一轮难题复习 推理与证明典型解答题（学生版）.docx

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1、 一轮难题复习 推理与证明典型解答题一、知识网络二、合情推理（一）归纳推理1. 归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。2. 归纳推理的一般步骤：第一步，通过观察个别情况发现某些相同的性质；第二步，从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）。题型1：用归纳推理发现规律（1）观察：对于任意正实数，试写出使成立的一个条件可以是 _.（2）蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图。其中第一

2、个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以表示第幅图的蜂巢总数。则（二）类比推理1. 类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。2. 类比推理的一般步骤：第一步：找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；第二步：用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想.题型2：用类比推理猜想新的命题（1）已知正三角形内切圆的半径是高的，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是_.（三）合情推理1. 定义：归纳推理和类比推理都有是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、

3、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理。简言之，合情推理就是合乎情理的推理。2. 推理的过程：思考探究：（1）归纳推理与类比推理有何区别与联系? 归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理。通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法。 类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质。类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。三、演绎推理（一）含义：1. 演绎推理是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论。演绎推理又叫逻辑推理。2. 演绎推

4、理的特点是由一般到特殊的推理。（二）演绎推理的模式1. 演绎推理的模式采用“三段论”：（1）大前提已知的一般原理(M是P)；（2）小前提所研究的特殊情况(S是M)；（3）结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断(S是P)。2. 从集合的角度看演绎推理：（1）大前提：xM且x具有性质P；（2）小前提：yS且SM（3）结论：y具有性质P（三）演绎推理与合情推理合情推理与演绎推理的关系：1. 从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特说的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理。2. 从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形

5、式都正确的前提下，得到的结论一定正确。四、直接证明与间接证明（一）三种证明方法：综合法、分析法、反证法分析法和综合法是思维方向相反的两种思考方法。在数学解题中，分析法是从数学题的待证结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后达到题设的已知条件。综合法则是从数学题的已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待证结论或需求问题。对于解答证明来说，分析法表现为执果索因，综合法表现为由果导因，它们是寻求解题思路的两种基本思考方法，应用十分广泛。反证法：它是一种间接的证明方法。用这种方法证明一个命题的一般步骤：（1）假设命题的结论不成立；（2） 根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止 （3） 断言假

6、设不成立（4）肯定原命题的结论成立用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：（1）反设；（2）归谬；（3）结论。重难点：在函数、三角变换、不等式、立体几何、解析几何等不同的数学问题中，选择好证明方法并运用三种证明方法分析问题或证明数学命题考点1：综合法在锐角三角形中，求证：考点2：分析法已知，求证考点3：反证法已知，证明方程没有负数根五、数学归纳法1. 数学归纳法的定义：一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数N的所有正整数n都成立时，可以用以下两个步骤：（1）证明当时命题成立；（2）假设当时命题成立，证明n=k+1时命题也成立。在完成了这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立

7、。这种证明方法称为数学归纳法。2. 数学归纳法的本质：无穷的归纳有限的演绎（递推关系）3. 数学归纳法步骤：（1）（递推奠基）：当n取第一个值结论正确；（2）（递推归纳）：假设当时结论正确；（归纳假设）证明当n=k+1时结论也正确。（归纳证明）由（1），（2）可知，命题对于从开始的所有正整数n都正确。题型1：已知n是正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设时命题为真，则还需证明（ ）A. n=k+1时命题成立 B. n=k+2时命题成立C. n=2k+2时命题成立 D. n=2（k+2）时命题成立题型2：用数学归纳法证明不等式例题1（1）求证：椭圆中斜率为的平行弦的中点轨迹必过椭圆中心；（2）用作

8、图方法找出下面给定椭圆的中心；（3）我们把由半椭圆与半椭圆合成的曲线称作“果圆”，其中，.如图，设点，是相应椭圆的焦点，和，是“果圆” 与，轴的交点. 连结“果圆”上任意两点的线段称为“果圆”的弦.试研究：是否存在实数，使斜率为的“果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，说明理由.例题2（1）证明：；（2）证明：对任何正整数n，存在多项式函数，使得对所有实数x均成立，其中均为整数，当n为奇数时，当n为偶数时，；（3）利用（2）的结论判断是否为有理数？例题3对于数列：、，若不改变，仅改变、中部分项的符号（可以都不改变），得到的新数列称为数列的一个生成数列，如仅改变数列、的第二、三项的符号，可以得到一个生成数列：、.已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和.（1）写出的所有可能的值；（2）若生成数列的通项公式为，求；（3）用数学归纳法证明：对于给定的，的所有可能值组成的集合为.例题4已知正整数数列满足：，（）.（1）已知，试求、的值；（2）若，求证：；（3）求的取值范围.