三角形中的数列经典结论.doc

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1、三角形中的数列经典结论【定理1】在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.无论sinA、sinB、sinC成等差数列或、成等差数列;还是a 、b、c成等差数列或、成等差数列.都有B.【推论】在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.无论sinA、sinB、sinC成等差数列或、成等差数列或cosA、cosB、cosC成等差数列;还是a 、b、c成等差数列或、成等差数列.都有B.【定理2】在ABC中，三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.无论sinA、sinB、sinC成等比数列或、成等比数列;还是a 、b、c成等比数列或、成等比数列.都有B.【推论】在ABC中，三内

2、角A、B、C所对的边分别为a、b、c.无论sinA、sinB、sinC成等比数列或、成等比数列;还是a 、b、c成等比数列或、成等比数列.都有B.【定理1证明】1) 由等差中项公式和正弦定理得：2sinB=sinA+sinC2b=a+c 再由余弦定理得： cosB= a2+c22accosB=当且仅当a=c时,等号成立.又B(0,)及y=cosx在(0,)内单调递减，故B(0,.2) 由等差中项公式和正弦定理得 再由余弦定理得 cosB= a2+c22ac(a+c) 24acaca2+c22acac=ac cosB=,当且仅当a=c时等号成立.又B(0,)及y=cosx在(0,)内单调递减，故

3、B.【推论证明】由a 、b、c成等差数列得2b=a+c,再由余弦定理得cosB=,当且仅当a=c时,等号成立.又B(0,)及y=cosx在(0,)内单调递减，故B.同理可证若、成等差数列或sinA、sinB、sinC成等差数列或cosA、cosB、cosC成等差数列;或、成等差数列,都有B.【定理2证明】 由等比中项公式和正弦定理得： sin2B=sinAsinC 再由余弦定理得：cosB=a2+c22accosB=,当且仅当a=c时，等号成立.又B(0, )及y=cosx在(0, )内单调递减，故B.【推论证明】在ABC中，若sinA、sinB、sinC成等比数列,则b=ac,即b=ac.由余弦定理得：cosB=,当且仅当a=c时，等号成立.又B(0, )及y=cosx在(0, )内单调递减，故B同理可证若、成等比数列或、成等比数列,都有B.【典例1】 在ABC中，、成等差数列,且=(sinB, 1)， =(1, cosB)，证明：(1)函数f (B)= 的值域为；(2)函数g(B)= 的值域为；(3)函数h(B)= 的值域为.【典例2】 在ABC中，、成等比数列,且=(，cosB)， =(sinB，1)，证明：(1)函数f (B)= 的值域为；(2)函数g(B)= 的值域为；(3)函数h(B)= 的值域为. 4