数学高考真题卷--全国2理数（含答案解析）.pdf

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1、2 0 1 8 年普通高等学校招生全国统一考试全国II卷(理科数学)一、选择题:本题共1 2 小题,每小题5 分,共6 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1但=l-2 iA4 3.D 4 3.A.-1 B.-+-15 5 5 5rC.-3-4-.i Dn.3+4-1.5 5 5 52 .已知集合A=(x,y)/乂 W 3,x CZ,y CZ),则A中元素的个数为A.9 B.8 C.5 D.43 .函数切=咚的图象大致为X24 .已知向量 a满足|a|=l,a b=-y 则 a (2 a-Z？)-A.4 B.3 C.2 D.02 25.双曲线为点=1 (a 0,6 X)

2、的离心率为国,则其渐近线方程为A.y=+y/2 x B.y=+y/3xC.产土白x D.片土当x6.在/18C 中,c o s f,BC=,A C=5,贝 U A B=A.45/2 B.V30C.V29 D.2V57.为计算S+衿 少+与上,设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入2 3 4 99 100A.i=i+B.片 2C 片 3D.8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 30W+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是9.在长方体A BCD-A BGD、中,A B=BC

3、=,44=后,则异面直线皿与的所成角的余弦值为A.1 B Y C.匹 D*5 6 5 210.若 F(x)千os x sin 矛在-当目是减函数，则日的最大值是A：B.-C.出 D.4 2 411.已知 3 是定义域为(-8,+8)的奇函数，满 足*1 一 X)m(1奴).若F(1)N 则H i)“4 (5 0)=A.-50 B.0 C.2 D.5012.已知凡凡是椭圆C:1 卷=1 3 6 刈 的 左、右焦点,才是。的左顶点，点在过/且斜率为当的直a2 b2 6线上,阳E 为等腰三角形，N EK/T20 ,则，的离心率为A.-B.i C.i D.i3 2 3 4二、填空题:本题共4 小题,每

4、小题5 分，共 20分.13.曲线尸21n(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.（x+2y 520,x-2y+3 0,则 z=y 的最大值为.无 5W0,15.已知 s i n。加os=l,cos a Ain 项 则 sin（a+）.16.已知圆锥的顶点为S,母 线SA,阳所成角的余弦值为SA与圆锥底面所成角为45 .若外6 的O面积为5V15,则 该 圆 锥 的 侧 面 积 为.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17”1题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.（一）必考题:共60分.17.（12 分）记 S,为等差数列&的

5、前项和，已知a =T,S=T5.（1）求&的通项公式；求$,并求S 的最小值.18.（12 分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位:亿元）的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了 y 与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,-,17）建立模型:y=-30.4+13.51;根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,，7）建立模型:y=99+17.5力（1）分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.

6、1 9.(1 2 分)设抛物线C:/=4 x 的焦点为 过尸且斜率为4(於0)的 直 线/与。交于4 8两点，A B=8.(1)求/的方程；(2)求过点A,8 且 与 C 的准线相切的圆的方程.2 0.（1 2 分）如图,在三棱锥 产咒%中,A B=BCy/2,PA=PBPC=A C=A,0 为 1 的中点.证 明：故 1平面A BC(2)若点M 在棱BC上,且二面角M-必-C 为 30。，求/T 与平面总材所成角的正弦值.2 1.（1 2 分）已知函数f(x)=Q-a x.若 a-1,证明：当 G O 时，若x)21；(2)若 f(x)在(0,+2只有一个零点，求 4(二)选考题:共1 0

7、分.请考生在第2 2、2 3题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.2 2 .选修4 Y:坐标系与参数方程(1 0 分)在直角坐标系9中，曲线C 的参数方程为匕:及%(。为参数)，直 线1的参数方程为=T-S lnv需(为参数)(1)求 c 和/的直角坐标方程；(2)若曲线。截直线/所得线段的中点坐标为(1,2),求/的斜率.2 3.选修4 七:不等式选讲(1 0 分)设函数 f(x)=x+a -|x-2|.(1)当 a=l时,求不等式f(x)20的解集；若 f(x)W l,求 a的取值范围.12345678910111213141516DABBAABCCACDy=2 x91240V

8、2 n1.D【考查目标】本题主要考查复数的计算，考查的核心素养是数学运算.【解析】合*故选口【方法总结】复数代数形式的加、减、乘、除运算法则是进行复数运算的理论依据，加、减运算类似于多项式的合并同类项,乘法运算类似于多项式乘法运算,除法运算则先将除式写成分式的形式,再将分母实数化.2.A【考查目标】本题主要考查集合中的元素，考查数形结合思想.考查的核心素养是数学运算、数据分析.【解析】通解 由京+/忘3 知，.又 xCZ,yGZ,所以xG T,0,1,yG-1,0,1,所 以/中 元 素 的 个 数 为 玛 禺 故 选 A.优解 根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形,如图，易 知

9、在 圆 中 有 9 个整点，即为集合A的元素个数,故选A.3.B【考查目标】本题主要考查函数图象的识别,考查考生的逻辑推理能力,考查的核心素养是数学运算、数据分析.【解析】当 x0时，因为e Y 0,所以此时Ax）更 字 一.西 鼻 坐,即异面直线皿与的所成角的余弦值为哼，府|西|一 2 遥 5 51 0.A【考查目标】本题考查三角函数的单调性、三角恒等变换，意在考查考生的逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力.考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】解 法-fx o s x s i n x=&c o s(x 5)，且函数片c o s x 在区间 0,n 上单调递减，则(71 Q -一

10、4 解得aWj所以0 Q3 n 4a47，W；,所 以a的最大值是；,故选A.解法二 因为 fx=cos x-s i n x,所以 F (x)-s i n x-cos x,则由题意，知 f (x)=s i n x-c o s xWO在a 上恒成立，即 s i n xos x 2 0,即&s i n(x J)20在 -a a 上恒成立，结合函数4-a 4-04 解得aWf所以06W，所以a的 最 大 值 是 故 选 A.1 1.C【考查目标】本题主要考查抽象函数的奇偶性、周期性，考查考生的数形结合能力以及分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解析】解法一 (X)是定义域

11、为(-8,+8)的奇函数，且 4 (1-x)=f(l+x),.：f(x)=f(2-x),f(-x)=f(2 +x),f(2 +x)=f(.x)，.:f(4 +x)=-f(2 +x)=fx),.(x)是周期函数，且一个周期为 4,.：f(4)(0)电/=f(l+1)(1 T)=f(0)=0,A 3)-A l 旬=f(1 -2)=-AD=-2,.：/(!)+f(3)(4)(5 0)=1 2 X 0(4 9)(5 0)=f(l)(2)=2,故选 C.解法二 由题意可设F(x)2 s i n(/x),作 出 f(x)的部分图象如图所示.由图可知,A x)的一个周期为4,所以 f (2)4(3)-f(5

12、 0)=1 2 f(l)+f(2)(3)”+f(4 9)+f(5 0)=1 2 X 0 M(l)+f 之，故选C.【拓展结论】若 A x)的图象有两个不同的对称中心,分别为(a,0),(b,0),贝 ij 2/6-a/为 F(x)的周期.(2)若 f(x)的图象有两条不同的对称轴，分别为直线x=a,直线x=b,则 2/b-a/为 f(x)的周期.(3)若f(x)的图象有一个对称中心(a,0),一条对称轴为直线x=b,且则4 /6-a/为fx)的周期.1 2.D【考查目标】本题主要考查椭圆的几何性质一一椭圆的离心率，考查考生的数形结合能力,以及分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是逻辑推理、

13、数学运算.【解析】由题意可得椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F-|之c,：如月为等腰三角形，且N 片 1 2 0。，.：|月初=|=2.：1%|=c,.：点产坐标为(c+2 c c o s 6 0。，2 c s i n 6 0 ),即点Pk2 c,百 c).点在过点A,且斜率为f的直线上，.:手 等,解 得 g,.：e 3,故选D.6 2 c+a 6 a 4 41 3.【考查目标】本题主要考查导数的几何意义，考查的核心素养是数学运算.【解析】：y 2 1 n(户1),.:/言.当 肝 0时,y=2,.：曲 线 此 l n(x+l)在点(0,0)处的切线方程为厂0=2(x 0),即 y=2

14、x.14.9【考查目标】本题主要考查线性规划问题，考查数形结合思想，考查的核心素养是数学运算.【解析】画出不等式组所表示的平面区域,如图中阴影部分所示.作出直线x+y=Q,平移该直线，当直线过点8(5,4)时,z 取得最大值,z 皿巧掰=9.1 5.【考查目标】本题主要考查三角恒等变换，考查考生分析问题、解决问题的能力,考查的核心素养是数学运算.【解析】：s i n a W o s -1,c o s。i n 。A:o s +2 s i n Gcos 8 =1，c o s%“i n +2 c o s o s i n 8巾，两式相加可得 s i n。化o s 与i n +2 (s i n o c

15、o s B依o s a s i n )=1,：s i n(a +)=q.1 6.4 0 V 2 H【考查目标】本题主要考查圆锥的几何性质，考查数形结合思想，考查考生分析问题、解决问题的能力，考查的核心素养是直观想象、数学运算.【解析】如图所示,设S 在底面的射影为S,连接A S SSL S J 8 的面积为T SA*SB,s i n ZA SB3 S 42 1 -cos2Z A S B -5 =5 V 1 5,.：5 =8 0,.SA 与底面所成的角为 4 5 ,.：2 N 16ZSA S,=A 5,A S=SA-cos 4 5 力 遥 考 之 的 工.：底 面 周 长/布 I S 4/l U

16、 n ,：圆锥的侧面积为3 X 4 /5 X 4 V 1 0 J t -4 0 V 2 ”.17.【考查目标】本题主要考查等差数列的通项公式与前项和公式，考查的核心素养是数学运算.【解题思路】（D 先设等差数列&的公差为d,建立方程求得d,进而求得通项公式；（2）先由（1）求得等差数列4 的 前 项 和 S,再利用配方法求其最值.【解析】设 4 的公差为d 由题意得3a产 3d=T5.由a、=T得 d=2.所以&的通项公式为a“A 8（2）由（1）得 S=r/2-16.所以当n=4时,S,取得最小值,最小值为-16.【方法总结】（1）等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型,数列中的五个基

17、本量a.,d,n,an,Sn,一般可以“知三求二”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解；（2）求等差数列前项和的最值,常用的方法:利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得和的最值;至利用等差数列的前n项和S=A n2+MA,8 为常数）为二次函数,通过二次函数的性质求最值.另外,对于非等差数列常利用函数的单调性来求其通项或前项和的最值.18.【考查目标】本题主要考查线性回归模型、折线统计图，意在考查数据处理能力、运算求解能力、图形的识别能力.考查的核心素养是数据分析、数学建模、数学运算.【解题思路】（1）将=19与 t-9 分别代入线性回归模型与,可求得201

18、8年的环境基础设施投资额的预测值；（2）根据线性回归模型与,并结合已知的折线图进行分析;也可以根据两个线性回归方程对2018年（或附近的其他年份）的环境基础设施投资额进行预报,分析它们与真实值的产生的残差进行分析两个模型的可靠性.【解析】（1）利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=-30.4+13.5X19226.1（亿元）.利用模型,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y-99+17.5 X9之56.5（亿元）.（2）利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：（i）从折线图可以看出,2000年 至 2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5

19、/上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2 01 0年相对2 009 年的环境基础设施投资额有明显增加,2 01 0年至2 01 6 年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2 01 0年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用2 01 0年至2 01 6 年的数据建立的线性模型y =9 9+1 7.5 可以较好地描述2 01 0年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型得到的预测值更可靠.（i i）从计算结果看，相对于2 01 6 年的环境基础设施投资额2 2 0亿元，由模型得到的预测值2 2 6.1亿元

20、的增幅明显偏低，而利用模型得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了 2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.【举一反三】（1）对变量值的预测主要是由给出的变量的值预测与其有相关关系的变量的值,一般方法是:若已知回归直线方程,则直接将数值代入求得预测值；（2）回归模型的拟合效果主要有两种途径判断：（1）利用数据的散点图，观察数据对应的点与回归直线的位置关系进行分析；（2）利用残差进行分析,最简单的作法是选择数据中的具有代表性的点进行预报，比较预报值与真实值的差距进行分析.1 9.【考查 目标】本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系、

21、直线与圆的位置关系,意在考查考生的逻辑思维能力、化归与转化能力及方程思想的应用，考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】（1）先写出直线1的方程，并设出两个交点的坐标,再将直线方程与抛物线方程联立,并利用根与系数的关系与抛物线的定义建立关于斜率4的方程，解方程即可求解；（2）先由（1）求得4 8 的中点坐标,并求出1 6 的垂直平分线,然后设出圆心坐标,并根据圆心在线段4 6 的垂直平分线上与勾股定理建立方程组,解方程组可得圆心坐标,进而可得圆的方程.【解析】（D 由题意得H i,。），/的方程为片设 A x,y i）,Bxi,.由卜色1）得我-Q/种 x+g.V =4x泡

22、故 小 型 窄 所以|仍=A F +I M =（历+1）+（才 2 1）与 二由 题 设 知 富 阳 解 得 4-1 （舍去），k=l.因此1的方程为片厂1.由 得 四 的 中 点 坐 标 为 2）,所以四的垂直平分线方程为厂2=-（x-3）,即 尸-x 增设所求圆的圆心坐标为（施,外），则晨二二+1 6 解啮,啸U.因此所求圆的方程为5-3）2+（y-2）、1 6 或（%-1 1）2+（y 卅）2=1 4 4.【规律方法】（1）有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,若过抛物线的焦点,可直接使用公式|四|伸此叨（或/创出+姓切），若不过焦点,则必须使用一般的弦长公式；（2）

23、求圆的方程主要是确定圆心坐标与半径；（3）涉及直线与圆相交所得弦长问题通常是利用公式夕 府 孑 来 求 解,其 中 A为圆的半径,d 为圆心到直线的距离.2 0.【考查目标】本题主要考查空间中线面位置关系的证明、线面角的正弦值、空间向量的应用,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.【解题思路】（1）首先利用等腰三角形的性质可得POYA C,利 用 勾 股 定 理 证 明 期 然 后 结 合线面垂直的判定定理可证得结果；（2）根据（1）中的垂直关系建立空间直角坐标系，设出点（含有参数）的坐标，根据已知条件求得此参数,然后求解即可.【解析】因为勺0 为“的中点，所 以 以 阳 且 咏 遮.

24、连接如.因为A B=BCA C,所以4 比 为等腰直角三角形，且 OBLA C,0 BA C=2.由 OP+OE=P隹矩 POYOB.由 OPV OB,0 2 1 4 7 知 A 2 L 平面 A BC.如图，以 0 为坐标原点，方的方向为x 轴正方向,建立空间直角坐标系0-xyz.由已知得 0（0,0,0）,8（2,0,0）,/（0,-2,0）,（7（0,2,0）,2（0,0,2 百），万=（0,2,2 8）.取平面必。的一个法向量砺=（2,0,0）.设 M(a,2 -a,0)(0 a W 2),则 祠=(a,4-a,0).设平面为 的法向量为n=(x,y,z).由 而,z?=0,A M ,

25、n=O 得户 +2 V 3 z =0 可取於),a,-a),(a x 4-(4 -d)y=0,所以cos港三.由已知可得4 0 s万瓦力)/岑243(Q-4)2+3Q2+Q2 2所以2咕：1 咨 解 得 al(舍去)，a,2V3(a-4)2+3az+a2 2 3所以=(耳,手,又 定=(0,2,-2 所以 cos 0两种情况讨论函数的零点个数,且当aR时,要注意利用导数研究函数的单调性与最值.【解析】当 a=l时，/等 价 于(室+1)葭-1 0.设函数 则 g(x)=-(4 2 l)e=-(x-l)2e”.当 xWl 时,g(x)0 时,力(x)=ax(x-2)e 当 xQ(0,2)时(x)

26、0;当 x 6(2,+)时，/?(x)X).所以/?(x)在(0,2)单调递减，在(2,+8)单调递增.故尔2)=1潦 是 A(x)在0,+叫的最小值.谓 A(2)与,即aj h 5在(0,+叫没有零点；4Q2至若A(2)4,即 a=(x)在(0,+2只有一个零点；4若力(2)xt所以,/A 1 16a3 1 16a3 16a3 1 1 5A(4S)-1-4-1-故 6x)在 4 a)有一个零点.因此仅x)在(0,+8)有两个零点.综上,f(x)在(0,只有一个零点时,a f.【点石成金】证明不等式的恒成立问题,可转化为求函数的最值，例如要证明f(x)0,可先求得H x)的最小值,然后证明这个

27、最小值大于等于o即可,当然在证明过程中,特别是求最值时,这个最小值可能不会明确给出，需利用导函数的知识求得,解题过程中要多次运用导数的知识研究函数的单调性和最值.2 2 .【考查目标】本题主要考查直线与椭圆的参数方程、直线与椭圆的位置关系、参数的几何意义，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算.【解题思路】(1)利用同角三角函数的平方关系消去曲线。中的参数。即可得直角坐标方程，直线/的参数方程分c o s。是否为0 进行消参,化为直角坐标方程；(2)将直线/的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程,利用参数的几何意义进行求解.【解析】(D 曲线C 的直角坐标方程为】荏=1.4 16当 c o

28、 s a W0时，/的直角坐标方程为y=t a n。x+2-t a n a,当 c o s。与时，/的直角坐标方程为x=l.(2)将1的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t的方程(l+S c o s-a)f2-M(2 c o s a-s i n a)t-8=Q.因为曲线C 截直线/所得线段的中点(1,2)在 C内，所以有两个解，设为力，船 则tt.又由得“衿号竽+产 故 2 c o s a&n。于是直线/的斜率k t a n ”2l+3 c o s 2 a【方法归纳】求解坐标系与参数方程的综合题需注意：(1)将曲线方程与点的坐标均化为直角坐标系下的方程或点的坐标；(2)利用参数方程中参

29、数t的几何意义,结合根与系数的关系求解；(3)在极坐标系中利用极径或极角的几何意义进行求解.2 3 .【考查 目标】本题主要考查绝对值不等式的解法、三角绝对值不等式的性质,考查的核心素养是逻辑推理、数学运算.【解题思路】（1）首先利用“零点分段法”将函数化为分段函数,然后解不等式即可；（2）利用三角绝对值不等式的性质求绝对值不等式的最值,建立关于a的绝对值不等式进行求解.【解析】当 a=l 时，2 x +-1,f（x）-2,-1 x 2.可 得 A x）的解集为*|-2 W 启 3./U）W1 等价于 I x+a+X-21 2 4.而 I x+a|+|x-2 1，|a+2/,且 当 时 等 号 成 立.故 1 等价于I a+2 1 2 4.由|a+2 1 24可得a W 6 或 a 2.所以a的取值范围是（-干-g u 2,+）.【方法点拨】绝对值不等式的常见解法有：利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想.