《矩阵分析郝》PPT课件.ppt

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1、 第四章第四章 矩阵的分解矩阵的分解 这这里里我我们们主主要要讨讨论论矩矩阵阵的的两两种种分分解解：矩矩阵阵的的满秩分解，正交三角分解。满秩分解，正交三角分解。4.1矩阵的满秩分解矩阵的满秩分解定理定理：设：设 ，那么存在，那么存在使得使得1使得使得其中其中 为列满秩矩阵，为列满秩矩阵，为行满秩矩阵。为行满秩矩阵。我们成此分解为我们成此分解为矩阵的满秩分解矩阵的满秩分解。证明证明：假设矩阵：假设矩阵 的前的前 个列向量是线性个列向量是线性无关的，对矩阵无关的，对矩阵 只实施行初等变换可以只实施行初等变换可以将其化成将其化成2即存在即存在 使得使得于是有于是有其中其中3 如果如果 的前的前 列线

2、性相关，那么只需对列线性相关，那么只需对作列变换使得前作列变换使得前 个列是线性无关的。然后重个列是线性无关的。然后重复上面的过程即可。这样存在复上面的过程即可。这样存在且满足且满足4 从而从而其中其中5例例 ：分别求下面三个矩阵的满秩分解：分别求下面三个矩阵的满秩分解看书看书P6解解：（：（1）对此矩阵只实施对此矩阵只实施行行变换可以得到变换可以得到所以所以 ，且此矩阵的第三，第四，且此矩阵的第三，第四，第五列任意一列都是线性无关的，所以选取第五列任意一列都是线性无关的，所以选取哪一列构成列满秩矩阵均可以。哪一列构成列满秩矩阵均可以。7选取选取也可以选取也可以选取8解解 ：（：（2）对此矩阵

3、只实施对此矩阵只实施行行变换可以变换可以得到得到 910由此可知由此可知 ，且该矩阵第一列，且该矩阵第一列，第三列是线性无关的。选取第三列是线性无关的。选取11同样，我们也可以选取同样，我们也可以选取1213解解：（：（3）对此矩阵只实施行变换可以得到对此矩阵只实施行变换可以得到 14所以所以 ，且容易看出此矩阵的，且容易看出此矩阵的第二列和第四列是线性无关的，选取第二列和第四列是线性无关的，选取15 由上述例子可以看出由上述例子可以看出矩阵的满秩分解形矩阵的满秩分解形式并不唯一。一般地我们选取阶梯型矩阵主式并不唯一。一般地我们选取阶梯型矩阵主元所在的列对应的列向量构成元所在的列对应的列向量构

4、成列满秩列满秩矩阵，矩阵，将阶梯型矩阵全为零的行去掉后即可构成将阶梯型矩阵全为零的行去掉后即可构成行行满秩满秩矩阵矩阵。16 4.2矩阵的正交三角分解矩阵的正交三角分解定理定理 设设 ，那么，那么 可唯一地分解可唯一地分解为为或或其中其中 ，是正线上三角矩是正线上三角矩阵，阵，是正线下三角矩阵。是正线下三角矩阵。17证明证明：先证明分解的存在性。将矩阵：先证明分解的存在性。将矩阵 按列按列分块得到分块得到由于由于 ，所以，所以是线性无关的。利用是线性无关的。利用Schmidt正交化与单位正交化与单位化方法，先得到一组正交向量组化方法，先得到一组正交向量组18并且向量组之间有如下关系并且向量组之

5、间有如下关系再单位化，这样得到一组标准正交向量组再单位化，这样得到一组标准正交向量组19其中其中 ，于，于是有是有20其中其中 ，21显然矩阵显然矩阵 是一个正线上三角矩阵。是一个正线上三角矩阵。下面考虑分解的唯一性。设有两种分下面考虑分解的唯一性。设有两种分解式解式22那么有那么有注意到注意到 是酉矩阵，而是酉矩阵，而 是一个正是一个正线上三角矩阵，由前面的结论可知线上三角矩阵，由前面的结论可知因此有因此有23因为有因为有 ，所以，所以 ，按照分解的存在性可知按照分解的存在性可知其中其中 是正线上三角矩阵。是正线上三角矩阵。于是于是其中其中 是正线下三角矩阵，是正线下三角矩阵，此结论也可以被

6、推广为此结论也可以被推广为24定理定理：设：设 ，则，则 可以唯一地分可以唯一地分解为解为其中其中 是是 阶正线上三角矩阵，阶正线上三角矩阵，即，即 是一个次酉矩阵。是一个次酉矩阵。25例例 1 ：求下列矩阵的正交三角分解：求下列矩阵的正交三角分解26解：解：（1）容易判断出）容易判断出 ，即，即 是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程，是一个列满秩矩阵。按照定理的证明过程，将将 的三个列向量正交的三个列向量正交化与单位化。先得到一个正交向量组化与单位化。先得到一个正交向量组2728再将其单位化，得到一组标准正交向量组再将其单位化，得到一组标准正交向量组29这样，原来的向量组与标准正交向量之间的这样，原来的向量组与标准正交向量之间的关系可表示成关系可表示成30将上面的式子矩阵化，即为将上面的式子矩阵化，即为31定理定理：设：设 ，则，则 可以唯一地分可以唯一地分解为解为其中其中 是是 阶正线下三角矩阵，阶正线下三角矩阵，即，即 是一个次酉矩阵。是一个次酉矩阵。32推论推论：设：设 ，则，则 可分解为可分解为其中其中 ，是是 阶正线上三角矩阵，阶正线上三角矩阵，是是 阶正线下三角阶正线下三角矩阵。矩阵。33