2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第06讲：向量问题三含解析.pdf

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1、2023年高考数学压轴题圆锥曲线专题第06讲：向量问题三（解析版）第四讲：向量问题（二）【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，垂直，直角，锐角和钝角的向量表示；拓展目标：能够熟练应用向量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题（直角，锐角和钝角）.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析

2、几何中常用的向量的运算，包括：直径圆中，点与圆的位置关系，即在圆上时，对应的角度为直角，在圆内，对应的角度为钝角，在圆外，对应的角度为锐角，并用向量进行表示，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。1,在圆上直径所对圆周角为直角，向量的数量积等于零，即当 4,6 为直角时，则 e/7=0：2、在圆内直径所对圆周角为钝角，即向量的数量积小于零；当 。力 为钝角时，则。方0;3、在圆外直径所对圆周角为锐角，即向量的数量积大于零；当 。力 为锐角时，则a 2 0；【考点剖析】考点一：直径圆过定点(已知定点)例 1.已知椭圆/+/=l(a b 0)的离心率e =；,过点A(0,)和 B

3、(a,O)的直线与原点的距离为差I.(1)求椭圆的方程；(2)已知定点E(-1,O),若直线y=H+2(A w O)与椭圆交于C,。两点，问：是否存在人的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由.变式训练1：已知椭圆C的离心率6 =正，长轴的左右端点分别为4(-&，。)，A(7 2,0)(1)求椭圆C的方程；设动直线/：了 =+6与曲线C有且只有一个公共点产，且与直线x=2 相交于点Q,求证：以P Q 为直径的圆过定点N(l,0).2 2变式训练2：椭圆C：5+W =M“b 0)的 离 心 率 为 设 0为坐标原点，A为椭圆C的左顶点，动直线乙过线段A。的中点8,且与椭圆C相交于P、。两点.已

4、知当直线4 的倾斜角为4 5 时，P Q-y.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在定直线4：x=f,使得直线a、AQ分别与 相交于M、N两点，且点B总在以线段MN为直径的圆上，若存在，求出所有满足条件的直线4的方程；若不存在，请说明理由.变式训练3：已知椭圆C与 双 曲 线 =1 有公共焦点，且右顶点为N(2,0).(1)求椭圆C的标准方程：设直线/：=履+机与椭圆C交于不同的A,8 两 点(A,B不是左右顶点)，若以A B为直径的圆经过点 N.求证：直线过定点，并求出定点.考点二：直径圆过定点(求定点)例 1.设椭圆C：m +W =l(a )的离心率为J，点A为椭圆上一点，片4 行的周长

5、为6.a b 2(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线/：丫 =丘+加 与椭圆C有且只有一个公共点尸，且与直线x=4 相交于点。.问：x 轴上是否存在定点M，使得以尸。为直径的圆恒过定点M?若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.变式训练1：己知点片(1,0),圆工：(x-i y+V=8,点 Q在圆尸2 上运动，。耳 的 垂 直 平 分 线 交 于 点 R(1)求动点P的轨迹的方程C；(2)过点(0,-；)的动直线/交曲线C于 4 8两点，在轴上是否存在定点T,使以他为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.变式训练2：如图，椭圆E：r2 方v2=l(a b 0)

6、的左焦点为人，右焦点为尸2,_离 心率e =1,过 的直线交椭圆于A 8两点，且AAB用的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)设动直线/：丫 =履+机与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q,试探究：在x轴上是否存在定点用，使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.变式训练3：已 知A：x2+y2+4X-20=0,直线/过3(2,0)且与 A交于C,。两点，过点B作直线AC的平行线交A。于点E.求 证：|胡|+怛身为定值，并求点E的轨迹T的方程；(2)设动直线:y =H+z与T相切于点P,且与直线x =3交于点。，在x轴上是否存在定点M。,。)，

7、使得以也 为直径的圆恒过定点”？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由.考点三：直径圆过定点(求圆的方程)3例 1.已知定点A(O,g),8(0,-6)，动点P与 A B连线的斜率之积勺N%=-不(1)设动点P的轨迹为G,求G的方程；(2)若是G上关于y 轴对称的两个不同点，直线A C,B D与x轴分别交于点M,N.试判断以MN 为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.2 2变 式 训 练 1：如图所示，椭圆C:+W =l(0)的左、右焦点分别为6、外,左、右顶点分别为A、B,尸为椭圆上一点，连接P 耳并延长交椭圆于点Q,已 知 椭 圆 的 离 心 率 为 P Q

8、 E 的周长为8.(1)求椭圆C 的方程；(2)设 点 尸 的 坐 标 为.1 1 1当阿丽M成等差数列时，求点尸的坐标;若直线R 4、所分别与直线x=4 交于点M、N ,以MN 为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.2 2【答案】?+=1；(2)P(0,6)或 P(0,-6)；过定点(7,0)、(1,0),理由见解析.变式训练2：已知椭圆C:，+=l(a b 0)过点A(O,1),离心率为远.b-3(1)求椭圆C的方程；(2)过点A作直线/,/与直线y =2和椭圆C分别交于两点M,N(N与A不重合).判断以MN为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点

9、坐标；如果不过定点，说明理由.考点四：点在圆内或圆外例1.己知椭圆C：E+=l(a 0),离 心 率 为 正，椭圆上任一点P满足归川+|尸鸟|=4.a b 2(1)求椭圆C的方程；(2)若动直线y =笈-2与椭圆c相交于M、N两点，若坐标原点。总在以MN为直径的圆外时，求A的取值范围.-变式训练i：已知椭圆c：二+与=1 以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积a b为8的正方形，斜率为我的直线/经过点M(O,1),与椭圆C 交于不同两点A、B.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当椭圆C 的右焦点厂在以A3为直径的圆内时，求左的取值范围.变式训练2：已知椭圆C：/+3/=3,点耳，亮

10、分别为椭圆的左、右焦点.(1)求椭圆C 的短轴长和点，K 的坐标；(2)设为椭圆C 上一点，且在第一象限内，直线工尸与 y 轴相交于点。，若 点 片 在 以 为 直 径 的圆的外部，求的取值范围.2 2变式训练3：如图，椭圆C：+斗=1(人 0)的离心率e为9 左顶点为A,直线/过其右焦点F且与椭圆交于 E两点，己知三角形A H 面积的最大值为3相.(1)求椭圆C的方程；(2)直线A。、A E分别与一条定直线x =m(m0)交于M,点尸始终在以MN为直径的圆内，求机的取值范围.【当堂小结】1、知识清单：(1)椭圆，双曲线，抛物线的基本性质；(2)直径所对圆周角为乌，即向量的数量积为零；2(3)

11、在圆内，所对应的角为钝角，向量的数量积小于零；在圆外，所对应的角为锐角，向量的数量积大于零；2、易错点：圆内，圆外的角度翻译，即向量数量积与零的大小关系；3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；4、核心素养：数学运算，数学抽象.【过关检测】1 .已知椭圆C：+，=M a b 0)经过点A(o,1),设右焦点F,椭圆上存在点。，使 Q F 垂直于X 轴且网考(1)求椭圆C的方程；(2)过点3(0,2)的直线/与椭圆交于R G两点.是否存在直线/使得以DG为直径的圆过点凤-1,0)?若存在,求出直线/的方程，若不存在，说明理由.2 .已知抛物线C：V=4x,直线/经过点A(?,0),且与抛物线C

12、交于M N 两点，其中帆 0.若，=1,且|刎=4,求点M 的坐标；(2)是否存在正数加，使得以MN为直径的圆经过坐标原点O,若存在，请求出正数”?，若不存在，请说明理由.3.已知焦点在y轴上的抛物线过P（2,2）（1）求抛物线的标准方程及准线方程；（2）已知直线/：y=x+b（。*。）与抛物线交于点A,B,若以AB为直径的圆过原点0,求直线/的方程.4.已知椭圆C:+方=1（方 0）的左、右顶点分别为A，上下顶点分别为g，B2,四边形ABIAB?4的面积为4,且该四边形内切圆的方程为（1）求椭圆C的方程；（2）直线/：y=+，（h ”，均为常数）与椭圆C相交于M,N两个不同的点（M,N异于A

13、,&）,若以MN为直径的圆过椭圆C的右顶点&,试判断直线/能否过定点？若能，求出该定点坐标；若不能，请说明理由.5.已知抛物线。：/=2 4(0 0)的焦点为尸，点P&2)在抛物线C上，。为坐标原点，OPR是直角三角形.(1)求抛物线C的方程.(2)若点尸在第一象限，直线/与抛物线C交于异于点P的4 8两点，以线段A 8为直径的圆经过点P.直线/是否过定点？若是，求出所过定点的坐标；若不是，请说明理由.6.已知椭圆C:+=l(a80),耳,Q 为椭圆的左、右焦点，焦距为2石，点尸在C上，且 居 面 积 的 最a o大值为(1)求椭圆C的方程；过 点 作 直 线/交 椭 圆 于4,8两点，以A

14、8为直径的圆是否恒过犬轴上的定点。(m,0)?若存在该定点，请求出，的值；若不存在，请说明理由.7.已知抛物线C的顶点是坐标原点O,对称轴为x轴，焦点为F,抛物线上点A的横坐标为1，且F 404=4.(1)求抛物线C的方程；(2)过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线/交抛物线C于两点M,N,直线x=l分别交直线OM,ON于点A和点5,求证：以 为 直 径 的 圆 经 过x轴上的两个定点.第四讲：向量问题（二）【学习目标】基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，向量的坐标表示及运算；应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线中向量的数量积，垂直，直角，锐角和钝角的向量表示；拓展目标：能够熟练应用向

15、量的相关运算，求解相关的解析几何中的向量问题（直角，锐角和钝角）.素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.【基础知识】解析几何中，将代数和几何联系到一起，形成了图形分析和坐标等的计算，在一定程度上可以进行向量的计算，达到解决解析几何的目的，下面是解析几何中常用的向量的运算，包括：直径圆中，点与圆的位置关系，即在圆上时，对应的角度为直角，在圆内，对应的角度为钝角，在圆外，对应的角度为锐角，并用向量进行表示，因此在解析几何中的运算，重点放在点的坐标的表示和计算中。1、在圆上直径所对圆周角为直角，向量的数量积等于零，即当 。力

16、 为直角时，则 4/=0；2、在圆内直径所对圆周角为钝角，即向量的数量积小于零；当为钝角时，则人0;3、在圆外直径所对圆周角为锐角，即向量的数量积大于零；当 “力 为锐角时，则4 2 （）；【考点剖析】考点一：直径圆过定点（已知定点）例 1.已知椭圆，+=1（。人 0）的离心率e=g,过点A（o,）和 W&O）的直线与原点的距离为率.（1）求椭圆的方程;已知定点E（-1,O）,若直线尸 丘+2（心0）与椭圆交于C,3两点，问：是否存在 的值，使以C Z）为直径的圆过 点？请说明理由.【答案】（1）+片=1;（2）k =-l+娅 或 =-1-亚4 3 4 4解析：（1）由已知可得，e=（，a 2

17、过点&。,血 和 阳。）的 直 线 方 程 为:六I ,即 处 3 =。,则潦筌等又。2=匕 2,联立解得 a =2,b=5/3,c=1.椭圆的方程为+上=1;4 3(y=kx+2X2 y2，得(3 +4 F)f +1 6依+4 =0.+=14 3 =(1 6()2-1 6(3+4 1)0 16k 4设 C(须,),D(X2,%),则 X+,=m/，为=?4 3 4K 3十今工而弘丁2 =(依+2)(区2 +2)=k2%2 +2 2(玉 +%2)+4 ,要使以CO为直径的圆过点旦-1,0）,即CELOE,贝I-7 7-j-=T,即 y%+(X +1)(%+1)=0 ;X 1 +1 ”2 十 1

18、;.(k2+l)x,x2+(2k+1)(%,+工2)+5 =0 将 式 代 入 整 理 即(斤+1)二 +(2上+1)-+5=0 ,即纵公+1)_1 6乂2 4 +1)+5(3 +4/)=0 ,解得%=-1 +或女=-1 -.4 4经验证，4=-1+还 或 太=-1 -地使成立.4 4故存在 =_1 +亚 或4=_1 一 地，使得以CD为直径的圆过点E.4 4变式训练1：已知椭圆C的离心率6 =乎，长轴的左右端点分别为4（一血,0）,4（V 2,o）（1）求椭圆c的方程；（2）设动直线/：丫 =丘+匕与曲线C有且只有一个公共点P,且与直线x=2相交于点。，求证：以PQ为直径的圆过定点N(1,O

19、).【答案】/+丁=1；(2)证明见解析.22 2解析：(1)椭圆长轴端点在X轴上一可设椭圆方 程 为 +3=1(“0),由题意可得:a2=b2+c2C V2e=a 2a=42“=及 ，解得：6=1 ，椭圆C 的方程为：+/=1；c=l 2八 2 1(2)由 5 得：(1+2公卜?+4必X+2-2 =0,y=kx+b曲线C 与直线/只有一个公共点，.=8(1+2公一从)=0,即从=2 r+1,4kb 2kb 2k设P(呼，力)，则X -而和铲=一了，(y=kx+b x=2/、由 9 得：“+/,即 Q 2,2左+。；x=2 y=2k+bN(l,0),.NP=L-1，W，NQ=(,2k+b),2

20、k 2k+b:.NP NQ=-1 +-=0,即 NP_LN。，h h 以PQ为直径的圆恒过定点N(l,0).变式训练2：椭圆C:5+/=l(a ()的 离 心 率 为 设。为坐标原点，A 为椭圆C 的左顶点，动直线74过线段A。的中点8,且与椭圆C相交于尸、Q两点.已知当直线4 的倾斜角为4 5 时，P Q =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)是否存在定直线4：x=f,使得直线的、AQ分别与 相交于M、N 两点，且点B总在以线段MN为直径的圆上，若存在，求出所有满足条件的直线4 的方程；若不存在，请说明理由.2 2o【答案】上+=1；(2)存在，且直线4 的方程为x=-4 或4 35c 1

21、I解析：(1)因为一=7,则Q=2T,b=ya2 c2=/3ca 22 2所以，椭圆C的 方 程 为=+二=1,即3 V+4 y 2=1 2/,4 c 3 c易知点A（-2 c,0）,则点B（-c,0）,当直线6的倾斜角为45时，直线4的方程为 了 =+。,设点尸（/，x、）、。伍/，必、），联立、+y3=dx+4c），2 =1 2。2，可得7炉+8廿一8 c 2 =0,A =64 c2+4 x7 x8 c2=3 2 x9 c2 0 由韦达定理可得%+=一亍，x,x2=所以，|P Q|=J l+F .J（X 1+XJ-4 X 1 X 2 =T号j+=与,2 2解得c =l,则a =2,b=y/

22、3,因此，椭圆C的标准方程为匕+乙=1.4 3（2）易知点8（-1,0）,若直线4与x轴重合，则 尸、。为椭圆C长轴的两个端点，不合乎题意.设直线4的方程为*=冲-1 ,设点P（X”X）、。（当，必），联立x=my-l3 x2+4 y2=1 2可得(3m2+4)y2-6my-9=0,A =3 6/n2+3 6(3 w2+4)=1 4 4(/n2+l)0,由韦达定理可得。，w?，3 w+4 3m-+4直线A P的斜率为砥/=士 =七7,直线赫 的方程为丫=1 7（尤+2），%+2 fny1+1 myi+1故点M1(f+i)x、m y+L,同理可得点N r?l 吵+1 J(/+2)凶)(/+2)%

23、)BM=t+5 ,BN=t+l在I m y +i )l 6%+1 )由题意可得B M-8 N =（+1）2+-0 +2）0%_=（/+1）2-2 +2）2=0,江%+“（+%）+1 4、Q解得f=T或r =.Q因此，存在满足题设条件的直线3且直线4的方程为x=-4或*=-1,点8总在以线段MN为直径的圆上.变式训练3：已知椭圆C与双曲线丁-=1有公共焦点，且右顶点为N（2,0）.（1）求椭圆C的标准方程;设直线/：y =+m与椭圆。交于不同的A,5两 点(A,4不是左右顶点)，若以A8为直径的圆经过点N.求证：直线过定点，并求出定点.【答案】(1)+2 =1；(2)证明过程见解析，定点为(0)

24、.4 5解析：(1)双曲线/一 =1的半焦距为：心+(扬2=6,所以椭圆的焦点坐标为：(6,0),(-6,0),椭圆的右顶点为N(2,o),2 2设椭圆的标准方程为：5 +马=1(。人 0),az b-所以 a =2,c =G =b2=a2 c2=4-3 =1,因此椭圆的标准方程为：+/=1;4(2)直线/方程与椭圆方程联立，M 2 1得 4 n(l+4%2)x+8 A/nx+4 m2 _4 =0,设以对,卜旗,当)，y=kx+m于是有：A =(8 fon)2-4(1+4k2)(4 w2-4)0 =m2 -3 +4+/=0,化简得：1+4 41+4匕5m2+6km+l2k2=0 =(5 m+6

25、攵)(7 +2攵)=0=机=一攵或机=一2攵,显然满足疗v 4+1,当帆=-2左时，y=kx+m y=kx-2k y=k(x-2),此时直线/过椭圆的右顶点不符合题意;当初=|左时，y=kx+m=y=kx-k=y=k(x-)f此时直线/恒过点号,0),综上所述：直线过定点，定点为4,0).考点二：直径圆过定点(求定点)例 1.设椭圆C：V+与=1 (。6 0)的离心率为:，点A为椭圆上一点，耳4 鸟的周长为6.(1)求椭圆C的方程；(2)设动直线/：丫 =+m 与椭圆C有且只有一个公共点P,且与直线x=4 相交于点Q.问：x 轴上是否存在定点”，使得以尸。为直径的圆恒过定点M?若存在，求出点”

26、的坐标；若不存在，说明理由.2 2【答案】(1)三+工=1；(2)存在，M(1,O).4 3解析：(1)由e =g 可得a=2 c,书人心的周长为1 0,所以耳A+耳心=1 0,即 2 a+2 c =6 联 5 7.得：。=2，c =1 ,Z?=Ja?/=/4 1 =5/3 f.椭圆的方程为片+=1;4 3(2)设点2%,%）.y=kx+m由 “J ，得（3+4%2 b2+8 叱+4（/_ 3）=（）,-1-=14 3 =（86）2-4（3 +4 4 2）.4（/-3）=0,化简得必2_/+3=0,4km 4k 3一 行 TK%=获m）由y=kx+tn,得 室,4 +办假设存在点M（4 0）,

27、4k 3则例尸=（-xp）,知。=（4 一%,4 k+根），m tnV以P。为直径的圆恒过“（七,0）点，J MP MQ=O,6k 43 2 1 2 A即-+L-4 x+xl+3 =0,tn m m（4 x,-4）+A7 -4 玉+3 =（）对任意攵，机都成立.4%4 =0则|x：_ 4 5+3 =0解得=1,故存在定点”（1,0）符合题意.变式训练1：已知点耳（-1,0）,圆&（-1）。/=8,点 Q在圆巴上运动，。耳的垂直平分线交。尸 2 于点匕（1）求动点尸的轨迹的方程C；（2）过点（0,-；）的动直线/交曲线C 于 A B 两 点,在），轴上是否存在定点T,使以他为直径的圆恒过这个点？

28、若存在，求出点T的坐标，若不存在，请说明理由.【答案】+丁=1；（2）存在，mi）.2解析：（1）由题可知,忸耳|=|尸，则归町+|P 闻=|P Q|+|P 国=|0 闻=202阳 用=2,由椭圆定义知P的轨迹是以F l、K 为焦点，且长轴长为2 亚的椭圆,a=2,c =1 ，b1=a1 c1=1,.P 的轨迹方程为C：y +/=l；（2）假设存在T（0,t）满足题意，易得A B 的斜率一定存在，否则不会存在T满足题意，设直线AB的方程为丁 二依-!，4（%，%），8（/,必），,1y=kx 联 立,3,化为（1 +2 公卜2 一 如 弋=0,易知A 0恒成立，+/=1 3 91 24k1 6

29、+=乖可*一而可*）U li UU由题可知，TA TB=(x,yl-t)-(x2,y2-t)=x2+(y=xx2+例一k(%+/)-|+产=（1 +公 居 占 一 快+）2(川+占)+,+/+厂=将（*）代入可得:-1 6(1+公9(1 +2 公4k 1 2 2 八-7-TT H-F -/+r =0,3(1 +2 阴 9 3即（1 8/一 1 8*2 +（9 产 +6/-1 5）=0,18Z2-18=09Z2+6/-15=0解 f =l,.在y 轴上存在定点T（0,1）,使以AB为直径的圆恒过这个点T.解析：（1）由椭圆的定义可知,A8 8的周长为4。=8,即”=2,2C=1 ,又*a1=b2

30、+C1 f b=百,2 2故椭圆c的方程为：三+二=1,4 3y=kx+m（2）将/联立，消元可得（4 公+3 卜2+8 0 我+4 加-1 2 =,-F -=14 3.动直线/：=辰+，与椭圆E 有且只有一个公共点P,A=（8 f on）2-4（4 Jt2+3）（4/n2-1 2）=0,.*4 公一m 2+3 =0,I y=fct+,/、由 L 得 Q（4,4-m）,X 4假设在X 轴上存在定点M,使得以P Q 为直径的圆恒过点M,设M(毛,0),则M P.M Q =0,M Q=(4-x0,4k+m),M P-M Q =-xn(4-xt)+-(4k+m =0 m )m整理得(%-1)(当+/

31、-3)=0,对任意实数m,k 恒成立，则%=1,故在x 轴上存在定点M(L O),使得以P Q 为直径的圆恒过点M.变式训练3：已 知 A:X2+/+4X-20=0,直线/过3(2,0)且与 A 交于C,。两点，过点8作直线A C 的平行线交A O于点E.求 证：|刚+|所|为定值，并求点E的轨迹7的方程；(2)设动直线:丫=丘+机 与 T相切于点P,且与直线x=3 交于点2,在x 轴上是否存在定点M,0),使得以P Q 为直径的圆恒过定点M?若存在，求出M 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】证明见解析，9+?=1 (0)；(2)存在，M(2,0)6 2解析：(1)圆 A：(x+2)2+/=

32、2 4,r=2 x/6V A C =AD,：.Z A C D =ZA D C,又 BE A C,:.N E B D =Z A C D：.Z E B D=：Z E D B ,：.|=|ED,故|即+|4|=|+|E4|=2 几|阴=4点的轨迹是以A,8为焦点的椭圆，且2 a =2 ,2 c =42 2*.b2=a2 c2=2 1 故 T：+=1 (y 0 0 )；6 2y=kx+m(2)由，f J,得(1 +3 炉)d+6 Az/Ai r+3 帆*-6 =0-F =11 6 2A=(6 戊)、4(3 -6 乂1 +3 公)=0,故 川=2(1 +3 公),设(毛，儿)，贝 i J x()=一 若

33、 一=一竺，+相=2,/3K+1 m m故 pf-1,。(3,3 4 +a),m m)由 P M Q M=0 可得：(f-3)f r+j +(3 ZC+/M)=0I m J m由产一 3 r+2 +6(f-2)=0 对V k,加恒成立?-3 z +2 =0 n f =2-2 =0故存在M(2,0)使得以P。为直径的圆恒过定点M考点三：直径圆过定点(求圆的方程)例 1.已知定点4 0,百)，8(0,-石)，动点P与 A,8连线的斜率之积勺(1)设动点P的轨迹为G,求G 的方程；(2)若 C,是G 上关于y 轴对称的两个不同点，直线AC,B O 与x 轴分别交于点M,N.试判断以MN为直径的圆是否

34、过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由.2 2【答案】三+二=1(犬#0)；(2)以MN为直径的圆过定点，定点坐标为(0,2)和(0,-2).4 3解析：(1)设点P(x,y)(x*0),则直线P A,P B的斜率分别为：即“=匕 叵，*:匕 6,X X依题意，匕 .小 叵=_ 3,化简整理得：4-2 1 =1,x x 4 4 3,2所以G 的方程是：?+q =i(xw 0).由 知，令C(x0,%)(x#0)是G 上任意一点，则点直线A C：卜=止 立 x+K,则点M(-总 会,0),直线跳)：丫 =生 芭 -石，则点N(-百、,0),%-J 3 -玉%+3以M N 为直径的圆

35、上任意一点Q(x,y),当点Q与 M,N都不重合时，MQ1 N Q ,有M Q.N Q =0,当点Q与 M,N之一重合时，M0 N =O 也成立，因此，以M N 为直径的圆的方程为：(x+-H y W O,No-6%+6化简整理得：/+/+等乎、+与 1=0,而芯.+g=1,即4 _ 3 =_?片，%一 3%3 4 3 4则以M N 为直径的圆的方程化为：/+丫 2 _坐 _ 4 =0,显然当x=0 时，恒 有 丁=4,即圆/_ 幽4=0恒过两个定点(0,2)和(0,-2),3%所以以M N为直径的圆过定点，定点坐标为(0,2)和(0,-2).2 2变 式 训 练1：如图所示，椭圆C:+/=l

36、(a 6 0)的左、右焦点分别为6、%左、右顶点分别为A、B,P为椭圆上一点，连接尸耳并延长交椭圆于点。，已 知 椭 圆 的 离 心 率 为PQE的周长为8.(1)求椭圆C的方程；(2)设点P的坐标为(为,%).1 1 1 当 国 丽，两 成 等 差 数 列 时 求 点P的坐标;若直线2 4、尸8分别与直线x=4交于点M、N,以M N为直径的圆是否经过某定点？若经过定点，求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.【答案】工+片=1;P(0,6)或尸(0,-。);过定点(7,0)、(1,0),理由见解析.4 3f 4=8a=2 解析：(1)由题设，易知：卜 _1 ,可得-1则b=G，.椭圆C:三+

37、汇=1.4 31 1 2 2,(2)由(1)知：国j+师 =7闰=五=令|P F=m，则IP鸟 1=2。-机=4-，A-+1 =l,解得m=2,故|对日空|=2,此时P(0,6)或尸(0,-君)m 4一 机 由(1),A(-2,0),3(2,0),.可令直线小：=j(x +2),直线8：y=、(x-2),x(,+2 x0-2.将x=4代入直线可得：M(4,鼻),%+2阳4,9)，则圆心4含+)且半径为R=1含一六I,/.M N为直径的圆为(1-4)2+(y-3%为)2 =(3%x(4-2 x0-2 x0+2 x0-2当 好。时，(x-4)2=辱，=3(1-4)-4一/4J 0-4)2 =9(/

38、：。)=9,可得x=7或x=l.4 一 片.M V为直径的圆过定点(7,0)、(1,0).变式训练2：已知椭圆c J +=l(a b 0)过点40,1),离心率为日(1)求椭圆C的方程;(2)过点A作直线/,/与直线丫 =2和椭圆C分别交于两点M,N(N与A不重合).判断以MN为直径的圆是否过定点，如果过定点，求出定点坐标；如果不过定点，说明理由.2【答案】(1)二+丁=1；(2)过定点，定点为(0,-1)3解析：(1)由题意得，b=,=峥，a 3又因为所以2=3.所以椭圆C的方程为+y 2=i.3 -(2)以MN为直径的圆过定点(0，-1).理由如下：当直线/斜率存在时，设直线/的方程为y

39、=+l (女*0).令 =2,得所以M(；2).k ky=kx+,由2 得(1 +3公)/+6-=0y+r=1所以 N(1-3 X)加 以(l +3 5 l+3 k 则x =或谈设 尸(x，y)是以MN为直径的圆上的任意一点，16k 1 一弘2则g=。-工/-2),?/P =(x +-,y-k 1+3 公 1+3 Z由题意，M P-N P =。，则以MN为直径的圆的方程为(x +T%)(x-：)+()，-；)(y-2)=0.1 +3 4-k +3kBP 3(x2+y2-y-2)女3 +3xk2+(J+y2-3y-4)k-x=()T亘成立.x =0,即，y 2 _ y _ 2 =0,解得y2-3

40、 j-4=0,x =0,y =-i-故以MN为直径的圆恒过定点(0,-1).当直线/斜率不存在时，以MN为直径的圆也过点(0,-1).综上，以MN为直径的圆恒过定点(0,-1).考点四：点在圆内或圆外例 1.已知椭圆C:+W =l(a 0),离 心 率 为 巫，椭圆上任一点P满足|P 用+|尸闾=4.a b 2(1)求椭圆c的方程；若动直线丫=履-2 与椭圆c相交于M、N两点,若坐标原点0总在以MN为直径的圆外时，求左的取值范围.2【答案】工+尸=14(2)-k 2 -2 k 0解得：即：k昱4 21 6 及 1 2或k-立2历+工2=而1 +4公.坐标原点。总在以M N为直径的圆外，OM O

41、Nb则：0M.O N =X/2 +y 必=中 2 +(3 -2)(心-2)5=(+k2xyx2-%(卑+X 2)+即(1+日上 2酸 g+4 。将(*)代入此式1+4/1+4公解得：/_4 0,即-2 攵 昱 或k-2 2:.-k 2 .-2 k 6 0),以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形，斜率为&的直线/经过点M(0，D,与椭圆C交于不同两点A、B.(1)求椭圆C的标准方程;(2)当椭圆C的右焦点F在以A B为直径的圆内时，求z的取值范围.【答案】（1）3r2 +牛v2=1；（2）（-815）8 4 8解析：（1）依题意作图如下：a =y/2b=f 2c a2=

42、8,Z2=c2=4,2 2椭圆的方程为：二+二=1;8 4 设A a,%)、B(x2,y2),先假设直线1的斜率k存在，则直线/的方程为丫=履+1,联立椭圆与直线1的方程：-2。121=1 8 4 ,解得(1 +2公+4日 6 =。，y=kx-v由于尸（2,0）,A（X QJ,B（x2,y2）,A F =（2f,-y）,8尸=（2 -吃,一%）,点 F 在圆内，故 AA 访 丁=1 +(A-2卜 丁*+5 0,解得：0，恒成立，依题意，耳 尸 耳。0,又 /=(%+&,%),6。=(&,&),二.V 2(x0+/2)2kyQ 0 ,B p f 2xQ+2 lk(kx y/lk)0 ,V 2 x

43、o+2-/2 P(xo-V 2)O,丫 2 1 一 9又 o2=1 -=k?(x0-V 2)2,贝!J 卜?_ _ _ _ _3 ，(x0-V 2)2 r-r,2 r 加&(气 2)0 信+2 )2。一 回 0,即 3 。-&)又。为 0)的离心率e 为/,左 顶 点 为 A,直线/过其右焦点F且与椭圆交于OE两点，已知三角形4 7)面积的最大值为3 6.(1)求椭圆C的方程；(2)直线A。、A E 分别与一条定直线x=?(m 0)交于“点 F始终在以MN为直径的圆内，求，*的取值范围.N两点,【答案】（1）?+。=1；（2）0 w 4A/2 0 0解析：(1)三 角 形 面积，=g(a +c

44、)力=3 百,ae =；=；可得，=2 上.r-I b=,=V 2（2）由题设/的倾斜角不为0,.,设/：x=ty+2,与 +2=1 联立,o 6（3/+4）/+6 岛-1 8 =0,设 看,*),(,为)，卜2 衣 0),6M-1 8%=一港高、跖=EM tn,-=（/7?+2 V 2）,I X+2 J 2 ）同理N m,%（加+2 行）（+2 J2.Y 必=_ _ _ _ _ _ _-一,x+2 V 2 X2+22（m+38）（叽+-1-8-二1一 1 8+3-伍）+1 8（3 /+4）4.%以=-%+2 可，F M -F N 。，网 在 0）,（m-五）+X w ,0，A-w2-3 5/

45、2/n 0,4*-0 m 6 0)经过点 设 右 焦 点 F,椭圆上存在点。，使。尸垂直于x 轴且网考(1)求椭圆C的方程；(2)过点8(0,2)的直线/与椭圆交于R G 两点.是否存在直线/使得以OG 为直径的圆过点双-1,0)?若存在,求出直线/的方程，若不存在，说明理由.丫 2 7【答案】(1)土+丁=1；(2)存在，x=0 或 y=/x+2.36解析：由题意，得b =l，设*。,0),将 x=c 代入桶圆方程，得 y =_,所 以 生=且，解得 所以椭圆C的方程为二+丫 2=1.a 3 3当/斜率不存在时，即/:x=0 时，D,G 为椭圆短轴两端点，则以。G 为直径的圆为f +y 2=

46、l,恒过点E(T O),满足题意；当/斜率存在时，设/:y =+2,0(%,y j,G(w，%),由，y=fc c+2/2 得:4-y =13 ，(l+3)t2)x2+1 2 fc v +9 =0,；.A =1 2(3 左 2 3)0,解得：k2l.n k 9X1.+X-2=-1 -+-3-抬-7 ，X,1 X-2 =-1 -+-3-公T,若以。G为直径的圆过点E(1,0),则EGJ.ED,E G E D =0,又 =(XI+I,yj,E G =(x2+l,y2),ED-E G =(X+0(&+l)+y,y2=(x(+l)(x2+1)+(+2)(fcr2+2)=(二+l)x(x2+(2&+l)

47、(x,+x2)+5%2+9 24k2+12k,、1 +3公 1 +3427 7解得：k=g 满足公1,即左 0,此时直线。G的方程为y=：x+2.O6综上，存在直线/使得以。G为直径的圆过点仪-1,0),/的方程为x=0或y=x+2.2.已知抛物线C：y2=4 x,直线/经过点4(?,0),且与抛物线C交于M N两点，其中相 0.若m=1,且|4W|=4,求点M的坐标；(2)是否存在正数团，使得以MN为直径的圆经过坐标原点O,若存在，请求出正数?，若不存在，请说明理由.【答案】(3,2 6)或(3,-26)；(2)存在，m=4解析：(1)依题意得A。,。)为C的焦点，故眼川=4=与+1，解得X

48、“=3,故=12,则 yM=26.点的坐标(3,2百)或卜,2 6)；(2)假设存在正数?，使得以MN为直径的圆经过坐标原点。,OM A.O N ,OM O N =0设直线/：x=ty+m,(m0),M(xy,),N g 4y2=4x由 ，得 y?-4(y-4/n=0 x=ty+mA=16/2+16/n 0,贝 i J y i 当n T m,%x,=&=，/,4 4OM I O N,OMON=0,A%+=/+（T m）=0,解得，*=4 或 2 =0 （舍去）所以存在正数加=4,使得以M N为直径的圆经过坐标原点O.3.已知焦点在y 轴上的抛物线过网2,2）（1）求抛物线的标准方程及准线方程；

49、（2）已知直线/：y =x+b 仅/0）与抛物线交于点A,B,若以A 3为直径的圆过原点。，求直线/的方程.【答案】x?=2 y；y =-g；（2）y=x+2解析：（D根据题意可设抛物线的方程为f=2 p y（p o）,代入点尸（2,2）得4 =4p,解得p =l,所以抛物线的标准方程x?=2 y,准线方程为y =-g；设 A（冷 乂）,8（,%），=2 V联立 -:,消 y得：x2-2x-2b=0,y=x+bA =4+8 Z 0,贝！人-2，玉 +%=2,%电=-2b,因为以A B 为直径的圆过原点O ,所以。4 _ L O B,则。4.0 8 =0，即 xtx2+yty2=0,即玉电+（芭

50、 +b）（+b）=2xlx2+bxi+x2）+b1=0,所以4-从=0,解得6 =i 2,又A-g,所以b =2,所以直线/的方程为y =x+2.4.已知椭圆C:+/=l（a 0）的左、右顶点分别为A，4,上下顶点分别为餐，B2,四边形4 4 4 刍4的面积为4,且该四边形内切圆的方程为丁+产=二.（1）求椭圆C 的方程；（2）直线/：y=H+（&，?均为常数）与椭圆C 相交于M,N 两个不同的点（M,N 异于4,4），若以脑V为直径的圆过椭圆C 的右顶点&,试判断直线/能否过定点？若能，求出该定点坐标；若不能，请说明理由.【答案】（1）+/=1；直线/过定点，该定点为（割.解析：（1）四边形