第七随机变量的数字特征.ppt

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1、第七随机变量的数字特征现在学习的是第1页，共106页 3 3、在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，、在检查一批棉花的质量时，既需要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大、又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好。偏离程度较小，质量就较好。从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数值，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征。随机变量的数字特征就是用数字表示随机面的重要特征。随机变量的数字特征就

2、是用数字表示随机变量的分布特点，在理论和实践上都具有重要的意义。变量的分布特点，在理论和实践上都具有重要的意义。第七章第七章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征现在学习的是第2页，共106页第七章第七章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 数学期望数学期望 方差和标准差方差和标准差 协方差和相关系数协方差和相关系数 切比雪夫不等式及大数定理切比雪夫不等式及大数定理 中心极限定理中心极限定理现在学习的是第3页，共106页7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望从平均数说起，设以数据集从平均数说起，设以数据集 2，3，2，4，2，3，

3、4，5，3，2为总体，求其平均数（设为为总体，求其平均数（设为）=（2+3+2+4+2+3+4+5+3+2）/10 =（24+33+42+51）/10 =24/10+33/10+42/10+51/10 =3概括得：概括得：现在学习的是第4页，共106页7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望下面我们逐步分析如何由分布来求下面我们逐步分析如何由分布来求“均值均值”：（1）算术平均：如果有）算术平均：如果有n个数个数x1,x2,xn，那么求这，那么求这n个数的算术平个数的算术平均，只需将此均，只需将此n个数相加后除以个数相加后除以n，即，

4、即（2）加权平均：如果这）加权平均：如果这n个数中有相同的，不妨设其中有个数中有相同的，不妨设其中有ni 个取值个取值为为xi(i=1,2,k)，列表为，列表为 频频率率频频数数取取值值现在学习的是第5页，共106页7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望其实，这个其实，这个“加权加权”平均的权数平均的权数ni/n 就是出现数值就是出现数值 xi的频率，的频率，而频率在而频率在 n 很大时，就稳定在其概率附近。很大时，就稳定在其概率附近。（3）对于一个离散随机变量）对于一个离散随机变量 X，如果其可能取值为，如果其可能取值为x1,x2

5、,xn，若将这，若将这n个数相加后除以个数相加后除以n作为作为“均值均值”，则肯，则肯定是不妥的，原因在于定是不妥的，原因在于X 取各个值的概率是不同的，概率取各个值的概率是不同的，概率大的出现的机会就大，在计算中其权数就应该大。大的出现的机会就大，在计算中其权数就应该大。用取值的概率作为一种用取值的概率作为一种“权数权数”作加权平均是十分合理的。作加权平均是十分合理的。现在学习的是第6页，共106页7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望1.定义定义设离散随机变量设离散随机变量X的分布律为的分布律为一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望为随机变量为随机变量X的的数学期望

6、数学期望，或称为该分布的数学期望，或称为该分布的数学期望，简称期望或均值。简称期望或均值。若级数若级数不收敛不收敛,则称则称X的期望不存在。的期望不存在。如果如果则称则称XPx1 x2 xn p1 p2 pn 现在学习的是第7页，共106页7.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望一、离散型随机变量的数学期望(1)X的期望的期望E(X)是一个数，它形式上是是一个数，它形式上是X的可能值的加权平均的可能值的加权平均，其权重是其相应的概率，实质上它体现了，其权重是其相应的概率，实质上它体现了X取值的真正平均，取值的真正平均，为此我们又称它为为此我们又称它为X的均值。因

7、为它完全由的均值。因为它完全由X的分布所决定，所的分布所决定，所以又称为分布的平均值。以又称为分布的平均值。(2)E(X)作为刻划作为刻划X的某种特性的数值，不应与各项的的某种特性的数值，不应与各项的排列次序有关。所以，定义中要求级数绝对收敛。排列次序有关。所以，定义中要求级数绝对收敛。注释注释现在学习的是第8页，共106页所以所以A 的射击技术较的射击技术较B的好的好.0.30.50.20.60.10.3概率10981098击中环数BA射手名称例例:有甲，乙两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射有甲，乙两射手，他们的射击技术如表所示，试问哪一个射手本领较好？手本领较好？解解甲射击平均击

8、中环数为甲射击平均击中环数为乙射击平均击中环数为乙射击平均击中环数为现在学习的是第9页，共106页例例:某人有某人有10万元现金，想要投资于某项目，余估成功的机会为万元现金，想要投资于某项目，余估成功的机会为30%，可得利润，可得利润8万元，失败的机会为万元，失败的机会为70%，将损失，将损失2万元，万元，若存入银行，同期间的利率为若存入银行，同期间的利率为5%，问是否作此项投资？，问是否作此项投资？解解设设x为投资利润，则为投资利润，则E(X)=80.3-0.72=1(万元万元)x8-2p0.30.7存入银行的利息存入银行的利息 105%=0.5（万元）（万元）故应选择投资故应选择投资现在学

9、习的是第10页，共106页例例设随机变量设随机变量x服从参数为服从参数为n，p二项分布，其分布律为二项分布，其分布律为（k=0,1,2，）（0p0,D(Y)0,协方差协方差Cov(X,Y)均存在均存在,则称则称为随机变量为随机变量X与与Y的的相关系数相关系数或或标准协方差标准协方差.一般地，数学期望为一般地，数学期望为0，方差为，方差为1的随机变量的分布称为标准的随机变量的分布称为标准分布，故分布，故XY又称为又称为标准协方差标准协方差。现在学习的是第68页，共106页7.3 协方差与相关系数协方差与相关系数二、二、相关系数相关系数性质性质1.|XY|1；3.|XY|=1，称之为称之为X与与Y

10、完全相关，其充要条件为完全相关，其充要条件为,存在常数存在常数a,b使得使得PY=aX+b=1.2.XY=0，称之为，称之为X与与Y不相关；不相关；意义意义:|XY|=1当且仅当当且仅当Y跟跟X几乎有线性关系。这在一定程度上说明了相关系数的概几乎有线性关系。这在一定程度上说明了相关系数的概率意义。率意义。XY并不是刻画并不是刻画X，Y之间的之间的“一般一般”关系，而只是刻画关系，而只是刻画X，Y之间线之间线性相关的程度。性相关的程度。说明：说明：假设随机变量假设随机变量X，Y的相关系数的相关系数XY存在，当存在，当X与与Y相互独时相互独时,XY=0,即即X与与Y不不相关，反之若相关，反之若X与

11、与Y不相关，不相关，X与与Y却不一定相互独立。却不一定相互独立。现在学习的是第69页，共106页7.3 协方差与相关系数协方差与相关系数二、二、相关系数相关系数oXYoooXXXYYY01-10,恒有恒有其中其中若上式对任何若上式对任何0成立，则称成立，则称依概率收敛于依概率收敛于，且，且可表示为可表示为现在学习的是第88页，共106页7.4 切比雪夫不等式及大数律切比雪夫不等式及大数律一、一、伯努利大数律伯努利大数律例如例如:意思是意思是:当当a而而意思是意思是:时时,Xn落在落在内的概率越来越大内的概率越来越大.,当当现在学习的是第89页，共106页7.4 切比雪夫不等式及大数律切比雪夫不

12、等式及大数律切比雪夫切比雪夫(Chebyshev)不等式不等式:设随机变量设随机变量X具有数学期望具有数学期望E(X)=,方差方差D(X)=2,则对于任则对于任意正数意正数,有有二、切比雪夫二、切比雪夫(Chebyshev)不等式不等式现在学习的是第90页，共106页7.4 切比雪夫不等式及大数律切比雪夫不等式及大数律证明证明(1)设设X的概率密度为的概率密度为p(x),则有则有(2)设离散型随机变量设离散型随机变量X的分布律为的分布律为PX=xk=pk,则有则有二、切比雪夫二、切比雪夫(Chebyshev)不等式不等式现在学习的是第91页，共106页例例:在供暖的季节在供暖的季节,住房的平均

13、温度为住房的平均温度为20度度,标准差为标准差为2度度,试试估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于估计住房温度与平均温度的偏差的绝对值小于4度的概率的下度的概率的下界界.解解现在学习的是第92页，共106页例例 设随机变量设随机变量 相互独立，且有如下相互独立，且有如下分分 布律布律是否满足切比雪夫定理？是否满足切比雪夫定理？解：独立性依题意可知，检验是否具有数学期望解：独立性依题意可知，检验是否具有数学期望说明每一个随机变量都具有数学期望，检验是否具有有限方差说明每一个随机变量都具有数学期望，检验是否具有有限方差说明离散型随机变量有有限方差说明离散型随机变量有有限方差-na0Na P P现

14、在学习的是第93页，共106页7.4 切比雪夫不等式及大数律切比雪夫不等式及大数律三、切比雪夫三、切比雪夫(Chebyshev)大数定律大数定律 设设 X1,X2,是相互独立的随机变量序列是相互独立的随机变量序列,具有数学期望具有数学期望E(Xi)和方和方差差 D(Xi)i=1,2,.若存在常数若存在常数 C,使得使得D(Xi)C(i=1,2,),则对于则对于任意给定的任意给定的 0,恒有恒有证明证明现在学习的是第94页，共106页7.5 中心极限定理中心极限定理 在一定条件下在一定条件下,许多随机变量的极限分布是正态分布许多随机变量的极限分布是正态分布:“若一若一个随机变量个随机变量X X可

15、以看着许多微小而独立的随机因素作用的总后可以看着许多微小而独立的随机因素作用的总后果果,每一种因素的影响都很小每一种因素的影响都很小,都有不起压倒一切的主导作用都有不起压倒一切的主导作用,则则X X一般都可以认为近似地服从正态分布一般都可以认为近似地服从正态分布.”例如对某物的长度进行测量例如对某物的长度进行测量,在测量时有许多随机因素影响测量在测量时有许多随机因素影响测量的结果的结果.如温度和湿度等因素对测量仪器的影响如温度和湿度等因素对测量仪器的影响,使测量产生误差使测量产生误差X X1 1;测量者观察时视线所产生的误差测量者观察时视线所产生的误差X X2 2;测量者心理和生理上的变测量者

16、心理和生理上的变化产生的测量误差化产生的测量误差X X3 3;显然这些误差是微小的、随机的显然这些误差是微小的、随机的,而且而且相互没有影响相互没有影响.测量的总误差是上述各个因素产生的误差之测量的总误差是上述各个因素产生的误差之和和,即即X Xi i.现在学习的是第95页，共106页7.5 中心极限定理中心极限定理 一般地一般地,在研究许多随机因素产生的总影响时在研究许多随机因素产生的总影响时,很多可以归结很多可以归结为研究相互独立的随机变量之和的分布问题为研究相互独立的随机变量之和的分布问题,而通常这种和的项而通常这种和的项数都很大数都很大.因此因此,需要构造一个项数越来越多的随机变量和的

17、序列需要构造一个项数越来越多的随机变量和的序列:我们关心的是当我们关心的是当nn时时,随机变量和随机变量和X Xi i的极限分布是什么的极限分布是什么?现在学习的是第96页，共106页7.5 中心极限定理中心极限定理 设随机变量设随机变量X1,X2,Xn是是n个相互独立且每个都服从个相互独立且每个都服从(0-1)分布分布(PXi=0=1-p,PXi=1=p),现在来求现在来求Yn=X1+X2+Xn这里每个这里每个Xi只能取只能取0，1，的分布的分布Yn只能取只能取0，1，n 即即Yn服从服从B（n,p）现在学习的是第97页，共106页7.5 中心极限定理中心极限定理设设X1,X2,Xn同分布，

18、且同分布，且XiB(1,p)，则，则推论：推论：如果如果X与与Y独立，且独立，且XB(m,p),YB(n,p),则则 X+Y B(m+n,p)即二项分布具有可加性即二项分布具有可加性.现在学习的是第98页，共106页7.5 中心极限定理中心极限定理一、棣莫弗一、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理拉普拉斯中心极限定理(De Moivre-Laplace中心极限定理中心极限定理):设设X1，X2，是一个独是一个独立同分布的随机变量序列立同分布的随机变量序列,且且XiB(1,p)(i=1,2,),Yn=X1+X2+Xn,则对任意一个则对任意一个x，-x-105的近似值的近似值.解解:易知易知E(Vk)=5,D(Vk)=100/12,由独立同分布的中心极限定理知由独立同分布的中心极限定理知近似服从标准正态分布近似服从标准正态分布N(0,1),于是于是现在学习的是第105页，共106页作业作业：1，2，3，5，8，9，12，13，19现在学习的是第106页，共106页