天津市某中学2021届高三上学期第三次月考数学试题含答案.pdf

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1、天津一中2010-2021高三年级三月考数学试卷本试卷分为第I卷（选择题）、第口卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利!一.选择题1 .已知集合知=小2 r 0）,N=-1 ,0,1 ,2 ,则 M p|N=（）A .-1 ,0,1 B.-1 ,0 C.0,1 D.1 ,2 2 .已知命题,命题1,则 p 是，/成立的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数/）=ex-y,4 .某学校共有学生4 000名，为了了解学生的自习情况，随机调查了部分学生的每周自习

2、时间（单 位：小 时）制成了如图所示的频率分布直 方 图，样本数据分组为17.5,20）,20,22.5),22.5,25),25,27.5）,27.5,30.根据直方图,估计该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的人数是0A .28 00 B .1200 C .14 0 D .605.已知直三棱柱A 8 C-A G 的 6 个顶点都在球。的 球 面 上，若 A B=1,A C=3,A B 1A C,A At=4,则 球O的表面积为（）A .5兀 B .IOn C .20n D .205兀 -3_ 1 _ J1 1 _6.已知=(3 ,很l o g 2,7()2 ,贝氏，b,c 的大小关系是

3、(A .a b c)B.bacC.cabD.bc0)的右焦点沏F(c,0)(c0),过F作直线/,若/CT万与双曲线E有且只有一个交点，且/与y轴的交点为P(0,-2c),则双曲线E的离心率为()A.犯.5C.6D.3+1 j8.已知函数;(x)=3 s i i L r+c o s x(x w R),将与3)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵 坐 标 不 变)再 将 得 到 的 图 象 上 所 有 点 向 右 平 行 移 鄢 个 单 位 长 度，得到2 6产g(x)的图象，则以下关于函数产g(x)的结论正确的是()A .若X ,心是g(x)的零点，则再-不是2兀的整数倍B.函数g(x)在

4、 区 间 上 单 调 递 增C 点(加，0)是函数g(x)图象的对称中心4D .4兀是函数g(x)图象的对称轴39.已 知keR,设函数以)=1(x-b l)e +夕%1，若关于X的不等式次x）。在xeR上恒成立，则人的取值范围为（）A.0,e2B.2,e2c.0,4 D.0,3二.填空题10.已知复数二满足(l+i)z=3+i”为虚数单位)则复数z的虚部是，|z工.11.圆 r+y2_4x+6k 7=0被直线依_)，+1=0截得的弦长为8,则=.12.若年一）的展开式中筹7项为常数项，则常数项为（用数字填写答案）XX V13.某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在 这10名同学中，3名

5、同学来自数学学院，其 余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教.选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为；设X为选出的3名同学中女同学的人数，则X的数学期望为.14 .已知x0,0,且 x+2y=l,贝！7 1+-16(x-2y的最小值为.x y15.如 图,在A48C中，AB=2,AC=,D,E分别是直线 A8,AC上 的 点，AE=2BE,CD=4AC,且 BD-CE=-2,贝NBAC=_.若 P是线段OE上的一个动点，则 丽 丽 的 最 小 值 为.三.解答题1 6.已知AA8c的内角4 B、C的对边分别为a、A c,满足已

6、知ccosB+/?cosC=2COSA(1)求角A的大小；(2 )若 cosB=3,求 sin(2B+A)蠹 S ；3(3 )若A4BC的面积为,求AABC的周长.17.如 图，在直三棱柱A8C-48C中，AC1BC,且AC=BC=CC,=2,9 是 4瓦,4B的交点，N是 5 G 的中点.(1)求 证：MML平面A18C；(2)求平面AA8与平面ABC锐二面角的大小；(3)求直线NB与平面A fC 夹角的正弦值.18.设椭圆一X=l(a0)的左焦点为F,下顶点为4 ,上顶点为B ,加他是等边ab三角形.(I)求椭圆的离心率；(n )设直线以=过点4 且斜率为k出 0)的直线与椭圆交于点C(C

7、 异于点4),线段4 c 的垂直平分线与直线交于点P,与 直 线AC交于点Q 若7PQ=AC4.(I )求人的值；(i i)已知点M(-：_令，点N在椭圆上，若四边形4 M C N 为平行四边形，求椭圆的方程.19 .设 4 是等比数列，勿 是递增的等差数列，闻 的 前“项和为S,(e NQ=2 h1=1 S4 =Q+。3 02=6 +%(1)求 4 与 也 的通项公式；*),(2)设4,=/+勿，数列”“的前n项和为7n(neN*),求满足72n+1+1成立的n的最小值.为奇数(3)对任意的正整数，设c“=c（32-2）凡,为偶数,求数列“的 前2n项和.也 220.已知函数段)=(x+b)

8、G-a)(b0)在 点(-萩-1)处的切线方程为(e-V)x-ey+e-1 =0.(1)求，；。(2)设曲线广p p_/U）与X轴负半轴的交点为点，曲线在点处的切线方程为y=g）,求 证：对于任意的实数x,都 有 心）泌（幻;（3）若关于x的 方 程 陋 分 实 数 根，A J且*X,1,故：x 2或x 0,命题q,.lnx 1 ,故工 e,则P是（I成立的必要不充分条件，故 选：B .3.【分析】利用特殊点，即可判断；【解答】解：由 4。不在定义域内,X=-l时函数值为正数，图象在X轴的上方；当X趋向正无穷时，由于指数增长较快，因此函数值趋向于0.故 选：A .4.【分析】由频率分布直方图计

9、算该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的频率和频数.【解答】解：由频率分布直方图知，该校学生中每周自习时间不少于22.5小时的频率为1 -(0.02+0.10)x(20-17.5)=1 -03=0.7,所有估校校学生中每周自习时间不少于22.5小时的人数是4000 x0.7=2800(人).故选：A.5.【分析】由题意画出图形，利用勾股定理可求出外接球的半径，代入球的表面积公式得答案.【解答】解：由直棱柱的外接球的半径与底面三角形的外接圆的半径和棱柱高的一半构成直角三角形.一厂：AB=,AC=3,A B L A C，.二外接回的半径2 2F+2=1,球心到底面的距离狂2 AA=2,.球的半

10、径满足R2=/+/J2=F+22=5,.球。的表面积为4nR2=2 0n.故选：c.6.【分析】可以得出（）E20),33,然后即可得出。，匕，c 的大小关系.【解答】解:（界（博,四2四1=0,0(1)2(1)。=1 ,)-3 3:.b c0)的右焦点为F(c,0)(c 0),过尸作直a b线/，若/与双曲线有且只有一个交点，且/与y轴的交点为P(0,-2c),可得直线P P与双曲线的一条渐近线平行，所以上2,a可 得 型 工，所 以j+手，即 一=5,a cTa一所以或V故 选：B .8.【分析】由题意利用函数)=A s i n(3x+p)的图象变换规律,求 得g(x)的 解 析 式，再利

11、用正弦函数的性质，得出结论.【解答】解：函数,)=3sinx+cosA2sin(x+K)(XG/?)6将 闫(X)的 图 象 上 所 有 点 的 横 坐 标 缩 短 到 原 来 的12倍(纵 坐 标 不 变)，可 得)=2s i n(2x+埠 图 象；再将得到的图象上所有点向右平行移动兀个单位长度，6得到)Hg aA Zs i m i r-71)的图象，6则关于函数产g(x),若为，X2是g(x)的零点，则为 是半个周期兀的整数倍，故A错 误；在区间-兀，兀1上，2户 屋 -2兀，兀 ,函数g(x)没有单调性，故B错 误；4 4 633令 户 加，求得g(x)=2s i n 7l=-3 M ,

12、故C错 误；j4 3令求得g(x)=2,为最大值，故后兀是函数g(x)图象的对称轴，故。正 确，33故 选：D .9.【分析】当x 1时，段)=丁-2后+2 4，分k l时，式x)=(x-h l)e +e 3，分k 1,k 两 类 讨 论，可求得k 3；取其公共部分即可得到答案.【解答】解(1)当x 1时，J(x)=-2 kx+2 k,於)的对称轴为x=k,开口向上.当k l时，-X)在(70#)递 减,(1)递 增,.当一 时，火X)有最小值，即 激)0,.0 k f(1)=-ke+e3 0,:.k e2,此时氏 1；，当f c l时，段)在(1的递减，(+)递 增,Jk)=-ek+e3 0

13、,:.k 3,此时137，当心6 时，BP.C尸有最小值，为 37.217故答案为：3 7.716.【分析X 1)由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式，结 合 sinAM,可 求 cosA，结合范围04兀,可求A 的 值.2(2 )由已知利用同角三角函数基本关系式可求sin8的 值，利用二倍角公式，两角和的正弦函数公式即可求解.(3 )由已知利用三角形的面积公式可求权的 值，进而根据余弦定理可求b+c的 值，即 可 得 解 的 周 长.【解答】解(1)ccosB+/?cosC=由正弦定理得sinCcosB+sinBcosC=2cosAsinA2cosA从而有sin(B+Q=A 1:.

14、cosA=,v 04 z 轴 建 立 坐 标 系，用坐标表示点与向量A 3、CB、丽，可 得MNlAtB ,MN CB，从 而 可 得 M M L 平 面AtB C；(n)作?*8 于 点，则平面am的一个法向量为C H=(1,O,1),平 面ABC的一个法向量为MN=(O,1,-1),利用向量的夹角公式，即可求得平面A A 8与平面A C夹 角.【解答)证 明：以C为 原 点，分 别 以C B、C G、C A为x、”z轴 建 立 坐 标 系，则由 A C=B C=CG=2 ,知 4,(0,2,2),B,(2,2,0),B(2,0,0),C,(0,2,0),:.M(,1,1),7V(1,2,0

15、),，A B=(2.-2,-2),CB=Q,0,0),MN=(0,1,-1),(3 分)，MNAB=0-2+2=0,MNCB=O+O+O=O,M N E C B，,MN1 平面 A,B C；(6 分)(2)作 CH1AB于 点,.平面 ABC1 平面 ABBA，.C”_L 平面 A,B A ,故平面 B A的一个法向量为CW=(1,O,D,而 平 面ABC的 一 个 法 向 量 为MN=(0,1,-1),(9分)/.cos=CH,MNCHMN兀；w(O,),2.平面A V与平面4BC夹角的大小为(12 分)(3)BN=(-1,2,0)设BN与平面48c夹角为0sin0=|cos|=TT2=10

16、2.5 518.19.(D)因为 d=an+bn匚嘴 砂 工 厂2(2T)+2因 此 2,+1+1 解得 n2V H GN：.n3即满足条伟的最小值为3.,也，为奇数(3)因 为%=（3。厂2）。“，为偶数当”为偶数时，C他2)&2-2)2 2 2 2 wbb nh+n-n2)2记 N=C 2+C 4+-+C 2 =-2 ；2+2当为奇数时，C=ab=2 ，nnn记扬留+。3+。5+.+。2 _ 尸1 -2+3-2+5-2+.+(2/?12 则 4M=12、325+527+(2-122向-3M=2+2-23+2-25+2-27+.+2-22n-1-(2n-l)-221=2+24+26+28+.

17、+22-(2n-l)-22n+l=2+-(2n-l)-2-怎 1-22寸1-2224(13-2)1=2l-(2n-l)-22n+l=-+|-2n 卜 22m,1 1-22所以 w=-+rT-22n+|,3【3)9(39)252n+l2因地数列匕 的 前2项和为（-)-2H-.20.3 9 2+2 9(1)将X=T代入切线方程中m-Dx+-i=y=0有,所以/(7)=0 ,即/(-1)=仍-1)=0/(x)=ex(x+b+l)-ae1=-1+-.e所 以帝 Q 篷g一则b=2-e，与b 0矛盾，a=b=故(2)由(1 )可知/(x)=(x +I)(e*-l),令/)=0 ,有 x=-或.r=0

18、,故曲线)=/)与x轴负半轴的唯一交点为(T)P(-1,0)y=h(x).曲线在点 处的切线方程为，则 h(x)=f(-1)(x +1)令尸(x)=/(x)一 人(x),则 F(x)=fx-f(-D U+I)所以F(x/(x)(-l)=e (x+2)-,-F(-1)=0e当X V-1时，若 X(-00,-2,尸(x)0,若 xe(-2,-l),产(x)=e (x+3)0,尸(X)在2,-1)时单调递增，F(x)I当 时，由尸(x)=e*(x+3)0知广(%)在 xw(-l,+8)时单调递增,9(%)尸 (1)=0,/X)在(-1.+8)上单调递Fix),F(-l)=0增.所以，即/(回 小 成

19、 立.(3)/?(A)=(1-1)(.V+D,设(X)=根 的 根 为x/则 2=-l +j又h(x)单调递减，且所以x W Xm=/?(XH(X|)泌(%),设曲线在点(0,0)处的切线方程为J=/(X)，有f(x)=x-l)-.v T(x)=(x+2)ex-2雪9 3%*福工孝统一 2 M-2。,当时7 丁故函数在任单调递增3,)又？T x)(-2,+8)所讲学腾犷当时，所以函数在区间上单调邈成注区间上单城递增,T(x)(8,0)(01 e所 以T T =,f(x)t(x)即，设，(X)=7的根为勺，xr2=m则，又函数单调递增，故y .1kv又 必 X2,所 炉：x2 x x2fx=m (-1+-mee)=1 +