中学八年级数学竞赛讲座.pdf

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1、目 录第 一 讲 因 式 分 解（一）第 二 讲 因 式 分 解（二）第三讲实数的若干性质和应用 第四讲分式的化简与求值 第五讲恒等式的证明 第六讲代数式的求值 第七讲根式及其运算 第八讲非负数第 九 讲 一元二次方程第 十 讲 三角形的全等及其应用 第十一讲勾股定理与应用 第十二讲平行四边形第十三讲梯形第十四讲中位线及其应用 第十五讲相似三角形（一）第十六讲相似三角形（二）第十七讲*集合与简易逻辑第一讲因式分解(一)多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之 中，是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法 与技巧，不仅是掌握因式

2、分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的 思维能力，都有着卜分独特的作用.初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式 法、分组分解法和十字相乘法.本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍.1.运用公式法在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常 用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)：(2)a22a b+b2=(a b)2：(3)a3+b3=(a+b)(a2-a b+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+a b+b2).下面再补充几个常用的公式：(5)a2+b2+c2+2a b+2bc

3、+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3 a bc=(a+b+c)(a2+b2+c2-a b-bc-ca)；a n-bn=(a-b)(a M+a n 2b+a 3 b2+a b2+b巧其中 n 为正整数；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+a bn-2-bn-1),其中 n 为偶数；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1),其中 n 为奇数.运用公式法分解因式时，要根据多项式的特点，根据字母、系数、指数、符号等正确 恰当地选择公式.例 1 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3 n-1 yn+2-

4、2xn-1 yn+4;x-gy-zYxyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2a b；(4)a7-a5b2+a2b5-b7.解(1)J j=-2xn-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn_1 ytl(x2n)2-2/ny2+(y2)2=-2xn-1yn(x2n-y2)2=-2xny(xn-y)2(xn+y)2.原式=x3+(-2y)3+(z3-3 x2y)(-Z)=(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz).(3)原式=(a 2-2a b+b2)+(-2bc+2ca)+c?=(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2.本小题可以稍加变形，直接使用公

5、式(5),解法如下：原式=a 2+(-bK+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a 7-a 5b2)+(a 2b5七 今=a5(a2-b2)+b5(a2-b2)=(a2-b2)(a5+b5)=(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-a b3+b4)=(a+br(a-b)(a4-a ib+a2b2-a b3+b4)例 2 分解因式：a3+b3+c3-3 a bc.本题实际上就是用因式分解的方法证明前面给出的公式(6).分 析 我们已经知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正确性，现将此公式变形为a3+b3=(a+b)3-3ab(

6、a+b).这个G)式也是一个常用的公式，本题就借助于它来推导.解 原式=(a+b尸-3ab(a+b)+c23abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca).说 明 公式(6)是一个应用极广的公式，用它可以推出很多有用的结论，例如：我们将 公式(6)变形为a3+b3+c3-3abc=g (a+b+c)(2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca)=g (a+b+c)(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2.显然，当 a+b+c=O 时，则 a b+cB a b c；当

7、 a+b+c0 时，则 a+bS+cTabc。，gp a3+b3+c3 3 a b c,而且，当且仅当a=b=c时，等号成立.如果令 x=a320,y=b3 O,z=c30,则有等号成立的充要条件是x=y=z.这也是一个常用的结论.例 3 分解因式：x15+xl4+x13+-+x2+x+1.分 析 这个多项式的特点是：有 16项，从最高次项x 开始，x 的次数顺次递减至0,由此想到应用公式记七”来分解.解 因为X，=(x-1)(x15+xl4+x*3+W+X+l),所以(x-l)(x15+x14+X13H-hx2+x+1)x16-1原 汉=-；-rX-1 X-1(x8+l)(x4+l)(x2+

8、l)(x+l)(x-1)x31=(x8+1)(x4+1)(x2+1)(X+1).说 明 在本题的分解过程中，用到先乘以(X-1),再除以(X-1)的技巧，这一技巧在等式 变形中很常用.2.拆项、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算.在多项式乘法运算时，整理、化简常将几个同类项 合并为一项，或将两个仅符号相反的同类项相互抵消为零.在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某项拆成两项或多项，或者在多项式中添上两个仅符合相反的项，前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是使 多项式能用分组分解法进行因式分解.例 4 分解因式：X3-9X+8.分析 本题解法很多，这

9、里只介绍运用拆项、添项法分解的几种解法，注意一下拆项、添项的目的与技巧.解 法 1 将常数项8 拆 成+9.原式=X3-9X-1+9=(X3-1)-9X+9=(X-1)(X2+X+1)-9(X-1)=(X-1)(X2+X-8).解 法 2 将一次项-9x拆成x-8x.原式=x-x-8x+8=(X3-X)+(-8X+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(X-1)(X2+X-8).解 法 3 将三次项x3拆成9X3-8X3.原式=9X3-8X 9X+8=(9X3-9X)+(-8X3+8)=9x(x+1)(X-1)-8(X-1)(X2+X+1)=(X-1)(X2+X-8).解 法 4 添加两

10、项x2+x2.原式=X3-9X+8=X3-X2+X2-9X+8=X2(X-1)+(X-8)(X-1)=(X-1)(X2+X-8).说 明 由此题可以看出，用拆项、添项的方法分解因式时，要拆哪些项，添什么项并 无一定之规，主要的是要依靠对题目特点的观察，灵活变换，因此拆项、添项法是因式分 解诸方法中技巧性最强的一种.例 5 分解因式：(1)X9+X6+X3-3：(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(X+1)4+(X2-1)2+(X-1)4：(4)a3b-ab3+a2+b2+1.解(1)将-3拆成-1-1-1.JJ=X94-X6+X3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3-1)

11、=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(X3-1)(X6+2X3+3)=(x-1)(x2+x+1)(X6+2X3+3).(2)将 4mn 拆成 2mn+2mn.原式 Em?)(/-1)+2mn+2mpl=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1).(3)将(xM 产拆成 2(X2-1)2-(X2-1)2.原式=(X+1)4+2仅2-1-+(X-1)4=(X+1)4+2(X+1)2(X-1)2+(X-1)4-(X2-1)2=(x+1)2+(x

12、-1)22-(x2-1)2=(2X2+2)2-(X2-1)2=(3X2+1)(X2+3).(4)添加两项+ab-ab.原式=a3b-at)3+a2+b2+l+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1).说 明(4)是一道较难的题目，由于分解后的因式结构较复杂，所以不易想到添加+ab-ab,而且添加项后分成的三项组又无公因式，而是先将前两组分解，再与第三组结合,找到公因式.这道题目使我们体会

13、到拆项、添项法的极强技巧所在，同学们需多做练习，积累经验.3.换元法换元法指的是将一个较复杂的代数式中的某一部分看作一个整体，并用一个新的字母 替代这个整体来运算，从而使运算过程简明清晰.例 6 分解因式：(/+X+1)铲+x+2)-12.分 析 将原式展开，是关于x 的四次多项式，分解因式较困难.我们不妨将x?+x看作 一个整体，并用字母y 来替代，于是原题转化为关于y 的二次三项式的因式分解问题了.解 设 W+x=y,则原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(?+x+5).说明 本题也可将x2+x+1

14、看作一个整体，比如今x2+x+1=u,一样可以得到同样的结 果，有兴趣的同学不妨试一试.例 7 分解因式：(X2+3X+2)(4X2+8X+3)-9 0.分 析 先将两个括号内的多项式分解因式，然后再重新组合.解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90=(2X2+5X+3)(2X2+5X+2)-9 0.令 丫=2/+5*+2,则原式=y(y+1)-90=+丫-90=(y+10)(y-9)=(2X2+5X+12)(2X2+5X-7)=(2X2+5X+12)(2X+7)(X-1).说 明 对多项式适当的恒等变形是我们找到新元(y

15、)的基础.例 8 分解因式：(X2+4X+8)2+3X(X2+4X+8)+2X2.解 设 x2+4x+8=y,则J i=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(X2+6X+8)(X2+5X+8)=(X+2)(X+4)(X2+5X+8).说 明 由本题可知，用换元法分解因式时，不必将原式中的元都用新元代换，根据题 目需要，引入必要的新元，原式中的变元和新变元可以一起变形，换元法的本质是简化多 项式.例 9 分解因式：6X4+7X3-36X2-7X+6.解法 1 原式=6(X4+1)+7X(XM)-36X2=6 L(X4-2X2+1)+2X2 +7X(X2-1)-36X2=6(x-1)2+

16、2xq+7x(x2-1)-36/=6(X2-1)2+7X(X2-1)-24X2=2(X2-1)-3X 3(X2-1)+8X=(2X2-3X-2)(3X2+8X-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).说 明 本 解 法 实 际 上 是 将 看 作 一 个 整 体，但并没有设立新元来代替它，即熟练使 用换元法后，并非每题都要设置新元来代替整体.解 法 2原式=x?(6 x2+7 x -3 6 -+-)x x令X-=狈似2 +，=t*+2,于是 X X原式=泡6(仔+2)+736=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=X2 2(X-1/X)-3 3(X-1/X)+8

17、=(2X2-3X-2)(3X2+8X-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3).例 10 分解由式：(W+xy+y TxylxZ+y2).分 析 本题含有两个字母，且当互换这两个字母的位置时，多项式保持不变，这样的 多项式叫作二元对称式.对于较难分解的二元对称式，经常令u=x+y,v=xy,用换元法分 解因式.解 原式=(x+y)2-xyf-4xy(x+y)2-2xy.令 x+y=u,xy=v,贝!原式=(i|2-v 尸-4v(i|2-2v)=U4-6U2V+9V2=(U2-3V)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2.练习一1.分解因式：(1)x2n +x n

18、 y2 5(2)X10+X5-2；(3)x4-2x2y2-4x y3+4x3y +y2(4x2+y2)；(4N+x+xS+l+x+l 产-x5.2.分解因式：d+SxM；(2)x4-11x2y2+y2；(3)X3+9X2+26X+24；(4)X4-12X+323.3.分解因式：(1)(2X2-3X+1)2-22X2+33X-1：(2)X4+7X3+14X2+7X+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1;(4)(X+3)(X2-1)(X+5)-20.第二讲因式分解(二)1.双十字相乘法分解二次三项式时，我们常用十字相乘法.对于某些二元二次六项式(aK+bxy+cp+dx+ey+f),我

19、们也可以用十字相乘法分解因式.例如，分解因式我们将上式按x 降累排列，并把y 当作常数,于是上式可变形为2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3),可以看作是关于x 的二次三项式.对于常数项而言，它是关于y 的二次三项式，也可以用十字相乘法，分解为即-22y2+35y-3=(2y-3)(-11 y+1).再利用十字相乘法对关于x 的二次三项式分解2x(-lly+1)所以原式=x+(2y-3)J 2x+(-11y+1)=(x+2y-3)(2x-11y+1).上述因式分解的过程，实施了两次十字相乘法.如果把这两个步骤中的十字相乘图合 并在一起，可得到下图：它表示的是下面三个关系式:(x+2y

20、)(2x-11 y)=2x2-7xy-22y2；(X-3)(2X+1)=2X2-5X-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3.这就是所谓的双十字相乘法.用双十字相乘法对多项式aW+bxy+cp+dx+ey+f进行因式分解的步骤是：用十字相乘法分解aW+bxy+cy2,得到一个十字相乘图(有两列)；(2)把常数项f 分解成两个因式填在第三列匕要求第二、第三列构成的十字交叉之积 的和等于原式中的e y,第一、第三列构成的十字交叉之积的和等于原式中的dx.例 1 分解因式：(1)x2-3xy-10黄+*+9丫-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4

21、)6x2-7xy-3y2-xz+7 yz-2z2.解(1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1).原式=(x+y+1)(x-y+4).(3)原式中缺x2项，可把这一项的系数看成。来分解.原式=(y+1)(x+y-2).原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z).说 明(4)中有三个字母，解法仍与前面的类似.2.求根法我们把形如a n x n+a n“x n“+a i x+a 0(n 为非负整数)的代数式称为关于x的一元多项 式，并用f(x),g(x),等记号表示，如f(x)=x2-3x+2,g(x)=x5+x2+6,3 x=a 时，多 项 山(x)的值用f(a)表示.如对上面的多项式f(x)f

22、(1)=12-3X 1+2=0；f(-2)=(-2)2-3X(-2)+2=12.若 f(a)=0,则称a为多项式f(x)的 一 个根.定 理 1(因式定理)若 a是一元多项式f(x)的根，即f(a)=0成立，则多项式f(x)有一个 因式x-a.根据因式定理，找出一元多项式f(x)的一次因式的关键是求多项式f(x)的根.对于任 意多项式f(x),要求出它的根是没有一般方法的，然而当多项式f(x)的系数都是整数时，即整系数多项式时，经常用下面的定理来判定它是否有有理根.定 理 2若 既 约 分 数 9是整系数多项式Pf(x)=aoxn+a/i+a2xn-2+an_+an的根，则必有p是 a 0的约

23、数，q是 a。的约数.特别地，当 a 0=1时，整系数多项式f(x)的整数根均为a”的约数.我们根据上述定理，用求多项式的根来确定多项式的一次因式，从而对多项式进行因 式分解.例 2 分解因式:XMX2+6X-4.分 析 这是一个整系数一元多项式，原式若有整数根，必是-4的约数，逐个检验-4的 约数：1,+2,+4,只有f(2)=23-4 X 22+6 X 2-4=0,即 x=2是原式的一个根，所以根据定理1,原式必有因式x-2.解 法 1 用分组分解法，使每组都有因式(x-2).原式=(婷-2*2)-(2*2-4刈+(2*-4)=X2(X-2)-2X(X-2)+2(X-2)=(X-2)(X2

24、-2X+2).解 法 2 用多项式除法，将原式除以(x-2),x-2/X3-4X2+6X-43 _ 2-2X2+6X-2X2+4X2x-42x-4原式=(X-2)(/-2x+2).说 明 在上述解法中，特别要注意的是多项式的有理根一定是-4的约数，反之不成立,即-4的约数不一定是多项式的根.因此，必须对-4的约数逐个代入多项式进行验证.例 3 分解因式：9X4-3X3+7X2-3X-2.分 析 因为9 的约数有1,3,9；-2 的约数有1,2,所以原式的有理根只可能是 1,2,4，4，!,12 1?经检验，只有宇吗是原式的根，所以原式有因式x +g 和x 段.又因为：(X +；)(x -1)=

25、-(3x +l)(3x -2)=(9 x 2-3x-2),y所以，原式有因式9x?-3x-2.解 9*4疝 3+7/6-2=9X4-3X3-2X2+9X2-3X-2=X2(9X3-3X-2)+9X2-3X-2=(9X2-3X-2)(X2+1)=(3X+1)(3X-2)(X2+1)说 明 若整系数多项式有分数根，可将所得出的含有分数的因式化为整系数因式，如 上题中的因式1 23X 9可以化为9X43X-2,这样可以简化分解过程.总之，对一元高次多项式f(x),如果能找到一个一次因式(x-a),那么f(x)就可以分解 为(x-a)g(x),而 g(x)是比f(x)低一次的一元多项式,这样,我们就可

26、以继续对g(x)进行分 解了.3.待定系数法待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中 的应用.在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因 式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数.由于该多项式等于这 几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有 字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种 因式分解的方法叫作待定系数法.例 4 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3.分 析 由于(x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y),若原式

27、可以分解因式，那么它的两个一次项一定是x+2y+m和 x+y+n 的形式，应用 待定系数法即可求出m 和 n,使问题得到解决.解 设x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn,比较两边对应项的系数，则有，m+n=4,m+2n=5,mn=3.解之得m=3,n=1.所以原式=(x+2y+3)(x+y+1).说 明 本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下.例 5 分解因式：X4-2X3-27X2-44X+7.分析 本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根,则只可能是1,7(7 的约数)，

28、经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内,原式没有一次因式.如果原式能分解，只能分解为(x?+ax+b)(x2+cx+d)的形式.解 设JM=(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x34-(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd,所以有a+c=-2,b+d+ac=-27,ad+be=-4 4,bd=7.由bd=7,先考虑b=1,d=7有a+c=-2,ac=-35,7a+c=-44,、fa=-7所以原式 VW-Tx+IMW+Sx+Q.说 明 由于因式分解的唯一性，所以对b=-1,d=-7等可以不加以考虑.本题如果b=1,d=7代入方程组后，无法确定a,c 的值，就必须将

29、bd=7的其他解代入方程组，直到求出 待定系数为止.本题没有一次因式，因而无法运用求根法分解因式.但利用待定系数法，使我们找到 了二次因式.由此可见，待定系数法在因式分解中也有用武之地.练习二1.用双十字相乘法分解因式：(1 J-Sxy+15y2+2x-4y-3；(2)x2-xy+2x+y-3；(SJSx2-1 1 xy+6y2-xz-4yz-2z2.2.用求根法分解因式：(1)X3+X2-10X-6；(2)X4+3X3-3X2-12X-4；(3)4X4+4X3-9X2-X+2.3.用待定系数法分解因式：(1)2x2+3xy-9y2+14x-3y+20；(2)X4+5X3+15X-9.第三讲实

30、数的若干性质和应用实数是高等数学特别是微积分的重要基础.在初中代数中没有系统地介绍实数理论，是因 为它涉及到极限的概念.这一 概念对中学生而言，有一定难度.但是，如果中学数学里没 有实数的概念及其简单的运算知识，中学数学也将无法继续学习下去了.例如，即使是一 元二次方程，只有有理数的知识也是远远不够用的.因此，适当学习一些有关实数的基础 知识，以及运用这些知识解决有关问题的基本方法，不仅是为高等数学的学习打基础，而 且也是初等数学学习所不可缺少的.本讲主要介绍实数的一些基本知识及其应用.形如：-（n卢0）的数叫有理数，其中m,n为整数.这种定义可n 用于解决许多问题，例如，不难证明：任何两个有

31、理数的和、差、积、商还是有理数，或者说，有理数对加、减、乘、除（零不能做除数）是封闭的.性质1任何一个有理数都能写成有限小数（整数可以看作小数点后面为零的小数）或循 环小数的形式，反之亦然.例1证明循环小数2.6 1 5 4 5 4 5 4 =2.6 1 5 4是有理数.分 析 要说明个数是有理数，其关键要看它能否写成两个整数比的形式.证 设x =2.6 1 5 4,两边同乘以100得1 0 0 x =2 6 1.5 4 =2 6 1,5 4 5 4.-得99x=261.54-2.61=258.93,所以2 5 8 9 3X=9 9 0 0既然x能写成两个整数比的形式，从而也就证明了2.6 1

32、 4是有理数.无限不循环小数称为无理数.有理数对四则运算是封闭的，而无理 数与无理数的和、差、积、商不一定是无理数.例如，应为无理但 虎-虎=0是一个有理数；冗是无理数，卷=1是有数，理数，也就 是说，无理数对四则运算是不封闭的，但它有如下性质.性 质 2 设 a为有理数，b 为无理数，则（1）a+b,a-b是无理数；（2）当a卢0时，a b,；是无理数.b有理数和无理数统称为实数，即有限小数 有理数实 数（小数）L七 俄 环小数无限小数不循环小数一无理数在实数集内，没有最小的实数，也没有最大的实数.任意两个实数，可以比较大小.全 体实数和数轴上的所有点是一一对应的.在实数集内进行加、减、乘、

33、除（除数不为零）运 算，其结果仍是实数（即实数对四则运算的封闭性）.任一实数都可以开奇次方，其结果仍 是实数；只有当被开方数为非负数时，才能开偶次方，其结果仍是实数.例 2求证j i i二 人 是 有 理 数.8-1）个分析要证明所给的数能表示成四（m,n为整数，n O）的形式，关键n是要证明1：二斐也W是完全平方数.6-1）个r个证11-122-25（n-1）个 n个=ll-lX 1 0n+1+22-2X 10+5m-1）个 n个w 1 0 n-l-X 10n+1+2 X-X 10+59 9=-10n+1+2X 10n+1-2 0 +45）=g（102n+10X 10n+25）=1（10n+

34、5）2所以1 3K k 422-25 -I O11+所1）个 飘 个因 为1 0-+5与 第 为 整 数，所 以1 1 1 2 2-2 5是有理数（%】）个 t v t例3证明正是无理数.分 析 要证明一个实数为无限不循环小数是一件极难办到的事.由于有理数与无理数 共同组成了实数集，且二者是矛盾的两个对立面，所以，判定一个实数是无理数时，常常 采用反证法.证 用反证法.假 设 也 不 是 无 理 数，所 以 应 必 为 有 理 数.设、加=B（P，q是 互 质 的 自 然 数），两边平方有 qpq 所以p一定是偶数.设p=2 m（m是自然数），代入得4 m a=2 q q=2 m2,所 以q也

35、 是 偶 数.p,q均 为 偶 数 和p与q互 质 矛 盾，所 以 尤 不 是 有 理数，于 是、也是无理数.说 明只要p是 质 数，石 就 一 定 是 无 理 数，这个结论的证明并不 困 难,请 同 学 们 自 己 完 成.例4若a i+b a=a 2+b汨（其中a.bn b a为有理数，a为无理数），贝U a产出，反之，亦成立.分 析 设法将等式变形，利用有理数不能等于无理数来证明.证 将原式变形为（b七2出=西e 1.若b i，则瓦-b J因为总是无理数，而 兽 Y是有理数，矛 盾.所 以 必 有 瓦=上，进而，-b?有a 1=蚂.反之，显然成立.说明 本例的结论是一个常用的重要运算性质

36、.例5与b是 两 个 不 相 等 的 有 理 数，试 判 断 实 数 上 W是有理数还占+1 3 是无理数,并说明理由.解 假 设 芸 是 有 理 数,设 其 为 A,即a+昭-产=A.b+a整理得a+73=A b+A.由例4知a=Ab,1=A,BPa=b,这与己知羽%矛盾.所以原假设土军是有理数错误，故b+73产I 是无理数.b+、门说 明 本例并未给出确定结论，需要解题者自己发现正确的结论.解这样的问题时，可以先找到一个立足点，如本例以士W为b+43 有理数作为 立足点，以其作为推理的基础.例6已知a,b是两个任意有理数，且a b,求证：a与b之间存在着无穷多个有理 数(即有理数集具有稠密

37、性).分 析 只要构造出符合条件的有理数，题目即可被证明.证 因为a b,所以2aa+b2b,所以a半 也 2设对=”，a】显然是有理数(因为a,b为有理数).因为a1b,所以，同理可证设a?az显然也是有理数.依此类推，设2.=竽，n为任意自然数，则有aaa?Van b,且a“为有理数，所以在肝叱之间存在无穷多个有理数.说 明 构造具有某种性质的一个数，或一 个 式子，以达到解题和证明的目的，是经常 运用的一种数学建模的思想方法.例7已知a,b是两个任意有理数，且a b,问是否存在无理数a,使得aab 成立？解因为a 0,所以(72-l)a(72-l)b,即 0 a (V2-l)b+a.又因

38、为ab=b+、物b-、E b,所以a+V2b-b V2b,即(V2-l)b+a b 由，有缶 (企-l)b+a同，所以 a(应 一.+a/v2(、加-l)b+a 2b+V2(a-b)-(a-b)行职一忑-2-b+二因为b,呼 是 有 理 数，且 半 矛 0,所以b+?加是无理数，即2 2 2 存在无理数a,使得aa b 成立.例8 已知数、危的小数部分是b,求b4+12b3+37b2+6b-20的值.分 析 因为无理数是无限不循环小数，所以不可能把一个无理数的小数部分一位一位 确定下来，这样涉及无理数小数部分的计算题，往往是先估计它的整数部分(这是容易确定 的)，然后再寻求其小数部分的表示方法

39、.解因为9 1 4 1 6,即 所 以 旧 的 整 数 部 分 为 3.设714=3+b,两边平方得14=9+6b+b2,所以 b?+6b=5.b4+12b3+37b2+6b-20=(b4+2 6b3+36b2)+(b2+6b)-20=(b2+6b)2+(b2+6b)-20=52+5-20=10.例 9 求满足条件-2 瓜=质 一 密的自然数a,x,y.解 将原式两边平方得a-246=x+y-2jxy 显然，a-2 不是无理数.假设而是有理数，则x+y-2而是有理数，这与式矛盾，所以而必为无理数.由式变形为+y-a=2(A/F-/6).两边平方得所以 因为5 0,所以假设x +y.a 卢0,则

40、-后 必 为 三 鹿 有 理 数，设为k(卜卢0),即-J 6 =k,所以有=A/6+k.x y =6 +2 kV 6 +k,2,2 k、/=x y -6 -k2.所以2 k灰是无理数，而对-6-1?是有理数，矛盾.所以x +y -a =0 且及7 -、历=0.x +y =a,x y =6.又因为、&-6=&-2 0,所以x y,所以满足条件的自然数为：x =6,y =1,a=7 或x =3,y =2,a =5.例 1 0 设 an是 12+22+3?+小的个位数字，n=1,2,3,，求证：0上泡2a3a。是有理数.分 析 有理数的另一个定义是循环小数，即凡有理数都是循环小数，反之循环小数必

41、为有理数.所以，要证O.a a2a3a。是有理数，只要证它为循环小数.因此本题我们从 寻找它的循环节入手.证 计算a。的前若干个值，寻找规律：1,5,4,0,5,1,0,4,5,5,6,0,9,5,0,6,5,9,0 0 1,5,4,0 5,1 )0,4*:a2o=O，a2i=a1，a22=a2，a23=a3，,于是猜想：ak+20=ak,若此式成立，说明0aa2a”是由2 0 个数字组成循环节的循环小 数，即O.a ia2-an-=0.1 5 4 0 5 1 0 4 5 5 6 0 9 5 0 6 5 9 0 0.下面证明ak+2o=ak.令 f(n)=f2+22+产，当f(n+20)-f(

42、n)是 10的倍数时,表明f(n+20)与 f(n)有相同的个 位数，而f(n+20)-f(n)=(n+1)2+(n+2)2+-+(n+20)2=10(2n2+42 n)+(12+22+-+202).由前面计算的若干值可知：12+22+-,+2。2是 io 的倍数，故 ak+20=ak成立，所以oHa?a是一个有理数.练习三1.下列各数中哪些是有理数，哪些是无理数？为什么？A(1024 10.0 2 叱 0 叱,|-|,e=2.7 1 8 2 8 3.5 9 2 6,-6.2 8 1,-V 1 2.2 .证明：7不药是有理数.3.比较、反+J 7与 心+指的大小.4.证明：、后是无理数.5.设

43、 a,B为有理数，丫为无理数，若 a+B y=O,求证：a=0=0.6 .设5-后的小数部分为a,5 +后的小数部分为b,求（a-1）（b+2）的值.第四讲分式的化简与求值分式的有关概念和性质与分数相类似，例如，分式的分母的值不能是零，即分式只有在分 母不等于零时才有意义；也像分数一样，分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于 零的整式，分式的值不变，这一性质是分式运算中通分和约分的理论根据.在分式运算中,主要是通过约分和通分来化简分式，从而对分式进行求值.除此之外，还要根据分式的具 体特征灵活变形，以使问题得到迅速准确的解答.本讲主要介绍分式的化简与求值.例 1 化简分式：2 a +3

44、a +2 a2-a -5 3 a2-4 a -5 2 a2-8 a +5 -+-a +1 a +2 a -2 a-3分 析 直接通分计算较繁，先把每个假分式化成整式与真分式之和的形式，再化筒将 简便得多.-1 2 a“+2 a +a +l+l a2+2 a -3 a -6 +1解原式=-不-0-a+1 a+23 a 2 -6 a +2 a-4 -1 2 a2-6 a -2 a+6 -1-1-+-：-a-2 a -3=(2 a+1)+-(a-3)+a +1 a +21 1 ,-(3 a+2)-+(2 a-2)-a -2 J a -=：(2a+1)-(a-3)-(3a+2)+(2a-2)1 1 1

45、 1 +-+-a +1 a +2 a-2 a -31111-+.-a +1 a +2 a -2 a -31 -1 -+-(a +l)(a +2)(a -2)(a -3)_(a-2)(a-3)-(a+1)(a+2)(a+l)(a+2)(a-2)(a-3)-8a+4=(a+l)(a+2)(a-2)(a-3),说 明 本题的关键是正确地将假分式写成整式与真分式之和的形式.例2求分式1 1 2 4 8 161 a 1+a 1+a2 1+a4 1+a8 1+a16当a=2时的值.分析与解先化筒再求值.直接通分较复杂，注意到平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b),可将分式分步通分，每一步只通分左边两

46、项.(1+a)+(1-a)2 4 8 16(l-a)(l+a)+1+a2+l+a4+1+a8+1+a162 2 4 8 161-a2 1+a2 1+a4 1+a8 1 +a”2(1+a2)+2(1-a2)4 8 16(l-a2)(l+a2)+1+a4+1+a8+1+a164 4 8 16F+1.4+1.8+7 7-W1-a 1 +a 1 +a 1+a8 8 16 16 16-4-+-=-+-1-a8 1+a8 1+a16 1-a16 1+a1632 32例 3 若 abc=1,求 册+a+l be+b+1 ca+c+1分 析 本题可将分式通分后，再进行化简求值，但较复杂.下面介绍几种简单的解法

47、.解 法1因为abc=1,所以a,b,c都不为零.a a b ab c原式=-+-+-ab+a+1 a be+b+1 ab ca+c+1a ab abc=-+-+-ab+a+1 abc+ab+a abca+abc+aba ab 1=-+-+-ab+a+1 1+ab+a a+1 +aba+ab+1 v=-=1.ab+a+1解法 2 因为 abc=1,所以 a#0,bKO,cKO.a b b c原式=-+-+-*-ab+a+abc be +b+1 b ca+c+11 b be=-T-+-b+1 +be be +b+1 bca+be +b1 b be-+-+-b+1 +be be +b+1 1 +b

48、e +b解法3由abc=l,得a 将之代入原式1百 土 be-*b+-+1be beb-+be +b+11c,-+c+be1 b be HH*b+1 +be be +b+1 1 +be +b例 4化简分式：1 1 1x2+3 x +2 x2+5 x +6 x+7 x +1 2分析 与 解 三个分式一齐通分运算量大，可先将每个分式的分母分解因式，然后再化简.-+-+-(x +2)(x +l)(x +2)(x +3)(x +3)(x +4)1 1 1(-)+(-x +1 x +2 x +21 1-)+(-x +3，x +31 1 3=.0 _ _ _ _ _ =_ _ _ _ _ _ _ _ _

49、_x +1 x +4 x2+5 x +4说明本题在将每个分式的分母因式分解后，各个分式具有777-的一般形式，与分式运算的通分思想方法相反，我们将上式拆成 一与两项，这样，前后两个分式中就有可以相 x +n x +n +1互消掉的一对相反数，这种化简的方法叫“拆项相消”法，它是分式化简中常用的技 巧.例 5化简计算（式中a,b,c 两两不相等）：2a b-c+2b-c-a+2c-a-b a2-ab-ac+be b2-ab-be +ac c2-ac-be +ab2a b-c分 析 本 题 关 键 是 搞 清 分 式2 b：的 变 形，其他两项是类a-ab-ac+bc 似的，对于这个分式，显然分母

50、可以分解因式为(a-b)(a-c),而分子又恰好凑成(a-b)+(a-c),因此有 下面的解法.(a-b)+(a-c)+(b-c)+(b-a)+(c-a)+(c-b)(a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b)-+-+-+-+-4-=0.a-c a-b b-a b-c c-b c-a反=的变形技巧.说 明 本例也是采取“拆项相消”法，所不同的是利用A B A B例6已知：x+y+z=3a(aW0,且x,y,z不全相等)，求(x-a)(y-a)+(y-a)(z-a)+(z-a)(x-a)的情(x-a)2+(y-a)2+(z-a)2分 析 本题字母多，分式复杂.若把条件写成(x-a