确定圆的条件-2022年新九年级数学暑假课（苏科版）（解析版).pdf

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1、第05讲确定圆的条件G【学习目标】1 .了解三角形的外接圆与外心相关概念，2.探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆；0【基础知识】确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆.注意：这 里 的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能 画 一 个 圆.“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆.二.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆.（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分

2、线的交点，叫做三角形的外心.（3）概念说明：“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点.锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部.找一个三角形的外心，就是找一个三角形的三条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个.W【考点剖析】一.确定圆的条件（共 5 小题）1.（20 22石家庄模拟）下列条件中不能确定一个圆的是（）A.圆心与半径 B.直径C.三角形的三个顶点 D.平面上的三个已知点【分析】根据不在同一条直线上的三个点确定一个圆，直接进行判断即可.【解答】解：A、已知圆心和半径能确

3、定一个圆；8、已知直径能确定一个圆；C、己知三角形的三个顶点，可以确定一个圆；平面上的三个已知点不能确定一个圆.故选：D.【点评】本题主要考查了确定圆的条件，属于基础题型.注意分类讨论的思想的运用.2.（2021秋东光县期中）经 过 两 点 可 以 做 无 数 个 个 圆,不 在 同 一 直 线 的 三个点可以确定一个圆.【分析】经过两点可以做无数个个圆，不在同一直线的三个点可以确定一个圆.【解答】解：经过两点可以做无数个个圆，不在同一直线的三个点可以确定一个圆.故答案为：无数个，三.【点评】本题考查r 确定圆的条件及确定直线的条件，属于基础题，比较简单.3.（2021秋龙凤区期末）小明不慎把

4、家里的圆形镜子打碎了，其中四块碎片如图所示，为了配到与原来大小一样的圆形镜子，小明带到商店去的一块碎片应该是（）A.第一块 B.第二块 C.第三块 D.第四块【分析】要确定圆的大小需知道其半径.根据垂径定理知第块可确定半径的大小.【解答】解：第块出现一段完整的弧，可在这段弧上任做两条弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长.故选：A.【点评】本题考查了确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心.4.（2022江岸区模拟）如图，已知平面直角坐标系内三点A（3,0）、B（5,0）、C（0,4）,O P 经过点A、B、C,则

5、点P 的坐标为（）A.(6,8)B.(4,5)/3 1、C.(4,)8,3 3、D.(4,)8【分析】根据题意可知点P的横坐标为4,设点P的坐标为（4,y）,根据以=PC列出关于y的方程,解方程得到答案.【解答】解：OP经过点4、B、C,点尸在线段A8的垂直平分线匕 点P的横坐标为4,设点。的坐标为（4,y）,作尸E J _ O 3 于 E,P F _ L O C 于尸,由题意得,J42+(y-4 =J/+y2,解得，y=f，O故选：C.【点评】本题考查的是确定圆的条件，解题的关键是理解经过不在同一直线上的三点作圆，圆心是过任意两点的线段的垂直平分线的交点.5.（20 21 秋潜山市期末）在平

6、面直角坐标系中有4,B,C三点，A （1,3）,B （3,3）,C （5,1）.现在要画一个圆同时经过这三点，则圆心坐标为（2,0）.【分析】根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，该圆圆心在三点中任意两点连线的垂宜平分线上,据此及勾股定理可列式求解.【解答】解：V A (1,3),8 (3,3),C (5,1)不在同一直线上二经过点A,B,C可以确定一个圆,该圆圆心必在线段A 8的垂直平分线上 设圆心坐标为M(2,?)则点M在线段B C的垂直平分线上：.M B=M C由勾股定理得：7(2-3)2+(m-3)2=7(2-5)2+(m -l)2 +nr-6/M+9=9+/M2-2m+1*m=0 圆

7、心坐标为M(2,0)故答案为：(2,0).【点评】本题考查了确定圆的条件，明确不在同一直线上的三点确定一个圆及圆心在这三条线段的垂直平分线的交点上，是解题的关键.二.三角形的外接圆与外心(共7小题)6.(2022富阳区一模)如图，。0是 A B C的外接圆，则点。是A A B C的()B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三角形三内角角平分线的交点【分析】根据三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，进而得出答案.【解答】解：是 A B C的外接圆，.点。是 4 8 C的三条边的垂直平分线的交点.故 选:B.【点评】此题主要考查了三角形的外接圆与外心，正确

8、把握外心的定义是解题关键.7.（2021秋兴化市期末）已知正三角形的边长为1 2,则这个正三角形外接圆的半径是（）A.27 3 B.p C.3 i/3 D.4 /3【分析】设正 A B C的中心为O,过。点作垂足为D,连接0 8,把问题转化到R O B。中求0 B即可.【解答】解：如图，连接0 B,作。O L B C,；B C=1 2,；.8 Z)=婀=；X 1 2=6,.A B C是等边三角形,.208 0=3 0,二 8=端5 =40 B.T故选：D.【点评】本题考查了正多边形和圆.关键是画出正三角形及其中心，表示正三角形外接圆的半径，把问题转化到直角三角形中求解.8.（2022邯山区模拟

9、）如图，在平面直角坐标系中，A A B C为直角三角形，Z A B C=90 ,A B L x轴，M为R t ZV I B C的外心.若点A的坐标为（3,4）,点M的坐标为（-1,1）,则点8的坐标为（）-2)C.(3,-3)D.(3,-4)【分析】设。（7,），利用直角三角形的外心为斜边的中点，根据线段的中点坐标公式得到-1=m+321=嘤，求出?、”得到点C 的坐标为（-5,-2）,由于AB_Lx轴，BCx 轴，从而得到8 点坐标.【解答】解：为 RtZVIBC的外心，.M点为4C 的中点，设 C（2,九），点A 的坐标为（3,4）,点 M 的坐标为（-1,1）,m+3 1 n+4=，1

10、=，2 2解得 m=-5,n=-2,.点C 的坐标为（-5,-2）,V ZABC=90,A8_Lx 轴，；.8Cx 轴，点坐标为（3,-2）.故选：B.【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：二角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心；锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部.也考查了坐标与图形性质.9.（2021秋无锡期末）如图，正三角形ABC内接于。0,的半径为厂，求这个正三角形的周长和面积.【分析】连接 08、O C,作 ODJ_8C 于 Q,则NOZ）B=90,B D=C D,NO8c=30,由含 3

11、0 角的直角三角形的性质得出O O,由勾股定理求出3。，得出BC,ASC的面积=3以。蛇，即可得出结果.【解答】解：如图所示：连接 08、O C,作 OO_LBC 于。，则2 008=90,BD=CD,/O 8C=30,1 1:.OD=OB=i/-,BD=yJOB2-O D2=孕，：.BC2BD=V3r,即正三角形ABC边长为百八正三角形ABC周长为3遍 r.二 AABC 的面积=3SAO“=3X|xfiCX 0Z)=3x 1 x x/3rx%=季 产.2 2 2 4 正三角形M C 面积 为 乎 B【点评】本题考查了等边三角形的性质、垂径定理、勾股定理、三角形面积的计算；熟练掌握正三角形和圆

12、的关系，并能进行推理计算是解决问题的关键.10.（2022沈河区校级模拟）如图，XABC是。0 的内接三角形，ZC=45,A B=6,则。0 的半径长A.x/2 B.2y/2 C.3y/2 D.4/2【分析】连接04,0 B,可得N4OB=90,进而利用等腰直角三角形的性质解答即可.【解答】解：如图，连接OA,0B,；/AC8=45,：.ZAOB=2ZACB=90a,：OA=OB,.AOB是等腰直角三角形，在 RtZQ48 中，O/+o解二人解，AB=6,：.20=36,.*.04=30,即0 0 的半径是3 0,故选：C.【点评】此题考查三角形外接圆与外心，关键是根据圆周角与圆心角的关系得出

13、NAO8=90.11.（2022福州模拟）如图，/XABC内接于。0；NA=30,过圆心。作 0 C B C,垂足为。.若。的半径为6,求。力的长.【分析】先证BOC是等边三角形，可得0 B=0 C=B C=6,由勾股定理可求解.【解答】解：如图，连接08,0C,V ZB 0C-2ZA,N A=3 0,/.Zfi(9C=6 0,：OB=OC,.5 0C是等边三角形，O B=O C=B C=6,.ODIBC,:.BD=CD=3,在 R t A O D B 中，O D=JOB 2-BD 2=,3 6 9=3 g.【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，等边三角形的性质，勾股定理等知识，掌握圆周角定

14、理是解题的关键.1 2.(2021秋海淀区期末)如图，A B C内接于。0,高A D经过圆心O.(1)求证：A B=A C；(2)若B C=8,。0的半径为5,求A A B C的面积.【分析】(1)根据垂径定理得 到 前=前，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理证明结论；(2)连 接O B,根据垂径定理求出B D,根据勾股定理求出O D,根据三角形的面积公式计算，得到答案.【解答】(1)证明：O Z)_ L B C,.前=前，：.AB=AC；(2)解：连接08,V OD1BC,BC=8,1 1：.BD=DC=ix 8=4,在 RtAODB 中，0D=JOB2-B D2=V52-42=3,.*.4Q

15、=5+3=8,ASAABC=1 X8X 8=32.【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握垂径定理、圆心角、弧、弦之间的关系定理是解题的关键.O【过 关 检 测】一.选 择 题（共 5 小题）1.（2020秋西林县期末）经过不在同一直线上的三个点可以作圆的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.无数【分析】不在同一直线上的三点确定一个圆.【解答】解：经过不在同一直线上的三点确定一个圆.故选：A.【点评】本题考查的是圆的确定，过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆,过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆.2.（2021秋闵行区校级期中）下列说法

16、正确的个数有（）平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也相等；等弧所对的圆心角相等；过三点可以画一个圆.A.1 B.2 C.3 D.4【分析】根据垂径定理，圆心角、弧、弦的关系以及确定圆的条件进行逐个判断即可.【解答】解：平分弦（弦不是直径）的直径，平分这条弦所对的弧，说法错误；在等圆中，如果弦相等，但它们所对的弧不一定相等，说法错误；等弧所对的圆心角相等，说法正确；过不在同一直线上的三点可以画一个圆，说法错误.综上所述，正确的说法有1 个.故选：A.【点评】本题考查的是垂径定理，圆心角、弧、弦的关系及确定圆的条件，在解答此类问题时要注意只有在同圆或等圆中，等

17、弧所对的圆心角、弦、弦心距都分别相等.3.（2021秋泗阳县期末）下列说法正确的是（）A.一个三角形只有一个外接圆B.三点确定一个圆C.长度相等的弧是等弧D.三角形的外心到三角形三条边的距离相等【分析】根据三角形的外接圆、等弧的定义、三角形外心的性质判断即可.【解答】解：A、任意三角形都有且只有一个外接圆，正确，本选项符合题意；B、不共线的三点确定一个圆，原说法错误，本选项不符合题意；C、长度相等的弧不一定是等弧，原说法错误，本选项不符合题意；。、三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，本选项不符合题意.故选：A.【点评】本题考查了三角形的外接圆、等弧的定义，熟练掌握圆的有关概念是

18、解题的关键.4.（2021秋无锡期末）如图，在平面直角坐标系中，A（0,-3）,B（2,-1）,C（2,3）.则4 4 3。的外心坐标为（)1)12D2C【分析】首先由 A B C 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作A8与 B C的垂线，两垂线的交点即为AABC的外心.【解答】解：如图，根据网格点。即为所求.F Z X A B C 的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，尸与MN的交点0即为所求的aABC的外心，.A B C 的外心坐标是（-2,1）.故选：D.【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心，坐标与图形性质.注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点.解此

19、题的关键是数形结合思想的应用.5.（2 0 2 1 秋江北区期末）如图，在等边 A B C 中，A B=4,点。为 AB的中点，动点E、尸分别在4 0、8c上，且 EF=2g,作aBEF的外接圆。0,交 AC于点G、H.当动点E从点。向点A运动时，线段A.一直不变C.先变小再变大B.一直变大D.先变大再变小【分析】由等腰三角形的性质可求ON=1,F O=O B=G O=O H=2,则点。在以点B为圆心，2为半径的圆上运动，由勾股定理可求G”=2,4。尸2,即可求解.【解答】解：如图，连接BO,E0,F0,GO,H 0,过点。作ON_LEF于M O P 1 G H P,ABC是等边三角形，.NA

20、8C=60,：.ZEOF=20,OE=OF,0N1EF,：.Z O E F Z O F E=3 0Q,E N=F N=麻：.0F=20N,F N=p O N,：.0N=l,FO=2,：.O B=G O=O H=2,.点。在以点8为圆心，2为半径的圆上运动，V0 G=0 H,0 P L G H,:.GH=2PH,:P H=/0H 2-O P 2=的长.【分析】（1）根据角平分线的性质得到/4 8/=/C B/,由等腰三角形的性质得到/E B/=N E/8,通过三角形外角的性质和圆周角定理即可得到结论；（2）由AB是。的直径，得至IJAELBE,推出。/B E,根据三角形的中位线的性质得到A/=/

21、E=BE,nr BE推 出A E=2 B E,根据相似三角形的性质得到=求 得BE=2,DE=,AE=4,AD=3,BE AE 2由Ar BE于ACOs/XBOE,得到一=一=2,根据勾股定理即可得到结论.CD DE【解答】解：（1）平分/ABC,：./ABI=/CBI,：EB=E1,:./E B I=/E IB,:NEBI=NBAI+/IBA,NEBI=NIBC+NCBE,:.NBAE=NCBE,：ZCBE=ZEACf NBAE=NCAE,E 平分N8AC：(2)AB是。的直径，：.AEBE.:0I1AE,：.01 BE,：AO=BO,:AI=IE=BE,:AE=2BE,:NEBC=/BAE

22、,AABDEAABE,.DE BE 1,*BE A E 2:BD=V5，：.BE=2,DE=1,：.AE=4,.4O=3,.AC BE =2,CD DE:.CD2+AC2=AD2,即 CD2+(2CD)2=9,.co=等.5A【点评】本题考查了三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理，三角形外角性质，等腰三角形的性质，能正确作出辅助线并求出4 E=2 3 E是解此题的关键，有一定的难度.9.（2 0 2 2春诸暨市校级月考）（1）请借助网格和一把无刻度直尺找出 A B C的外心点O；（2）设每个小方格的边长为I,求出外接圆。的面积.【分析】（1）根据三角形的外心是三边垂直平分线的交点作出点O

23、；（2）根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的面积公式计算，得到答案.【解答】解：（1）如图所示，点。即为所求；（2）连接0 8,由勾股定理得：0B=+/=g,外接圆。的面积为：n X （何）2=1 01 T.【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握三角形的外心的概念、熟记圆的面积公式是解题的关键.1 0.(2 0 2 1 秋曹县期中)如图，。是 A B C 的外接圆，A O _ L B C 于点。，圆心。在 40上，A B=1 0,8 c=1 2,求00的半径.【分析】连接08,根据垂径定理首先求得8。的长，根据勾股定理求得4。的长，可以设出圆的半径,在直角三角形0 8。中，利用勾股定理即

24、可列方程求得半径.【解答】解：如图，连接。艮：A D是 A 5 C 的高.8。=婀=6,在 中，A D=yjAB2-B D2=A C),ADLBC于点D,B E L(2)如图2,连接0 A,若。4=用，AC=BF,求/。4 力的大小.【分析】(1)如图1 中，作。的直径C M,连接A M,BM.利用勾股定理求出A M,证明四边形A 仞 8 尸是平行四边形即可解决问题.(2)如图2中，作。的直径C M,连接A M,B M,设AO交CM于/.证明A O _L C M.推出N O 4 O=NBCM,解直角三角形求出/BCM即可解决问题.【解答】解：(1)如图I中，作OO的直径C M,连接A M,BM

25、.图1：CM是直径，：.ZCAM=ZCHM=90,：CM=1,A C=1 5,：.AM=yjCM2-A C2=4 7 2 1 5 2 =8,：ADCB,BELAC,ZADC=ZMBC90,NBEC=NMAC=90,J.AD/BM,AM/BE,四边形AMBF是平行四边形，：.BF=AM=S；(2)如图2中，作0 O的直径C M,连接AM,B M,设AO交CM于/由（1）可知四边形AM8F是平行四边形,：.AM=BF,AF=BM:AC=BF,：.AC=AM,NM4C=90,MO=OC,O_LCM,V/4D1SC,A ZAOJ=ZCDJ=90,ZAJO=ZCJD,：.ZDCJ=ZJAO,:AF=OA,AF=BM,：OA=BM,:.CM=2BM,V ZCBiW=90,AsinZBCM=?=lCM 2：.ZBCM=30Q,：.ZOAD=ZBCM=30.【点评】本题考查了圆周角定理，平行四边形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型.