第12讲菱形同步教学讲义 人教版数学八年级下册.docx

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1、第12讲 菱形知识导航1、菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；2、菱形的判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边都相等的四边形是菱形。【板块一】菱形的性质与判定题型一、菱形的判定方法技巧判定四边形为菱形时，对于容易判断为平行四边形的，另外看邻边是否相等或对角线是否垂直；还可以从四条边相等去判定。【例1】如图，RtACB中，ACB=900，CDAB，垂足为点D，AE平分CAB交CD于点F，交BC于点E，FGBC，交AB于点G，连接EG，求证：四边形CFGE是菱形。 【例2】如图，

2、将矩形纸片ABCD沿FG折叠，使顶点B落在边AD上的点E处，折痕的一端点G在边BC上，另一端点F在AD上，AB=8，BG=10。（1）求证：四边形BGEF为菱形；（2）求FG的长。 针对练习11如图，ABC中，C90，B30，AD是ABC的角平分线，DEBA交AC于点E，DFCA交AB于点F，已知CD3（1）求AD的长；（2）求四边形AEDF的周长 2如图，在ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边ABD，等边ACE和等边BCF，连接DF，EF（1）求证：四边形DAEF是平行四边形；（2）当BAC 时，四边形DAEF是矩形；（3）当ABC满足 条件时，四边形DAEF是菱形3如图，

3、ABC是以BC为底边的等腰三角形，AD是边BC上的高，点E，F分别AB，AC是的中点（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）如果四边形AEDF的周长为12，两条对角线和为7，求四边形AEDF的面积S4如图，在ABC中，ABAC1，BAC45，AEF是由ABC绕点A按顺时针旋转得到的，连接BE，CF，相交于点D（1）求证：BECF；（2）当四边形ACDE为菱形时，求BD的长【板块二】 菱形中的全等三角形构造题型二 菱形中全等三角形构造旋转方法技巧有一内角为60 的菱形，较短的对角线将菱形分为两个全等的等边三角形，形成5条边相等，6个60的角，易于构造旋转式的全等三角形【例1】已知菱形ABCD中，

4、BAD120，E，F分别为射线BC和CD上的一点，EAF60（1）如图1，若点E，F分别为边BC和CD的中点，直接写出BE，DF，AB之间的数量关系；（2）如图2，若点E，F分别为边BC和CD上任一点，探究BE，DF，AB之间的数量关系；（3）如图3，若点E，F分别在BC和CD的延长线上，探究BE，DF，AB之间的数量关系图1 图2 图3题型三 菱形中全等三角形同型构造方法技巧菱形中相等的边较多，当两个三角形中有一对边一对角相等时，可以以此为条件，再构造一对边或一对角相等，形成全等三角形【例2】已知菱形ABCD中，对角线交于点O（1）如图1，点F在边BC上，AF交BD于E，若BEBF，求证：C

5、F2OE；（2）如图2，点P在边AC上，已知AC16，CPCD10，求DP的长；（3）如图3，点Q在菱形外部，点P在AC上，CPCD，点M为DP中点，DQDM，QDACDP连接QM，射线QM交AC于点N，交DA于点H求证：CNAH图1 图2 图3题型四 菱形动点最值问题【例3】已知菱形ABCD中的两条对角线分别为6和8，M，N分别为边BC，CD的中点，P是对角线BD上一点，求PMPN的最小值题型五 菱形综合探究【例4】已知，在菱形ABCD中，ABC60，AB4，对角线交于点O，点A关于CD的对称点为A，连接OA （1）如图1，求OA的长；（2）如图2，OA的中点为F，连接CF，求证：CFBD；

6、（3）如图3，若点D关于OA的对称点为D，则BD 的长为 图1 图2 图3针对练习21如图，在菱形ABCD中，A60，E，F分别是AB，AD的中点，DE，BF相交于点G，连接BD，CG有下列结论：BGD120；BGDGCG；BDFCGB；SABDAB2，其中正确的结论有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个 2如图，在菱形ABCD中， F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，MECD于点E，12（1）若CE1，求BC的长；（2）求BCD的度数3如图，在菱形ABCD和等边BGF中，ABC60， P为DF的中点（1）如图1，点G在边BC上时判断BDF的形状，并证明；连接PB，若AB10，BG4，求PB的长；（2）如图2，点F在边AB延长线上时，连接PG，PC，试判断PG，PC有怎样的关系，并给予证明图1 图24在菱形ABCD中，ABC60， P是对角线BD上的一点，E是边BC的延长线一点，PEPA（1）如图1，求APE的度数；（2）如图2，BE的垂直平分线交BD于点F，交BE于点G，求的值；（3）如图3，PE交CD于点M，当CME45时，直接写出 图1 图2 图3