微积分4224462609.ppt

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1、微积分微积分4224462609上学期内容上学期内容:一元函数的微分，积分一元函数的微分，积分下学期内容下学期内容1.1.多元（主要是二元函数）函数的微分，积分多元（主要是二元函数）函数的微分，积分2.2.无穷级数无穷级数3.3.常微分方程常微分方程多元微积分的教学方法要多注意使用科多元微积分的教学方法要多注意使用科学研究法中的类比和推广方式学研究法中的类比和推广方式,要引导学要引导学生掌握这类科研方法生掌握这类科研方法!7.1 7.1 多元函数的极限与连续多元函数的极限与连续7.1.2 7.1.2 二维二维平面平面R R2 2与与n n维空间维空间R Rn n的几种点集的几种点集7.1.1

2、7.1.1 多元函数的概念多元函数的概念7.1.4 7.1.4 多元函数的连续性多元函数的连续性7.1.3 7.1.3 多元函数的极限多元函数的极限例例 圆柱体的体积圆柱体的体积V和它的底半径和它的底半径r,高高h之间之间的的显然显然,r，h的变化导致的变化导致V的变化的变化.称称 V为两个变量为两个变量r，h的函数的函数.(.(多了一个多了一个自变量自变量)关系是关系是7.1.1 多元函数的概念多元函数的概念本章的学习方法本章的学习方法:和一元函数和一元函数对比学习对比学习,注意其相同与不同注意其相同与不同因变量因变量自变量自变量一元函数对应法则对应法则使算式有意义的一切实数的数集称为使算式

3、有意义的一切实数的数集称为定义域定义域一切函数值的数集称为一切函数值的数集称为值域值域回忆则称则称z是是x,y的的二元函数二元函数.定义定义设变量设变量z与变量与变量x,y之间有一个之间有一个对应法则对应法则按着这个按着这个法则法则有确定的有确定的z值与之对应值与之对应,记为记为二元函数z因变量因变量x,y自变量自变量对应法则对应法则使算式有意义的一切集使算式有意义的一切集x,y组成的称为组成的称为定义域定义域,一切函数值的数集称为一切函数值的数集称为值域值域记为记为D思考思考:三元函数的定义怎么描述三元函数的定义怎么描述?二元及二元以上二元及二元以上的函的函数统称为数统称为记为记为或或(3)

4、(3)类似类似,可定义可定义n元函数元函数.多元函数多元函数.(2)取定一个点取定一个点说明说明(1)任意任意x,y,对应平面上的一点对应平面上的一点P,所以二元函数所以二元函数也叫点函数也叫点函数,也记为也记为其对应的函数值其对应的函数值二元函数二元函数二元二元(隐隐)函数函数三三元函数元函数解解例例解解有界半开半闭区域有界半开半闭区域例例 求下面函数的定义域求下面函数的定义域oxy2 2无界闭区域无界闭区域3 3有界闭区域有界闭区域oxyz一元函数一元函数其定义域是其定义域是x轴上的点集轴上的点集(通常是区间通常是区间)二元函数二元函数其定义域是其定义域是x,y平面上的点集平面上的点集(通

5、常是平面区域通常是平面区域)三元函数三元函数其定义域是其定义域是x,y,z空间上的点集空间上的点集(通常是空间区域通常是空间区域)一元函数的图形一元函数的图形一元函数的图形是平面上的一元函数的图形是平面上的一条曲线一条曲线回忆 二元函数的图形是二元函数的图形是空间的空间的一张曲面一张曲面二元函数的图形二元函数的图形例例上半球面上半球面下半个圆锥面下半个圆锥面2D例如例如,图形如右图图形如右图.例如例如,左图球面左图球面.单值分支单值分支:从一元函数到二元函数从一元函数到二元函数,在内容和方法上在内容和方法上,都会出现一些都会出现一些实质性的差别实质性的差别,而多元函数之间而多元函数之间差异不大

6、差异不大.因此研究多元函数时因此研究多元函数时,将将以二元函数为主以二元函数为主.说明说明一维数轴上的邻域一维数轴上的邻域:7.1.2 二维二维平面平面R2与与n维空间维空间Rn的几种点集的几种点集回忆说明说明本章的学习方法本章的学习方法:和一元函数和一元函数对比学习对比学习,注意其相同与不同注意其相同与不同（1）平面上的邻域平面上的邻域（2）区域区域例如，例如，即为开集即为开集例如，例如，内点一定是聚点；内点一定是聚点；边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；例例(0,0)(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点说明说明 点集点集E E的聚点可以属于的聚点可以属于E E，也可以不属于，也可

7、以不属于E E例例(0,0)(0,0)是是聚点但不属于集合聚点但不属于集合例例边界上的点都是边界上的点都是聚点也都属于集合聚点也都属于集合连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域例如例如，例如，例如，有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域例如，例如，Oxy 有界开区域有界开区域有界半开半闭区域有界半开半闭区域有界闭区域有界闭区域无界闭区域无界闭区域开区间开区间闭区间闭区间半开区间半开区间无限区间无限区间思考思考数轴上下列区间的概念数轴上下列区间的概念对应对应平面上平面上的什么点集的什么点集?整个平面区域记为整个平面区域记为（3）n维空间维空间 n维空间的记号为维空间的记号为说

8、明：说明：说明：说明：n维空间中两点间距离公式维空间中两点间距离公式(自学自学)n维空间中邻域、区域等概念维空间中邻域、区域等概念 特殊地当特殊地当 时，便为数轴、平面、时，便为数轴、平面、空间两点间的距离空间两点间的距离内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义邻域：邻域：设两点为设两点为一元函数极限的直观定义一元函数极限的直观定义无限接近无限接近某一常数某一常数 A.记作记作如果当如果当x无限靠近无限靠近 时时 二元函数极限的直观定义二元函数极限的直观定义无限接近无限接近某一常数某一常数 A.记作记作如果当如果当P无限靠近无限靠近 时时 7.1.3 多元函

9、数的极限多元函数的极限回忆一元函数极限的严格定义一元函数极限的严格定义回忆记作记作定义定义有有成立成立.的极限，的极限，设二元函数设二元函数 P0(x0,y0)是是D的聚点的聚点.的定义域为的定义域为D,如果存在常数如果存在常数 A,或或或或或或二元函数极限二元函数极限(二重极限二重极限)的严格定义的严格定义(1)(1)讨论讨论研究的研究的是是时函数的变化趋势时函数的变化趋势不研究不研究点处的状态，点处的状态，所以函数可能在所以函数可能在点没有定义点没有定义。说明说明Oxy(2)P(x,y)趋向于趋向于P0(x0,y0)的的路径也有多种多样路径也有多种多样.方向有任意多个方向有任意多个,Oxy

10、与一元函数不同与一元函数不同（4 4）二元函数的极限有与一元函数的极限类似的）二元函数的极限有与一元函数的极限类似的 四则运算四则运算，夹逼准则夹逼准则，等价无穷小替换等价无穷小替换，无穷小无穷小乘有界量为无穷小乘有界量为无穷小等结论，等结论，但但不能用洛必达法则不能用洛必达法则.(5)(5)确定极限确定极限不存在不存在的方法的方法则可断言极限不存在则可断言极限不存在;若极限值与若极限值与 k 有关有关,此时也可断言极限不存在。此时也可断言极限不存在。找两种不同趋近方式找两种不同趋近方式,但两者不相等但两者不相等,存在存在,沿与沿与k 有关的路径有关的路径例例1 1 求求 解解:例例2 2 求

11、极限求极限 解解例例3 3 所以所以极限不存在极限不存在.取取极限极限 是否存在是否存在？解解1其值随其值随k的不同而变化的不同而变化，例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证取取错错 关于二元函数的极限概念可关于二元函数的极限概念可相应地推广到相应地推广到n元函数上去元函数上去.其值随其值随k的不同而变化的不同而变化，所以所以极限不存在极限不存在.计算二重极限的方法：计算二重极限的方法：1 1、换元法（一元化，例、换元法（一元化，例7 7）；）；2 2、换元法（直角坐标、换元法（直角坐标极坐标，例极坐标，例6 6）；）；3 3、夹逼准则；（例、夹逼准则；（例2 2）4 4、无穷小乘以有界变量

12、仍为无穷小；（例、无穷小乘以有界变量仍为无穷小；（例1 1）5 5、无穷小代换。（例、无穷小代换。（例2 2）确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：则可断言极限不存在则可断言极限不存在;若极限值与若极限值与 k 有关有关,此时也可断言极限不存在。此时也可断言极限不存在。2 2、找两种不同趋近方式、找两种不同趋近方式,但两者不相等但两者不相等,存在存在,1 1、沿与沿与k 有关的路径，有关的路径，3 3、取某种特殊路径时，极限不存在，此时也、取某种特殊路径时，极限不存在，此时也 可断言极限不存在。可断言极限不存在。一元函数的连续性一元函数的连续性则称则称连续连续.否则否则称称不连续不连续或

13、或 间断间断.7.1.4 多元函数的连续性多元函数的连续性二元函数的连续性二元函数的连续性则称则称连续连续.否则否则称称不连续不连续 或或 间断间断.回忆可用于求二元函数极限如果函数如果函数 f(x,y)在开区域在开区域(闭区域闭区域)D内的内的每一点连续每一点连续,则称函数则称函数f(x,y)在在D内连续内连续,或称函数或称函数f(x,y)是是 D内的连续函数内的连续函数.例例5 5 讨论函数讨论函数在在(0,0)的连续性的连续性解解极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续取取其值随其值随k的不同而变化的不同而变化，即即(0,0)是间断点是间断点例例6 6 讨论函数讨论

14、函数在在(0,0)处的连续性处的连续性解解 取取故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.当当 时时称为称为多元初等函数多元初等函数,积、商（分母不为零）及复合积、商（分母不为零）及复合仍是连续的仍是连续的.同一元函数一样同一元函数一样,多元多元连续函数连续函数的和、差、的和、差、每个自变量的基本初等函数经有限次四则每个自变量的基本初等函数经有限次四则运算和有限次复合运算和有限次复合,由一个式子表达的函数由一个式子表达的函数多元初等函数：多元初等函数：例例一切多元初等函数在其定义区域内是连续的一切多元初等函数在其定义区域内是连续的定义区域：定义区域：是指包含在定义域内的区域或闭区域是指包含在定义

15、域内的区域或闭区域例例7 7解解有界闭区域上的多元连续函数的性质有界闭区域上的多元连续函数的性质且能取得它的最大值和最小值且能取得它的最大值和最小值(1)(1)最大值和最小值定理最大值和最小值定理(2)(2)介值定理介值定理在在有界闭区域有界闭区域D上的上的多元连续函数多元连续函数,在在D上有界，上有界，在在有界闭区域有界闭区域D上的上的多元连续函数多元连续函数,必取得介于最大值和最小值之间的任何值必取得介于最大值和最小值之间的任何值 多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）小结多元函数的定义多元函数的定义思考题思考题作业：作业：p.8 习题习题7-1 15单号、单号、6思考题解答思考题解答不能不能.例例取取但是但是 不存在不存在.原因为若取原因为若取