挑战中考数学压轴题.pdf

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1、目 录112345678212345673123456741234567851dydududuJuduunjdjndudnjdnjJutnjdudyJududyduJnJHudnjdnjHuHudnjduJHJdududuL仞伤伤仞伤仞伤仞L伤伤伤快伤伤仞L伤伤仞伤仞仞仞L仞仞仞仞修仞修仞L但一部分函数图象中点的存在性问题因动点产生的相似三角形问题2012年苏州市中考第29题2012年黄冈市中考第25题2011年上海市闸北区中考模拟第25题2011年上海市杨浦区中考模拟第24题2010年义乌市中考第24题2010年上海市宝山区中考模拟第24题2009年临沂市中考第26题2009年上海市闸北区中

2、考模拟第25题因动点产生的等腰三角形问题2012年扬州市中考第27题2012年临沂市中考第26题2011年湖州市中考第24题2011年盐城市中考第28题2010年上海市闸北区中考模拟第25题2010年南通市中考第27题2009年重庆市中考第26题因动点产生的直角三角形问题2012年广州市中考第24题2012年杭州市中考第22题2011年沈阳市中考第25题2011年浙江省中考第23题2010年北京市中考第24题2009年嘉兴市中考第24题2008年河南省中考第23题因动点产生的平行四边形问题2012年福州市中考第21题2012年烟台市中考第26题2011年上海市中考第24题2011年江西省中考第

3、24题2010年河南省中考第23题2010年山西省中考第26题2009年福州市中考第21题2009年江西省中考第24题因动点产生的梯形问题2012年上海市松江中考模拟第24题23456761234567712812JnJHudjnduJHJduduJHJHJJduduJudnjHuduJnJdu仞修仞修仞仞L忻仞仞修仞修仞L快仞L仞仞2012年衢州市中考第24题2011年北京市海淀区中考模拟第24题2011年义乌市中考第24题2010年杭州市中考第24题2010年上海市奉贤区中考模拟第24题2009年广州市中考第25题因动点产生的面积问题2012年荷泽市中考第21题2012年河南省中考第23题

4、2011年南通市中考第28题2011年上海市松江区中考模拟第24题2010年广州市中考第25题2010年扬州市中考第28题2009年兰州市中考第29题因动点产生的相切问题2012年河北省中考第25题2012年无锡市中考第28题因动点产生的线段和差问题2012年滨州市中考第24题2012年山西省中考第26题第二部分图形运动中的函数关系问题1123212345dudududydududuJu2区仞仞2仞仞修仞仞由比例线段产生的函数关系问题2012年上海市徐汇区中考模拟第25题2012年连云港市中考第26题2010年上海市中考第25题由面积公式产生的函数关系问题2012年广东省中考第22题2012年

5、河北省中考第26题2011年淮安市中考第28题2011年山西省中考第26题2011年重庆市中考第26题第一部分函数图象中点的存在性问题1.1因动点产生的相似三角形问题例1 2012年苏州市中考第29题如 图1,已知抛物线+2 （6是实数且b 2）与X轴的正半轴分别交4 4 4于点A、B（点A位于点B是左侧），与y轴的正半轴交于点C.（1）点B的坐标为，点C的坐标为（用含人的代数式表示）；（2）请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形P C O B的面积等于2b,且a P B C是以点尸为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标：如果不存在，请说明理由；（3）请你进步探索在第一象限

6、内是否存在点。，使得Q C。、Q O A和 Q A B中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“1 2苏州2 9”，拖动点B在x轴的正半轴上运动，可以体验到，点P到两坐标轴的距离相等，存在四边形P C 0 8的面积等于防 的时刻.双击按钮“第（3）题”，拖动点B,可以体验到，存在=的时刻，也存在=的时刻.思路点拨I .第（2）题中，等腰直角三角形P B C暗示了点P到两坐标轴的距离相等.2 .联 结O P,把四边形P C 0 8重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含6的式子表示.3 .第（3）题要探究

7、三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点。最大的可能在经过点4与x轴垂直的直线上.满分斛答(1)8的坐标为3,0),点C的坐标为(0,2).4(2)如图2,过点P作PO Lr轴，PE_Ly轴，垂足分别为。、E,那么因此PD=PE.设点P的坐标为(x,x).如图3,联结OP.所以 S 四边形S&PBO=-y =J/+4 x .+4)4*m整理，得 0=1 6.此方程无解.图 2 图 3 图 4如图4,作/C8F=4 5 交抛物线于F,过点尸作尸尸x轴于9，由于/E B C=/C 8 F,所 以 些=0,即 BC2=8E.8 尸时，/XBCE/XBFC.BC BF在 RtZ X B

8、FF中，由 得,（X +2）（-m）=+2.m解得 x=2 m.所以 F(2?,0).所以 BF=2m+2,BF=41(lm+2).由BC?，得（加+2）2=2及、血（2帆+2）.解得/=2 2&.综合、，符合题意的，为2+2灰.考点伸展第（4）题也可以这样求B F 的长：在求得点尸、尸的坐标后，根据两点间的距离公式求 8尸的长.例3 2011年上海市闸北区中考模拟第25题直线y =-；x +l 分别交x轴、y轴于4、8 两点，AAOB 绕点。按逆时针方向旋转9 0。后得到 CO。，抛物线、=。/+芯+(?经 过 4、C、。三点.(1)写出点A、B、C、。的坐标；(2)求经过A、C、。三点的抛

9、物线表达式，并求抛物线顶点G 的坐标；(3)在直线8 G 上是否存在点。，使得以点A、B、。为顶点的三角形与 C O D 相似？若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由.f y1o图 1动感体睑请打开几何画板文件名“11闸北25”，拖动点。在直线B G上运动，可以体验到,ABQ的两条直角边的比为1 :3 共有四种情况，点B上、下各有两种.思路点拨1.图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角.2.用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标.3.第(3)题判断/A BQ=9 0 是解题的前提.4 .A B。与C。相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照

10、点。与 点 B的位置关系分上下两种情形，点。共有4 个.满分斛答 4(3,0),8(0,1),C(0,3),。(一 1,0).(2)因为抛物线 y ax2+bx+c 经过 A(3,0)、C(0,3)、。(一1,0)三点，所以9a+3b+c=0,a=-1,c =3,解得 x轴，N E F P=N E A O.因此 4 E0与A E F P相似存在两种情况:I 7A P P如图3,当 旦=匕 时,A O FP2亚 亚解得F P=1.此时点P的坐标为（1,1）.P A FP如图4,当 巳=二 时,A O E F2 7 5 F P -=-1=.解得 FP=5.2 V 5此时点尸的坐标为（5,1).考点

11、伸梭本题的题设部分有条件“R t/V I B C在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：1 2第（1）题的结论，”与的数量关系不变.第（2）题反比例函数的解析式为y =-上，x直线4 8为y =；x 7.第（3）题尸。不再与x轴平行，A E。与 EF P也不可能相似.图5例5 2010年义乌市中考第24题如 图1,已知梯形。1 8 C,抛物线分别过点。（0,0）、A （2,0）、B（6,3）.（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点例的坐标；（2）将 图1中梯形0 A B e的上下底边所在的直线0 A、C 8以相同的速度同时向上平移，分

12、别交抛物线于点彷、4、G、B,得到如图2的梯形O/i S G.设梯形O i A S G的面积为S,4、当 的坐标分别为但，%）、（必，）.用含S的代数式表示应一为，并求出当S=36时点4的坐标；（3）在 图 1 中，设点。的坐标为（1,3）,动点P 从点B出发，以每秒1 个单位长度的速度沿着线段8c运动，动 点。从点。出发，以与点P 相同的速度沿着线段0M运 动.P、。两点同时出发，当点。到达点M 时，P、。两点同时停止运动.设P、。两点的运动时间为 t,是否存在某一时刻f,使得直线尸。、直线A 3、x轴围成的三角形与直线尸0、直线A B、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出f 的值

13、；若不存在，请说明理由.图 I图 2动威体脍请打开几何画板文件名“1 0 义乌2 4 ，拖动点/上下运动，观察图形和图象，可以体验到，X 2 X 随 S 的增大而减小.双击按钮 第（3）题”，拖动点。在。M上运动，可以体验至 I ，如果/G4 F=NGQE,那么A G A 尸与AGOE相似.思路点核1 .第（2）题用含S的代数式表示应一田，我们反其道而行之，用 m，应表示S.再注意平移过程中梯形的高保持不变，即），2力=3.通过代数变形就可以了.2.第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证.3.第（3）题的示意

14、图，不变的关系是：直线AB与 x轴的夹角不变，直线AB与抛物线的对称轴的夹角不变.变化的直线PQ的斜率，因此假设直线PQ与A B的交点G在 x轴的下方，或者假设交点G在 x轴的上方.满分斛答（1）抛物线的对称轴为直线x =i,解析式为了=_ 1/_ 2_，顶点为MQ,1）.8 4 8（2）梯 形。自归Ci的 面 积 5 =2（-1+：2-1）3=3（%+）-6,由此得到x+x2 +2.由于 X =3，所 以 内弘=一；X H X =3.整理，得3 8 4 8 41 1 I 72（%2 一%）+%）-W =3.因此得到须=当 5=36 时,解得此时点4的坐标为（6,3）.X-）8.（3）设 直

15、线 与 尸。交于点G,直线4 8与抛物线的对称轴交于点,直线尸。与犬轴交于点凡 那么要探求相似的G4尸与G Q E,有一个公共角NG.在GE。中，NGEQ是直线A B与抛物线对称轴的夹角，为定值.在GAF中，/G A尸是直线4 8与大轴的夹角，也为定值，而且/G EQ#/G A E因此只存在/GQE=NGAF 的可能，G Q ES/X G A F.这时/G A F=/GQE=NPQO.由于tan/G A E=3,tanNP。=型=一,所以3=一.解得r=型.图3图4考点伸展第(3)题是否存在点G在x轴上方的情况？如图4,假如存在，说理过程相同，求得的f的值也是相同的.事实上，图3和图4都是假设

16、存在的示意图，实际的图形更接近图3.例6 2010年上海市宝山区中考模拟第24题如 图1,已知点A(-2,4)和点B(l,0)都在抛物线y=Am?+2，”x+上.(1)求相、；(2)向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为4,点8的对应点为 ，若四边形A A E B为菱形，求平移后抛物线的表达式；(3)记平移后抛物线的对称轴与直线A夕 的交点为C,试在x轴上找一个点。，使得以点力、C、。为顶点的三角形与ABC相似.图1动感体脍请打开几何画板文件名“10宝 山 24”，拖动点4 向右平移，可以体验到，平 移 5 个单位后，四边形A A 3 3 为菱形.再拖动点。在 x 轴上运动，可以体验到，A

17、 B C D与A A B C相似有两种情况.思路点拨1.点 A 与点B 的坐标在3 个题目中处处用到，各 具 特 色.第(1)题用在待定系数法中；第(2)题用来计算平移的距离；第(3)题用来求点B，的坐标、AC 和 B C 的长.2.抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变.3.探求AABC与9 C。相似，根据菱形的性质，/B A C=N C B，D,因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论.满分解答(1)因 为 点A(-2,4)和 点B(1,0)都 在 抛 物 线 y=wx2+2mx+上，所以4m-4m+n=4,拈 尔 4.I 解得机二一一，=4.m +2m+n=0.3(2)如图

18、2,由点4(-2,4)和点5(1,0),可得A 8=5.因为四边形4 4 6 6 为菱形，所以4 A B=5.因为y=二4/28 x+4=二4(+1)9-+二16，所以原抛物线的对3 3 3V 7 3称轴x=-l 向右平移5 个单位后，对应的直线为x=4.因此平移后的抛物线的解析式为V=-g(x-4)2+与.图 2(3)由点A(-2,4)和点夕(6,0),可得A 夕=4 后.R N R、o R、0 _如 图 2,由AM/CN,可 得-=，即 一=.解 得 BC=后.所以B M BA 8 4V5A C =345.根据菱形的性质，在aABC与夕CO中，ZBAC=ZCBD.A D R,s ic如图3

19、,当空.时，3=解得j?O =3.此时。=3,点。的坐AC BD 3M BD标 为(3,0).A D R1 r)5 7?)5 1 a如图4,当=一上时，_】=，解得B Z)=.此时0。=巴，点。的AC B,C 3 7 5 V 5 3 31 3坐 标 为(一，0).3考点伸展在本题情境下，我们还可以探求夕C O与A B B，相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况.我们也可以讨论9 C C与aCB夕相似，这两个三角形有一组公共角N B,根据对应边成比例，分两种情况计算.例 7 2009年临沂市中考第26题如 图1,抛物线经过点A(4,0)、B(1,0)、C(0,-2)三点

20、.(1)求此抛物线的解析式；(2)P是抛物线上的一个动点，过P作尸轴，垂足为M,是否存在点P,使得以4、P、M为顶点的三角形与 O A C相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理山；(3)在直线4 c上方的抛物线是有一点D,使 得 的 面 积 最 大，求出点D的坐标.图 1动感体验请打开几何画板文件名“0 9临沂2 6”，拖动点尸在抛物线上运动，可以体验到，出M的形状在变化，分别双击按钮“P在8左侧”、“P在x轴上方”和“P在4右侧”，可以显示4 M与 O A C相似的三个情景.双击按钮“第(3)题”，拖动点。在x轴上方的抛物线上运动，观察 O C 4的形状和面积随。变化的

21、图象，可以体验到，E是AC的中点时，O C A的面积最大.思路点拨1 .已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便.2 .数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长.3 .按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程.4 .把 OC 4可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA.满分斛答(1)因 为 抛 物 线 与x轴 交 于4(4,0)、B(1,0)两 点，设抛物线的解析式为y=a(x l)(x 4),代入点C的 坐 标(0,2),解得a=-g.所以抛物线的解析式为1 1 ,5y =-(x-1)(x-4)=-x-+-X-2.(2)设点P的坐标为(x,

22、一；(x 1)(一4).如图 2,当点 P在x轴上方时，l x 4,P M=-(x-l)(x-4),A M=x-4.5(%-1)(*-4)解方程/-=2,得x =5.此时点尸的坐标为(5,2).-(x-l)(x-4)解方程J-=,得x =2不合题意.x-4 2如图4,当点尸在点8的左侧时，x l,P M=-(x-l)(x-4),A M=4-x.-(x-l)(x-4)解 方 程-=2,得x =-3.此时点尸的坐标为(-3,-14).4-x；(x-l)(x-4).解方程工-=,得x =0.此时点P与点。重合，不合题意.4-x 2综上所述，符合条件的点P的坐标为(2,1)或(-3,-14)或(5,-

23、2).图2图3图4(3)如图5,过点。作x轴的垂线交A C于E.直线A C的解析式为y=；x 2.设点。的横坐标为，(1 机 4),那么点。的坐标为(?,/+：机一2),点E的 1,5 1 1 ,坐标为(m,m-2).所以)*=(m-+一加 2)一(一团 一2)=m-+2m.2 2 2 2 2因此 5此沅=g(+2 x 4 -m +4 m =-(m -2)2+4 .当加=2时，QC 4的面积最大，此时点。的坐标为(2,1).图5图6考点伸展第(3)题也可以这样解：如图6,过。点构造矩形04 MN,那么OC 4的面积等于直角梯形C A MN的面积减去 CD N和 A O M的面积.设点。的横坐标

24、为(加，n)(1 m 0 ).D B E C y x 3(2)如图3,图4,因为DE/BC,所以一=B C A CM N _ A N 即。_|3 _尤|T =因止匕、E=5|3-X|,圆心距MN=L 9 2.当两圆外切时，-x +-x =5|6-x|.解得X =型 或 者X =1 0.6 2 6 1 3如图5,符合题意的解为x =U,此时=1 3 3 1 3当两圆内切时，-x-x =5|6x|.6 2 6当x 6时，解得x =1 0,如图7,此时E在C A的延长线上，OE=5*-3)=史(3)因为 ABC是等腰三角形，因此当 A8 C与 O EF相似时，O EF也是等腰三角形.如图8,当。、E

25、、尸为 A8 C的三边的中点时.，OE为等腰三角形Q E F的腰，符合题意，此 时B尸=2.5.根据对称性，当 产 在B C边上的高的垂足时，也符合题意，此 时8尸=4.1.如 图9,当D E为等腰三角形D E F的底边时，四 边 形D E C F是平行四边形，此时BF125考点伸梭第(3)题的情景是一道典型题，如 图1 0,如 图11,A”是4 8 C的高,D、E、尸为A 8C的三边的中点，那么四边形Q E/F是等腰梯形.1.2因动点产生的等腰三角形问题例1 2012年扬州市中考第27题如 图1,抛物线y=o?+以+。经过A(1,0)、8(3,0)、C(0,3)三点，直线/是抛物线的对称轴.

26、(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线/上的一个动点，当以C的周长最小时，求点P的坐标；(3)在直线/上是否存在点M,使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点加的坐标；若不存在，请说明理山.图1动感体睑请打开几何画板文件名“12扬 州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点尸落在线段8 c上时，出+PC最小，附C的周长最小.拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察M 4C的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1 次机会落在A C的垂直平分线上；点 A 有 2次机会落在MC的垂直平分线上；点 C有 2次机会落在M A 的垂直平分线匕 但是有1

27、次 M、A、C三点共线.思路点拨1 .第(2)题是典型的“牛喝水”问题，点尸在线段B C上 时 的 周 长 最 小.2 .第(3)题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性.满分斛答(1)因为抛物线与x 轴交于A(1,0)、B(3,0)两点，设)，=。(*+1)。-3),代入点C(0,3),得一3 a=3.解得a=-1.所以抛物线的函数关系式是y=(x+l)(x 3)=-x 2+2 x+3.(2)如图2,抛物线的对称轴是直线x=l.当点P落在线段8c 上时，%+PC最小，布C的周长最小.设抛物线的对称轴与x轴的交点为H.由 也=也，BO=CO,得 P H=B H=2.B O C O所以点尸的坐标

28、为(1,2).图 2(3)点 M 的坐标为(1,1)、(1,后)、(1,-6)或(1,0).考皮伸梭第(3)题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,?).在 MAC 中,4 c 2=1 0,M/n+W3)2,M A2=4+m.如图 3,当 M 4=M C 时,M A2=MC2.解方程 4+/=1+(L3)2,得 m=l.此时点M 的坐标为(1,1).如图4,当A M=A C时,AM1=ACL.解方程4+/=10,得出=土占.此时点M的坐标为(1,6)或(1,-遥).如图 5,当 C i W=C A 时-，C M2=C A2.解方程 1+(L3)2=1 0,得机=0 或 6.当(1,6)时，4

29、、C三点共线，所以此时符合条件的点M 的坐标为(1,0).图 3图 4图 5例2 2012年临沂市中考第26题如 图 1,点A 在 x 轴上，04=4,将线段。4 绕点。顺时针旋转1 20 至 OB 的位置.(1)求点B 的坐标；(2)求经过月、0、8的抛物线的解析式；(3)在此抛物线的对称轴匕 是否存在点P,使得以点尸、。、8为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由.图 1动感体睑请打开几何画板文件名“1 2临 沂 26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，。0和。8以及。8的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点尸运动到。与对称轴的另一个交

30、点时一，8、。、尸三点共线.请打开超级画板文件名“1 2临 沂 26”，拖动点P,发现存在点P,使得以点P、。、B为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨1 .用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验.2.本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点尸重合在一起.满分斛答(1)如图2,过点B 作轴，垂足为C.在 R tZ O 8 C 中，/8 O C=3 0 ,O B=4,所以 8 c=2,O C =2百.所以点B的坐标为(-2,-27 3).(2)因为抛物线与x轴交于。、4(4,0),设抛物线的解析式为y=a x(x-4),代入点 B(-

31、2,-2G),-2V 3=-2a x(-6).解得&=_ 且.6所以抛物线的解析式为y =一且e_4)=一+述x.6 6 3(3)抛物线的对称轴是直线x=2,设点P的坐标为(2,y).当。2=。8=4时，。产=1 6.所以4+尸=1 6.解得y =2/i.当P在(2,26)时，B、。、P三点共线(如图2).当 8 P=BO=4 时，8 P 2=1 6.所以4：+（+2省）2=1 6.解 得 必=%=一26.当 P B=P。时，PB2=P O2.所以42+（y +2 6）2 =2?+y 2.解得y =26.综合、，点P的坐标为(2,-2 6)，如图2所示.考点伸展如 图3,在本题中，设抛物线的顶

32、点为C,那么。4与 0 A8是两个相似的等腰三角形.由4+y =也,八咨x（x-4）=-得抛物线的顶点为0(2,因此ta n Z D O A=亚.所 以/。4=3 0 3,N O D 4=1 20 .例3 2011年湖州市中考第24题如 图1,已知正方形O A 8 C的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴 的 正 半 轴 匕M是8 c的中点.尸(0,m)是线段O C上一动点(C点除外)，直线PM交A B的延长线于点。.(1)求点。的坐标(用含机的代数式表示)；(2)当AP O是等腰三角形时，求?的值；(3)设过尸、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E,过点。作直线ME的垂线，垂足为H (如图2

33、).当点P从O向C运动时，点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路长(不必写解答过程).动感体睑请打开几何画板文件名“1 1 湖 州 2 4”，拖动点P在。C上运动，可以体验到，4尸。的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线匕 双击按钮“第(3)题”，拖动点P由。向 C运动，可以体验到，点，在以0 M为直径的圆上运动.双击按钮“第Q)题”可以切换.思路点拨1 .用含机的代数式表示表示 A P O 的三边长，为解等腰三角形做好准备.2 .探求A P。是等腰三角形，分三种情况列方程求解.3 .猜想点”的运动轨迹是一个难题.不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？R t 的斜边长。例是定值，以。

34、M 为直径的圆过点”、C.满分斛答(1)因为 P C/D B,所以5,=2L=M=1.因此产例C P=B D=2-m.所以BD DM M BA D=4 m.于是得到点。的坐标为(2,4m).(2)在中，A D2=(4-m)2f AP2=m2+4f P D2=(2 P M)2=4+4(2-m)2,当时，(4-机尸=/+4.解得m =3 (如图3).2 当 以=p。时，m 2+4=4 +4(2-2.解得机=(如图4)或7 =4(不合题意，3舍去).当D 4=P 时，(4)2=4+4(2-5)2.解得胴=2 (如图5)或m =2 (不合题意，3舍去).综上所述，当4?为等腰三角形时，机的值为3,3或

35、2.2 3 3图3图4图5（3）点”所经过的路径长为五万.4考点伸梭第（2）题解等腰三角形的问题，其中、用几何说理的方法，计算更简单：如 图3,当A P A D时，A M垂 直 平 分PD,那么所以如图4,当P A P D时，P在AO的垂直平分线上.所以D A=2 P O.因此4-机=2,”.解得加=土3第（2）题的思路是这样的：如图6,在中，斜边0M为定值，因此以。例为直径的OG经过点”，也就是说点”在圆弧上运动.运动过的圆心角怎么确定呢？如图7,尸与。重合时，是点，运动的起点，N CO H=45 ,NCG=90.图6图7例4 2011年盐城市中考第28题如 图1,已知一次函数y=-x+7与

36、正比例函数y=：x的图象交于点A,且与x轴交于点B.(1)求点A和点5的坐标；(2)过点A作A C L y轴于点C,过点B作直线/y轴.动点P从点。出发，以每秒1个单位长的速度，沿。一C一4的路线向点4运动；同时直线/从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线/交x轴于点上 交线段54或线段A。于 点。.当 点P到达点4时，点P和直线/都停止运动.在运动过程中，设动点P运动的时间为r秒.当t为何值时，以4、P、R为顶点的三角形的面积为8?是否存在以A、P、。为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求，的值；若不存在，请说明理由.图1动感体廉请打开几何画板文件名“1 1盐城2 8”，拖动点R

37、由B向。运动，从图象中可以看到，A P R的面积有一个时刻等于8.观察&PQ,可以体验到，P在OC上时，只存在A P=4。的情况；尸在。上时，有三个时刻，4P。是等腰三角形.思路点拨1 .把 图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题.2 .求 的 面 积 等 于8,按照点尸的位置分两种情况讨论.事实上，P在C A上运动时，高是定值4,最大面积为6,因此不存在面积为8的可能.3 .讨论等腰三角形A PQ,按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况.满分斛答(1)解方程组y =-x +7,4F令y =-x +7 =0,得x =7.得!、=3,所以点A的坐标是(3,4).y =

38、4.所以点B的坐标是(7,0).(2)如图2,当P在OC L 运动时，W f得g(3+7-f)x 4-；x 4 x(4-f)-；x f(7-f)=8 .整理，得/-8 f+12 =0.解得 r=2 或 f=6(舍去).如图3,当P在C 4上运动时，!/?的最大面积为6.因此，当f=2时，以A,P、R为顶点的三角形的面积为8.我们先讨论在O C匕运动时的情形，0 W f 4 5。，。8=7,A B =4应，所以。B A艮因此/。如图4,点P由。向C运动的过程中，O P=B R=R Q,所以PQ/x轴.因此NA QP=4 5保持不变，/孙。越来越大，所以只存在/A P Q=/A。尸的情况.此时点4

39、在P Q的垂直平分线上，O R=2 C 4=6.所以BR=1,t=l.我们再来讨论尸在C A上运动时的情形，4 W t =24。尸保持全等.4 .第（3）题反客为主，分三种情况讨论尸CG为等腰三角形，根据点尸的位置确定点Q的位置，再计算点Q的坐标.满分斛答（1）由于。平分N A O C,所以点。的坐标为（2,2）,因此8 C=AO=1.由于 B C D g/i AO E,所以B O=A E=1,因此点E的坐标为（0,1）.c =1,设过E、D、。三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx-c,那么 4 +2 b +c =2,解9。+3 b +c =0.5 11 5 13得=1,b =,c=l.因此

40、过E、D、C三点的抛物线的解析式为y=-x2+6 6 6 6(2)把工=一代入了=x+x+1,求得y =一5 6 6 5以点M的坐标为M N D如图2,过点M作垂足为N,那么=FA D1 2 c c 62 2 即至=一解得E 4 =l.FA 2因为/E O C绕点。旋转的过程中，A D C G 义XDEF,EF=2GO.(3)在 第(2)中，G C=2.设点。的坐标为|,一3.所个yFA,B/o G c 所以 C G=E F=2 图 2 1，丁+.如图3,当C P=C G=25 9时 yQ=XQ xG,因此一5 x如图4,当G P=G C=2的 坐 标 为 卜 目.如图5,当尸G=P C时,。

41、的坐标为(2,2).M-图31 6 o )时，点P与点B(3,2)重合，A P C G是等腰直角三角形.此+，x+1 =x-1。由此得到点Q的坐标为时，点尸的坐标为(1,2).此时点。的横坐标为1,点0点P在G C的垂直平分线上，点P、。与点O重合.此时点MM图4图5考点伸梭在 第(2)题情景下，NEOC绕点。旋转的过程中，尸 G 的长怎样变化？设 A尸的长为小，那么F G=J(2+。2 +(2?)2=+8.点 F 由 E 开始沿射线EA运动的过程中，F G先是越来越小，F 与 A 重合时，F G达到最小值2五；F 经过点A 以后，FG越来越大，当 C 与。重合时，FG达到最大值4.1.3因动

42、点产生的直角三角形问题例1 2012年广州市中考第24题如 图 1,抛物线=-3-3 犬+3与 x 轴交于A、B 两 点(点 A 在 点 B 的左侧)，与 y8 4轴交于点C.(1)求点A、B的坐标；(2)设。为已知抛物线的对称轴上的任意点，当ACQ的面积等于ACB的面积时，求点。的坐标；(3)若直线/过点E(4,0),M 为直线/上的动点，当以力、B、M 为顶点所作的直角三角 形,耳？号三个时，求直线/的解析式.动感体睑请打开几何画板文件名“1 2 广 州 2 4”，拖动点M在以A B为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合N A M 8=9 0 的点M 只 有 I 个.请打开超

43、级画板文件名“1 2 广 州 2 4”，拖动点M 在以A B为直径的圆上运动，可以体验到，当直线与圆相切时，符合N A M 8=9 0 的点M 只 有 1 个.思路点桢1 .根据同底等高的三角形面积相等，平行线间的距离处处相等，可以知道符合条件的点。有两个.2 .当直线/与以AB 为直径的圆相交时，符合/A M 8=9 0 的点M 有 2个；当直线/与圆相切时，符合N A M B=9 0 的点M 只 有 1 个.3 .灵活应用相似比解题比较简便.满分斛答(1)由 y =-g x?-X +3 =-(x +4)(x-2)，得抛物线与x轴的交点坐标为4(一4,0)、B(2,0).对称轴是直线x=-l

44、.(2)A C。与aAC B 有公共的底边A C,当A C。的面积等于 A CB的面积时，点 8、。到直线AC 的距离相等.过点B 作 AC 的平行线交抛物线的对称轴于点D,在A C的另一侧有对应的点D.设抛物线的对称轴与x轴的交点为G,与AC 交于点H.由 BC/A C,Z D B G=Z C A O.所以空=2=3.BG A 0 4所以OG=3BG=2，点。的坐标为(1,一 24 4 4因为 AC/BD,AG=8G,所以 H G=D G.而 D H=D H,所以。G=3 D G =卫.所 以。的坐标为(1,2).(3)过点A、8分别作x轴的垂线，这两条垂线与直线/总是有交点的，即2个点用.

45、以4 8为直径的。G如果与直线/相交，那么就有2个点M；如果圆与直线/相切，就只 有1个点M 了.联结G M,那么GMJJ.在 RtzXEGM 中，G M=3,G E=5,所以 EM=4.在 Rt/XEMiA 中，AE=8,tan 所以 MA=6.AE 4所以点M的坐标为(-4,6),过Mi、E的直线/为y=_ x +3.-4根据对称性，直线/还可以是)，=?x+3.4考皮伸梭第(3)题中的直线/恰好经过点C,因此可以过点C、E求直线/的解析式.在 RtZXEGM 中，GM=3,G E=5,所以 EM=4.在 RtZEC。中，C0=3,E 0=4,所以 CE=5.因此三角形EGA/丝EC。，Z

46、G E M=ZC E O.所以直线C用过点C.例2 2012年杭州市中考第22题在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数了=网产+-1）的图象交于点A（l,k）和点B（一 1,一k）.（1）当=-2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数与二次函数都是y随 x增大而增大，求人应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为。，当4 4 8。是以A8为斜边的直角三角形时，求后的值.动感体睑请打开几何画板文件名“1 2 杭州2 2”，拖动表示实数k的点在y 轴上运动，可以体验到，当&0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随 x增大而增大.观察抛物线的顶点。与。的位

47、置关系，可以体验到，点。有两次可以落在圆上.请打开超级画板文件名“1 2 杭州2 2”，拖动表示实数k的点在y 轴上运动，可以体验到，当左V0并且在抛物线的对称轴左侧，反比例函数与二次函数都是y随 x增大而增大.观察抛物线的顶点。与。的位置关系，可以体验到，点。有两次可以落在圆上.思路点拨1 .由点4（1 火）或点B（1,一4）的坐标可以知道，反比例函数的解析式就是y=&.题目X中的k 都是一致的.2 .由点A（1 次）或点例一 1,一%）的坐标还可以知道，A、8关于原点O对称，以AB 为直径的圆的圆心就是O.3 .根据直径所对的圆周角是直角，当 Q落在。上是，A B。是以AB 为直径的直角三

48、角形.满分斛答（1）因为反比例函数的图象过点A（l,k）,所以反比例函数的解析式是y=.当k=-2时，反比例函数的解析式是y=-2.X（2）在反比例函数y=七中，如果y随X增大而增大，x那么k0.当k 0时，抛物线的开口向下，在对称轴左侧，y随x增大而增大.抛 物 线y=k（x2+x+）=k（x+）2-k的对称轴是直线x=，图12所以当k0）交于A、BX和C、D,那么A8与。互相平分，所以四边形AC8。是平行四边形.问平行四边形A8CZ）能否成为矩形？能否成为正方形？如图5,当A、C关于直线），=苫对称时，A8与C。互相平分且相等，四边形力BCO是矩形.因为A、C可以无限接近坐标系但是不能落在

49、坐标轴上，所以。4与0C无法垂直，因此四边形ABCQ不能成为正方形.例3 2011年沈阳市中考第25题如 图 1,已知抛物线y=x2+bx+c与 x 轴交于A、B 两 点(点 A 在点8 左侧)，与 y 轴交于点C(0,-3),对称轴是直线x=l,直线BC与抛物线的对称轴交于点。.(1)求抛物线的函数表达式；(2)求直线BC的函数表达式；(3)点 E 为y 轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点E 交抛物线于尸、。两点，且点P 在第三象限.当线段PQ=3AB 时，求 t a n/C E 的值；当以C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标.温馨提示：考生可以根据第(3)问的题

50、意，在图中补出图形，以便作答.图 I动感体验请打开几何画板文件名“1 1 沈 阳 2 5”，拖动点E或 F在 y轴上运动，可以体验到，C D E 有两次机会成为等腰直角三角形.双击按钮“尸。=3”可以准确显示PQ=3A B时的位4置.思路点拨1 .第(1)、(2)题用待定系数法求解析式，它们的结果直接影响后续的解题.2 .第(3)题的关键是求点E的坐标，反复用到数形结合，注 意 y轴负半轴上的点的纵坐标的符号与线段长的关系.3 .根据C、。的坐标，可以知道直角三角形C Q E 是等腰直角三角形，这样写点E的坐标就简单了.满分斛答(1)设抛物线的函数表达式为、=。-1)2+，代 入 点 C(0,