成不同的形式，且设置的变量可能不同，所以可以画出许多不同的信号流图。（5）信号流图只适用于线性系统。这与结构图是不同的，结构图可用于非线性系统。注意：节点能起到结构

32、图中比较点和引出点的作用，但节点一般不标注“-”号，若有负号可标注在支路增益上；具有输入和输出节点的混合节点，通过增加一个具有单位增益的支路可以把它作为输出节点来处理。3.绘制信号流图1）根据系统微分方程绘制信号流图先对系统的每个变量指定一个节点，并按照系统中变量的因果关系，从左向右顺序排列；然后根据标明增益的支路及代数方程组将各节点变量正确连接，便可得到系统信号流图。例2-12 试绘制RC 滤波网络的信号流图，已知电路的初态为零。解：由例2-9建立的s 的代数方程，按照因果关系重新排列可得对变量U1(s)，U1(s)-U3(s)，I1(s)，I1(s)-I2(s)，U3(s)，U3(s)-U

33、2(s)，I2(s)，U2(s)分别设置八个节点并自左至右排列，按照上面方程组中各变量的因果关系，用相应增益的支路将各节点连接起来，即可得RC滤波网络的信号流图如果系统的初始状态不为零，则可将初始状态的拉氏变换视为变量用节点表示，仍可画出其信号流图，这在结构图中是无法实现的。2）根据结构图绘制信号流图n结构图的信号线用节点表示；n用标有传递函数的有向线段代替结构图中的方框，便可得到支路；引出引出为输出节点为输出节点“-”号标注在支路增益上号标注在支路增益上根据结构图绘制信号流图时，应尽量精简节点的数目。例如支路增益为1的相邻两个节点可合并为一个节点，但源节点或汇节点却不能合并掉。结构图结构图信

34、号流图信号流图变量变量传递传递比较点比较点变为变为混合节混合节点点G(s)1G(s)例2-13试绘制图示的结构图对应的信号流图。解：在结构图的信号线上分别用小圆圈标注变量对应的节点，将各节点按原来顺序自左向右排列，连接各节点的支路与结构图中的方框相对应，即将结构图中的方框用具有相应增益的支路代替，并连接有关的节点，便得到系统的信号流图。2.4.3 信号流图的等效变换与结构图类似，利用信号流图的等效变换也可以使其简化2.4.4 梅逊公式称为特征式=1-Li+LiLj-LiLjLk+Li-系统中各个回路的增益之和；LiLj-系统中每两个互不接触的回路增益乘积之和；LiLjLk-系统中所有三个互不接

35、触回路增益的乘积之和；Pk-从输入端到输出端的第k条前向通路的传递函数；k-与第k条前向通路不接触回路的值。不接触回路指没有共同节点的回路，反之称为接触回路。与第k条前向通路没有共同节点的回路称为与第k条前向通路不接触的回路，式中k也称为Pk的特征余子式。根据梅逊公式计算系统的传递函数时，首要问题是正确区别所有的回路并区分它们是否相互接触，其次是正确识别所规定的输入与输出节点之间的所有前向通路及与其不接触的回路。例2-14图示是某系统的信号流图，利用梅逊公式求其传递函数。解：由图可知此系统共有两条前向通路，即n=2，其增益分别为P1=abcd 和P2=fd。共有三个回路，即L1=be，L2=-abcdg，L3=-fdg，因此 Li=L1+L2+L3。3个回路中只有L1与L3互不接触，L2与L1及L3都接触，故 LiLj=L1 L3，系统中没有3个及以上互不接触回路。由此得系统的特征式为=1-Li+LiLj=1-(L1+L2+L3)+L1 L3=1-be+abcdg+fdg-befdg与P1前向通路相接触的回路为L1、L2、L3，因此在中除去L1、L2、L3可得P1的特征余子式1=1。与P2前向通路相接触的回路为L2、L3，因此在中除去L2、L3得P2的特征余子式2=1-be。则根据梅逊公式可得系统的传递函数为