2023年青海省西宁市大通高考冲刺数学模拟试题含解析.pdf

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1、2023年高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知抛物线V=4 x的焦点为产，准线与1轴的交点为K,点。为抛物线上任意一点/仔厂的平分线与x轴交于（见0）,

2、则加的最大值为（）A.3-272 B.273-3 C.2 D.2-后2.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，它历史悠久，风格独特，神兽人们喜爱.下图即是一副窗花，是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点，则该点不落在任何一个小正方3.已知等差数列%的前项和为S“，4=7,邑=9,贝!J%o=()A.25 B.32 C.35 D.404.(l+2x)(l+x)s的展开式中f的系数为()A.5 B.10 C.20 D.305.已知四棱锥A 3C D,

3、底面48。是边长为1的正方形，1,平面EC_L平面48CD,当点C到平面A8E的距离最大时，该四棱锥的体积为（）72 1 V2A.B.-C.D.16 3 36.我国古代数学家秦九韶在 数书九章中记述了“三斜求积术”，用现代式子表示即为：在AABC中，角A,民。所对 的 边 分 别 为c,则A A B C的面积S=-4.根据此公式，若acosB+（Z?+3c）co sA =0,且/一 一 2=2，则A A B C的面积为（）A.y/2 B.2 V 2 C.7 6 D.2 V 37 .设点A,B,C不共线，则“（荏+恁）_1斤”是 而|=|而 卜（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必

4、要条件 D.既不充分又不必要条件8 .某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为。，设地球半径为R,该卫星近地点离地面的距离为，则该卫星远地点离地面的距离为（）1-e 2 e ”-r+R1+e 1+e1-e e 门D.r+Rl+e 1+e9.数列 4 满足：。“+2+。”=4+1，%=1,2=2,5 为其前项和，则 S 2 0 9=（）A.0 B.1 C.3 D.4lo g j x,0 l,)A.(-1,0)B.(-00,0)U(l,+o o)C.(-o o,-l)U(0,4 o)D.(0,1)“f X2+1 0 x+1,X 0/、/、1 1 .设函数X)=r0若关于x

5、的方程x)=a(ae R)有四个实数解x,(i =1 2 3,4),其中X 无3 0,y 0,x+3 y =5 x y,则x+2y 的最小值是14.已知复数z=（m2 -2）+（加一1），对应的点位于第二象限，则实数，”的范围为.15.古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火 克 金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 种.（用数字作答）,、316.已知 4 为等比数列，S”是它的前项和.若生生=2 4,且与2%的等差中项为1,则a=.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算

6、步骤。17.（12分）某企业对设备进行升级改造，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了 10（）件产品作为样本，检测一项质量指标值，该项质量指标值落在区间 20,40）内的产品视为合格品，否则视为不合格品，如图是设备改造前样本的频率分布直方图，下表是设备改造后样本的频数分布表.图：设备改造前样本的频率分布直方图表：设备改造后样本的频率分布表（1）求图中实数 的值;质量指标值15,20)20,25)25,30)30,35)35,40)40,45)频数2184814162（2）企业将不合格品全部销毁后，对合格品进行等级细分，质量指标值落在区间 25,30）内的定为一等品，每件售价240元；质量指

7、标值落在区间 20,25）或 30,35）内的定为二等品，每件售价180元；其他的合格品定为三等品，每件售 价120元，根据表1的数据，用该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.若有一名顾客随机购买两件产品支付的费用为X（单位：元），求X的分布列和数学期望.1 8.（1 2 分）如图，已知三棱柱ABC 4 4 G中，AABC与 是 全 等 的 等 边 三 角 形.（1）求证：B C AB,；（2）若 c o s/4 6 A =；,求二面角B gC A的余弦值.1 9.（1 2 分）（选修4-4：坐标系与参数方程）V -yj3 co s c

8、 i在平面直角坐标系x Qy,已知曲线。：.（。为参数），在以。原点为极点，1轴的非负半轴为极轴建立y=sina的极坐标系中，直线/的极坐标方程为日Pco s（e+?）=-i.（1）求曲线。的普通方程和直线/的直角坐标方程；（2）过点M（1,0）且与直线/平行的直线4 交 C 于 A,8两点，求点M 到 A,8的距离之积.2 0.（1 2 分）如图所示，已知正方形ABC D和矩形A C E F 所在的平面互相垂直，AB=夜，A F=1,M 是线段EF的中点.求证：（1）AM平面B D E；（2）A M J L 平面 B D F.2 1.（1 2 分）如图，在三棱锥 P-ABC 中，P A =P

9、 B =A B =2,B C=3,NABC =90,平面 平面 A B C,分别为AB、AC 中点.（1）求证：A B Y P E t（2）求二面角A依 E的大小.2 2.（1 0分）已知函数 x）=ax1+12bx其中 a 0,b 0.（1）求函数/（x）的单调区间；若对当满足 专。=1，2）,且 西+。，工 2 0.求证：玉）+2/（）骼.函 数 g（x）=；o?一若 x，x2 c（0,击）对任意，x产，都有（5）-/（）1 3（石）一g（%）l，求一4的最大值.参考答案一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A【解

10、析】x+1 1 m求出抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义，转化求出比值，一 力 丁=773，J（x+l）-+4 x 1 +机求出等式左边式子的范围，将等式右边代入，从而求解.【详解】解：由题意可得，焦 点 尸（1,0）,准线方程为x=T,过点P作 PM垂直于准线，M 为垂足，由抛物线的定义可得|PF|=|PM|=x+L记N K P尸的平分线与x轴交于(m,0),(-l m l)根据角平分线定理可得|P%F =|PM=|匕F才HrK|rri Kn _x_+_l_ _ _-_m_-J(x+i y+4x i+加当 x=0 时，m=0,当x w O时,x+1J(x+1)2 +4x 匕 0/?/3-2

11、V 2，2 1 +m综上：0 加43-2行故选：A.【点睛】本题主要考查抛物线的定义、性质的简单应用，直线的斜率公式、利用数形结合进行转化是解决本题的关键.考查学生的计算能力，属于中档题.2.D【解析】由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比，即可求解.【详解】由题,窗花的面积为1 2 2 -4x1 =1 40,其中小正方形的面积为5 x4=2 0,所以所求概率产1 40-2 0 61 40 1故选:D【点睛】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.3.C【解析】设出等差数列 q 的首项和公差，即可根据题意列出两个方程，求出通项公式，从而求得40.【详解】设等差数列%的首项为

12、4,公差为4,则见=4 +2 d=7 c，解得 q =_ l，d=4,=4 _ 5 ,即有4o =4 x 1 0 5 =35 .5+3=9故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式的求法和应用，涉及等差数列的前项和公式的应用，属于容易题.4.C【解析】由(l+2 x)(l+x)5 =(1 +戏 5+2*(1 +尤)5 知，展开式中工 2 项有两项，一项是(1 +X)，中的/项，另一项是2 x 与(l+x)5中含X的项乘积构成.【详解】由己知，(1 +2 x)(1 +x)5=(1 +%)5+2 x(1 +%)5,因为(l+x)5 展 开 式 的 通 项 为 所 以展开式中x2的系数为C；+

13、2C；=2 0.故选：C.【点睛】本题考查求二项式定理展开式中的特定项，解决这类问题要注意通项公式应写准确，本题是一道基础题.5.B【解析】过点E作 E _ L C D,垂足为H,过/作垂足为凡 连接E E因为C。/平面A 8 E,所以点C 到平面77A8E的距离等于点”到平面A6 E的距离力.设/。石=。(0,垂足为，过作垂足为尸，连接EE因为平面EC。，平面A8C。，所以平面ABC。，所以E H 上H F.因为底面A6CZ)是边长为1的正方形，H F/A D,所 以 板=AD=1.因为CD/平面ABE,所以点C到平面A B E的距离等于点H到平面A B E的距离.易证平面E F H，平面A

14、BE,所以点H到平面A8E的距离，即为打到E尸的距离爪TT_ _不妨设NCDE=e(0 8 W ),则E/=s in 6,所=Jl+sin”因为S.EHF=；E F h=g E H F H ,所以。Jl+sh?8=sin。，_ sing _ 1 V2所 以=J +sin?/1 +1“下，当6=5时，等号成立-1 ,1此时 E 与 EO 重合，所以 E H =1,VE_A BC D=-x 1-x 1 =-.故选：B.【点睛】本题考查空间中点到面的距离的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力,求解时注意辅助线及面面垂直的应用.6.A【解析】根据QCOS8+(Z?+

15、3C)COSA=0,利用正弦定理边化为角得sinAcosB+cosAsinB+3sinCcosA=0,整理为sinC(l+3cosA)=0,根据sinC w O,得cosA=g,再由余弦定理得儿 =3,又 咨 一廿_ f=2,代入公式【详解】由 a cos B+仅+3 c)c o s A=0得 si n A c o s B+c o s A si n B+3 si n C e o s A =0,即 si n (A +3 si n C c o s A=0f 即 si n C(1 +3 c o s A)=0,因为s i n C w O,所以C O S A =1-32由余弦定理/一万2。2 =-2 c

16、 c o sA=-be=2,所 以 历=3,1 /2 i 2 2、2由A A B C的面积公式得S=-(he)2-一也V4 I 2J故选：A【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理以及类比推理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.7.C【解析】利用向量垂直的表示、向量数量积的运算，结合充分必要条件的定义判断即可.【详解】由于点A,B,C不共线，贝！I（A f i +A C）BC（A B +A C）B C =O （A B +A C）-（A C-A B）=A C2-A f i2=OXC2=网=|罔”；故“（而+/）_ L或，是“|同=|/”的充分必要条件.故选：C.【点睛】本小题主要考查充分、必要条

17、件的判断，考查向量垂直的表示，考查向量数量积的运算，属于基础题.8.A【解析】由题意画出图形，结合椭圆的定义，结合椭圆的离心率，求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离.【详 解】椭圆的离心率：e=-e（O,l）,（c为半焦距;a为长半轴）,a设卫星近地点，远 地 点 离 地 面 距 离 分 别 为r,如 图：1 r+R所 以a =-l-e(r+R)el-eDn=a+c R =-r-+-R-+e-(-r-+-H-)-RD =-1-+-er +-2-e RDl-e l-e l-e l-e故选：A【点 睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法，注意半焦距与长半轴的求法，是解题的关

18、键，属于中档题.9.D【解 析】用+1去 换4+2 +4=4+1中 的“，得 氏+3+。向=。+2,相加即可找到数列 a,的周期，再利用S2019=336s$+4+4 +。3 计算.【详 解】由已知，。“+2+4=4用 ，所 以4+3+4加=4+2，+，得/+3=一.“，从 而4+6 =4,数 列 是 以6为周期的周期数列，且 前6项 分 别 为1,2,1,-1,-2,-1,所 以S 6=0,S2 0 1 9 =336（。1+ci-,+F。6）+%+a,+。3 =。+1 +2+1=4.故选：D.【点 睛】本题考查周期数列的应用，在 求$2 0 1 9时，先算出一个周期的和即S 6,再 将 2

19、0 1 9表 示 成3 3 6 6+4+4+%即可，本题是一道中档题.10.C【解析】转化g(X)=/(X)+6有1个零点为丁=/。)与 旷=-日 的 图 象 有1个交点，求导研究临界状态相切时的斜率，数形结合即得解.【详解】g(x)=/(x)+A x 有 1 个零点等价于y=/(x)与y=-乙的图象有1个交点.记/?(%)=-x(x-l)(x-3)(x 1),则过原点作 h(x)的切线,设切点为(无o,为)，则切线方程为 y-/(x0)=hxQXx-xQ),又切线过原点，即/(%)=(入0)/，将 h(x0)=-x0(x0-l)(x0-3),hxo)=_3XQ+8XQ 3代入解得%=2.所以

20、切线斜率为力(2)=-3 x2 2+8 x2-3 =1,所以左1或左0.故选：C【点睛】本题考查了导数在函数零点问题中的应用，考查了学生数形结合，转化划归，数学运算的能力，属于较难题.1 1.B【解析】画出函数图像，根据图像知:%+/=1，历 七 1，计算得到答案.【详解】/（力X2+10 x4-1,x0,画出函数图像，如图所示:根据图像知：玉+=-1，lgx3=-lgX4 故西玉=1，且 自 *3所以AB_L平面B C D,又D C u平面BCD所以 A B J.O C,又O 3L O C所以作z轴 A B，建立空间直角坐标系B-xyz如图设 AB=1,所以 B D =l,D C =l,BC

21、 =g则 A(O,1,1),B(O,1,O),C(1,O,O),0(0,0,0)所 以 前=（1,而（0,1,0）所以 cos(AC,B D)二A CB D 1 _y/3|狗 师 耳=1 故选：C【点睛】本题考查异面直线所成成角的余弦值，一般采用这两种方法：（1）将两条异面直线作辅助线放到同一个平面，然后利用解三角形知识求解；（2）建系，利用空间向量，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。it 2 瓜,13.-+1.5【解析】I f 1 3 )因为x+2 y=+(x+2 y),展开后利用基本不等式，即可得到本题答案.5 1 y X)【详解】1 3由x+3 y=5花y,得 一

22、+=5,y%所以x+2 y=I(x+2 y)=5 H-1 (5 +2 I-F 1,当且仅当元=/,取等号.5 1 y x J 5 1 y x J 5 y y x 5故答案为：也+15【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，考查学生的转化能力和运算求解能力.1 4.(1,7 2)【解析】由复数二=(-2)+(%-1)，,对应的点(笳-2,m1 )在第二象限，得m 2 _ 2 (),从而求出实数，的范围.【详解】解：.复数Z =(加 一2)+(加一1 对应的点(加2,加一1)位于第二象限，.加2一2 0,1 m y/2，故答案为：(1,0).【点睛】本题主要考查复数与复平面内对应点之间的关系，解

23、不等式加2一2 0是解题的关键，属于基础题.1 5.1.【解析】试题分析：由题意，可看作五个位置排列五种事物，第一位置有五种排列方法，不妨假设排上的是金，则第二步只能从土与水两者中选一种排放，故有两种选择不妨假设排上的是水，第三步只能排上木，第四步只能排上火，第五步只能排上土，故总的排列方法种数有5 x2 xl xl xl=l.考点：排歹U、组合及简单计数问题.点评：本题考查排列排列组合及简单计数问题，解答本题关键是理解题设中的限制条件及“五行”学说的背景，利用分步原理正确计数，本题较抽象，计数时要考虑周详.1 6.-1 1【解析】设等比数列 4 的公比为4,根据题意求出小和 生 的值，进而可

24、求得4和4的值，利用等比数列求和公式可求得S5的值.【详解】由等比数列的性质可得24=/。3=。必4，=2,3 3 3 1 1由于由与2%的等差中项为1,则2+2%=,则2%=5-a,=一，。7=-，4 十=1,4=十 一16,因此，5=1一 夕4(1守)=“2故答案为：-11.【点睛】本题考查等比数列求和，解答的关键就是等比数列的公比，考查计算能力，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)a=0.080(2)详见解析【解析】(1)由频率分布直方图中所有频率(小矩形面积)之和为1可计算出。值;(2)由频数分布表知一等品、二等品、三 等 品 的 概

25、率 分 别 为 选2件产品，支付的费用X的所有取值为240,2 3 6300,360,420,4 8 0,由相互独立事件的概率公式分别计算出概率，得概率分布列，由公式计算出期望.【详解】解：(1)据题意，得0.008x5+0.032x5+54+0.024x5+0.036x5+0.020 x5=1所以 a=0.080(2)据 表1分析知，从所有产品中随机抽一件是一等品、二等品、三等品的概率分别为2 3 6随机变量X的所有取值为240,300,360,420,480.P(X=240)1 1 1x_6 6-361-9-1-6X1-3P（X=300）=C；P（X=360）=C；11115X x +x

26、=2 6 3 3 18P（X=420）=C；1 1X X 二2 3I3P（X=480）1 1 1=x =一2 2 4随机变量X的分布列为X240300360420480P136951832_4所以 E（X）=240 x+300 xl+360 xA +420 xl+4 8 0 x l=400（元）36 9 18 3 4【点睛】本题考查频率分布直方图，频数分布表，考查随机变量的概率分布列和数学期望，解题时掌握性质：频率分布直方图中所有频率和为1.本题考查学生的数据处理能力，属于中档题.18.(1)证明见解析；(2)好.5【解析】(1)取 的 中 点。，则与。J.B C,由 A H C 是等边三角形

27、，得从而得到8C 上平面B|A。，由此能证明BC 1(2)以。4,O B,。与所在直线分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求得二面角的余弦值，得到结果.【详解】(1)取 BC的中点O,连接A。，B。,由于AABC与 g 8 c是等边三角形，所以有A O J.BC,B,O BC,且A O nB Q=O,所以平面B|A。，4 月=平 面 g 4。，所以8C_LAB1.(2)设=AABC与与BC是全等的等边三角形,所以 B B、=A B =B C =A C BXC =a,i i 3又c o s/4&l =w，由余弦定理可得A B：=。2+/2.稣1 =5。2,在 V A四。中，有 A

28、B：=A O2 +8 Q 2,所以以Q 4,0 B,。4所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示,则A设平面ABB1的一个法向量为n=(x,y,z)令尢=1,则=(1,6,1),又平面B C耳的一个法向量为送=(1,0,0),丽=0 V 3 1一-a x+ay=O-V-3 ax H-7-3-az=_ 0n22所以二 面 角4。-4的余弦值为c o s。n-m _1X1 +V3XO4-1XO_/5忖 V 5 x 1 5即二面角B-BtC-A的余弦值为好.5【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用线面垂直证明线性垂直，利用向量法求二面角的余弦值,属于中档题目.21

29、 9.(1)曲线C：+/=1,直线/的直角坐标方程x-y +2 =0；(2)1.3【解析】试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线C 化为普通方程，再根据龙=夕8 5。,丁 =夕 311。将直线/的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）根据题意设直线4 参数方程，代 入 C 方程，利用参数几何意义以及韦达定理得点M到 A，B 的距离之积r2试题解析：（1）曲线C 化为普通方程为：+/=1,3-由 等 pcos得 pcos。一/sin6=2,所以直线/的直角坐标方程为x-y +2=0.,V2x =i+ft（2）直线4 的参数方程为 广 a 为参数）,22代 入?+丁=1化简得：2/一0/-

30、2 =0，设 A,8 两点所对应的参数分别为tvt2,则，也=-1，20.（1）见 解 析（2）见解析【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设 A S B D =N,连结NE.（母 垃A 1垃 及 N E=-，-4 A M -V /:.N E =A M 且 NE 与 AM 不共 线.；.NEAM.VNE u平面 BDE,AM F E 为所求二面角的平面角，则；O E=,D F=B,则柩4 DFE=%=百，故二面角的A PB E 大小为602 2 DF法二：平面如8 J 平面A 8 C,平 面 丛 8 n 平面ABC=4B,PDJAB,尸。J平面ABC.如图，以。为原点建立空间直角坐标系，u 3

31、.”(1,0,0),P(0,0,后)，E(0,0),；.丽=(1，0，-#)，两=(0，53，I-设平面PBE的法向量 =(x,y,z),x-6 z=0,3 令 z=C ,得 =(3,2,6).同-Z=,.OE,平 面 以8,.平面P A B的法向量为区=(0,1.设二面角的-E大小为。，由图知，cosB=c o s g )=1同 同 一2所以夕=6 0,即二面角的4一心一 大小为6 0.2 2.(1)单调递增区间【解析】,+8 ,单调递减区间/1 14 ci 4 a7;详见解析；(2)1 6 求 导 可 得/(X)=寡?,*o,再分别求解r(%)o与r(X)的解集，结合定义域分析函数的单调区

32、间即可.根据(1)中的结论，求出/(西)+2/(%)的表达式，再分为 0两种情况，结合函数的单调性分析/(4)+2/(马)的范围即可.求导分析g(x)=-a x2-l n x的单调性,再结合/(%)单调性，设芭 0，再构造函数(%)=/(x)-g(X),x e 0,，根据函数的单调性与恒成立问题可知1-7=2 o，再换元表达b-a求解最大值即可.7a【详解】解：（1）/。）=x/O,由/(%)0可得x 或x -j=,由/（%）。可得一及0,x20,.西0或玉V 0,若%0,因为，故 I M-J x2|3=,7a yja 7a由 知fC x）在,+8上 单 调 递 增&）+2 ）3/(1 _ 3

33、a yfa若玉V O,由 国 可得 0,x20,所以工2-，由f(x)在上单调递增,/(%,)+2/()/(%)+2/(-尤1 )=/(-工|)-y-综 上/(%)+2/(%2)坐 ,不妨设玉苫2，由“X）在 上 单 调 递 减,由/（工2）|卜（5）（乙）|，可得/（X i）-/（X 2）g（N）g（w）,所以 f（w）ga）-（w-g（/）,令 M（x）=/（x）-g（x）,x（0,9）,可得M（x）单调递减，所以“（力=丝=1_ +L（/T）（:阿w o在（0,上恒成立,即1-2历c 2 0在,2b上恒成立，即1-7a20,所以,b a -a =-a-2 2 I 4j+16 16所 以 炉。的最大值16【点睛】本题主要考查了分类讨论分析函数单调性的问题，同时也考查了利用导数求解函数不等式以及构造函数分析函数的最值解决恒成立的问题.需要根据题意结合定义域与单调性分析函数的取值范围与最值等.属于难题.