突破2023年高考数学题型之解密2022年高考真题34 立体几何中二面角的计算问题(解析版).pdf

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1、专题3 4 立体几何中二面角的计算问题【高考真题】1.(2 0 2 2 新高考I 卷)如 图，直三棱柱A8 C-AM G 的体积为4,的面积为2 夜.(1)求 A到平面ABC 的距离；(2)设。为 AC 的中点，AA=A B,平面A B C_L 平面,求二面角A 必 C 的正弦值.1.解 析(I)在直三棱柱ABC-45G 中，设点A到平面ABC 的距离为，则 VA-A,BC=g SjC /=h=VA _A B C=1 s“8c ,A A =；VABC-C,=g,解得/?=a 所以点A到平面48 c的距离为 应；(2)取 AB的中点E,连接AE,如图，因为4A=AB,所以4 七，4 百，又平面A

2、 I8C_L 平面A 网 A ,平面48 C A平面A 8B 1 4 =AtB,且AE u 平面A B B|A，所以A，平面A B C,在直三棱柱A B C-4 8 1 G 中，B B _L 平面A B C,由 3C u 平面 A B C,3C u 平面 A 8 C 可得 A E_L B C,BC,又A E,B 8|U 平 面 且 相 交，所以8 C L平面A B 8|A，所以BC,%两两垂直，以B为原点，建立空间直角坐标系，如图，由(1)得 A E=x/,所以 A 4 j=A B =2,=2 J5 ,所以 8c =2 ,则 A(0,2,0),A(0,2,2),B(0,0,0),C(2,0,0

3、)，所以 的中点 D(1,l,1),则 B D =(1,1,1),B A =(O,2,O),B C=(2,0,0),一，.m-B D=x+y+z=0 .设平面ABO的一个法向量m=(x,y,z),贝()_-,可取机=(1,0,-1),m-B A =2y=0.B D =a +b +c =0 _.、设平 面 加C的一个法向量=(a,b,c),贝匹_ _ ,可取=m-B C=2a =0则8 s限正向南=目1 =表 所 以 二 面 角A-即-。的 正 弦 值 为 网 牙=4-2.(2 0 2 2新高考II卷)如 图，PO是三棱锥P-A8 C的高，PA =PB,A B r A C,E是PB的中点.(1)

4、证明：O E平面P1C；(2)若/4 B O=NCB O=3 0 ,P O=3 ,PA =5,求二面角 C A E 8 的正弦值.2.解 析(1)连接8 0并延长交AC于点。，连接。4、PD,因为PO是三棱锥P ABC的高，所以P OJ_平面A 8C,4 9,8。=9 0 ,Z O S A+Z O D A =90,所以 N O Z M =N O W所以A O =,即AO=QO =O B,所以。为的中点，又E为尸8的中点，所以OE/P Q,又O E U平面R 4 C,PD u平面P4C,所以O E平面R 4 c(2)过点A作4 z/OP,如图建立平面直角坐标系，因为尸0=3,AP=5,所以OA

5、=尸2-尸。2 =4，又 N OB A =N O B C =3 QP,所以 8 0 =204=8,则 AO=4,A B =4 3 ,所以 AC=1 2,所以 0（26,2,0）,4 4 6,0,0）,P（2石,2,3）,C（0,12,0）,所以 E（30,1 弓则 荏=(3出,1 3)，而=(4 6,0,0),衣=(0,12,0),设平面A E B的法向量为=(x,y,z),则=3&+y+?=。,令.2,则尸3,x=0,n-A B =4 y/3 x=0所以 3=(0,-3,2)；设平面AEC的法向量为机二 (a,b,c),则玩荏=33+万+*=0,令”6则C j,，m-A C=l 2b =0所

6、以m=(6,0,-6)；所以 COS（%2n t n-124 G|?i|w|x/13 x5/3913，设二面角C-AE-B为6,由图可知二面角C-AE-5为钝二面角,所以cos0=-短，所以s in J l-c o s 2，=Z，故二面角C-A E-8 的正弦值为13 13 13【方法总结】1.二面角(1)如图，A B,C 3 是二面角a T 一 的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小6=.(2)如图，小，”2分别是二面角a 一/一 尸的两个半平面a,万的法向量，则二面角的大小。满足|cos0|=|cos,二面角的平面角大小是向量功与2的夹角(或其补角).2.平面与平面的夹角如图，平 面a

7、与平面夕相交，形成四个二面角，我们把四个二面角中不大于90。的二面角称为平面a与平面尸的夹角.若平面a,/?的 法 向 量 分 别 是 和“2,则平面a与平面”的夹角即为向量小和2的夹角或其补角.设平面a与平面 的夹角为仇 则cos9=|cosi，借.3.利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小；(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.【题型突破】1.(2020全

8、国in改编)如图,在长方体中,点、E,1分别在棱国h，B以 上，且2。丘=皿,BF=2FBi.(1)证明：点C i在平面A E F内；(2)若A8=2,AD=,A A i=3,求平面A E F与平面E/小夹角的正弦值.1.解析设ADb,AAc,如图以C i为坐标原点，G O T,石 针，部 的 方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz.连接 G F,则 CKO,0,0),A(a,b,c),E(a,0,|c),F(0,b,；c),或=(0,b,例，&力=(0,b,例，所以以=下 了，所以E 4 GF,即A,E,F,G四点共面，所以点C i 在平面4 E F 内.(2)由已知得

9、 A(2,1,3),(2,0,2),F(0,1,1),A i(2,1,0),则战=(0,-1,-1),#=(-2,0,-2),屣=(0,-1,2),7 =(-2,0,1).H r A&=0,设1=(为，y i,z i)为平面AE 尸的法向量，则即可取 m=(1,1,1).1.=0,设 2=(X2,)%Z2)为平面4 E/7的法向量，贝？7=0,同理可取“2=6，2,1).因为 c o s =i=7，所以平面AE/7与平面EFA 夹角的正弦值为当1_y LZi=0,2x j 2z i=0,-y 2+2z 2=0,2%2+Z2=0,2.(20 19 全 国 II)图 1是由矩形AO E B,R t

10、 ZVIB C 和菱形8 F G C 组成的一个平面图形，其中AB=1,B E=B F=2,N F B C=6 0.将其沿AB,8 c折起使得B E 与 8尸重合，连接。G,如图2.(1)证明：图 2 中的A,C,G,。四点共面，且平面AB C J平面B C G E；(2)求图2 中的二面角B-C G-A的大小.F G B C图 I 图22.解 析(1)由已知得 A 8E,C G/B E,所以 4 O C G,所以A。，CG 确定一个平面，从而A,C,G,。四点共面.由已知得 A B A.B C,1.B EPi B C B,所以 AB J_平面 8C GE.又因为A 8 u 平面A B C,所

11、以平面AB C J_平面B C GE.(2)作E H 1.B C,垂足为.因为 E u 平面B C G E,平面B C GE _L平面A B C,平面8 C G E D 平面A B C B C,所以 7/1.平面A B C.由已知，菱形B C G E 的边长为2,Z E B C=6 0,可求得B 4=l,E H=4以H 为坐标原点，讹 的 方向为x 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hpz,则 A(-l,1,0),C(l,0,0),G(2,0,小)，C&=(1,0,小)，祀=(2,I,0).C&-M=0,设平面ACGO的法向量为=(x,y,z),则 _即 卜 十 八=0,2xy=0.所以

12、可取n=(3,6,一小).又平面8CGE的法向量可取m=(0,1,0),所以cos=尚 裾=坐.因此二面角BCGA 的大小为30.3.(2019全国H)如图，长方体ABCD-AIBICQI的底面4BCD是正方形，点 E 在棱A 4 上，BElECi(1)证 明:BE_L平 面 破 1G；(2)若 4 E=A|E,求二面角8 E C-G 的正弦值.3.解 析(1)由已知，得平面ABBIAI,由于BEu平面A8BA,故 8cl_LBE.X BElECi,B C E C C,所以 BELL平面 EBiG.(2)由(1)知NBE8|=90。.由题设知 RtAABEZRsAiBiE,所以NAE8=45。

13、，AE=AB,AAt=2AB.以。为坐标原点，次 的 方向为x 轴正方向，反 的 方向为y 轴正方向，初 的方向为z 轴正方向，|用|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则 C(0,1,0),B(l,1,0),C|(O,1,2),E(l,0,1),所以仍=(1,0,0),Cfe=(l,-I,I),CCt=(0,0,2).设平面E B C 的法向量为=3，yi,Z1),则 品1=0,Ckn=O,X|yi+zi=O,所以可取n=(0,-1,-1).C C|,77l=O设平面E C C 的法向量为?=(X2，yiy Z2),贝 小2z2=0fC fem=O,、九 2一 +Z2=O,所以

14、可取勿=(1,1,0).于是c o s ，加=而而=.所以二面角B-E C-C i的正弦值为坐.4.(20 19 全国I 改编)如图，直四棱柱A 8 C D 4 8 1 G 口 的底面是菱形，A 4=4,AB=2,ZBAD=60,E,M,N 分别是B C,BBi，A。的中点.(1)证明：M N 平面GO E;(2)求平面A M A i 与平面M A N 夹角的正弦值.4.解 析(1)如图，连接8C,M E.因为M,E分别为B E,BC的中点,所以M E B C,且又因为N 为A Q的中点，所以ND=4 i。.由题设知 且 4Bi=OC,可得 8i C 4。且 81c=40,故 ME ND 且

15、M E=N D,因此四边形M N DE为平行四边形，M N/E D.又 M N u平面C Q E,E D u 平面GO E,所以M N平面GDE.(2)由已知可得以。为坐标原点，箱 的 方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyzy则 A(2,0,0),4(2,0,4),A f(l,小,2),很(1,0,2),初 二(0,0,-4),项=(一 1,小，-2),7?=(-1,0,-2),两=(0,-小，0).mAiM=0,设z =(x,y,z)为 平 面 的 一 个 法 向 量，则，,mA|X=0,f-x+d5y_ 2z=0,广所以j_ 4 _0.可得m=(小，1,0).“疝=U,设=

16、(p,q,r)为平面4 M N 的一个法向量，则 n 4 H=0,所以y3q=0t可取=(2,0,1).-p-2 r=0,于是 cos/n,m n 2 s y5心=丽=2、3=5所以平面A MA与平面M A N夹角的正弦值为丐25.(2020全国I )如图，。为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD.zMBC是底面的内接正三角形，P 为。上一点，P O=(1)证明：出_1 _ 平面P8C；(2)求二面角B-P C-E的余弦值.5.解 析(1)设。O=a,由题意可得尸0=手，AO=-a,AB=a,PA=P B=P C=a.因此以2+P B2=A，从而以_LP 又%2+P0

17、2=A C2,故 以 _LPC.又 PBCPC=P,P B,尸 C u平面 P B C,所以以_L(2)以。为坐标原点，定的方向为y 轴正方向，|南|为单位长度,题设可得 E(0,1,0),A(0,-1,0),一坐，0),月(0,所以爱=(一半，一；，0),用=(0,1,平，mEP=G,设?=(x,必 z)是平面PCE的法向量，则J 即lm-EC=0,可取,*=(一乎，1,啦).由(1)知各=(0,1,坐)是平面PC 8的一个法向量，记=刀贝 U cosnm 5,所以一面角8 一夕。一后的余弦傕6.(2021全国新H)在四棱锥。一ABC。中，底面ABC。是正方形(1)证明：平面平面ABC。；(

18、2)求二面角B-Q D-A 的平面角的余弦值.6.解 析(1)取 AO的中点为0,连接Q。，CO.因为 QO=QA,O D=O A,贝 Q0_L4。，而 4。=2,。4=小在正方形A8CZ)中，因为A=2,故。=1,故 CO=小，因为。C=3,故 Q O 2+O G=Q C S故 QOC为直角三角形且因为OCnAQ=。，故 QO_L底面A B C O.因为QOu平面QAD(2)在平面ABCD内，过。作 OTC。，交BC于T,则 OT_Lf a PBC.p建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由0,乎).一)+冬=0,35=0.L为 唔，,若 AO=2,Q D=Q A=6 QC=3.;故。=51

19、=2,QOOCf,故平面QAD_L底面ABCDA。，结合(1)中的。0_1_平面A B C D,故可建如图所示的空间坐标系.则 0(0,1,0),Q(0,0,2),BQ,-1,0),故 苑=(2,1,2),粉=(2,2,0).血=0,f-2x+y+2z=0,设平面0 8 0 的法向量=(x,y,z),贝 好 即I,八 八U t =。，2y=6不妨设x=l,可得=(1,1,2).而平面QA。的法向量为/n=(l,0,0).故 cos*nllnlm制-2-3-3-21X2二面角8 Q O-A 的平面角为锐角，故其余弦值为宗7.(2021全国乙)如图，四棱锥PABC。的底面是矩形，底面ABC。，P

20、D=D C=1,M 为 BC的中点，且 求B C；(2)求二面角A-P M-B的正弦值.7.解析 连 结 8。，因为尸OJ_底面A 8C O,且 AMu平面ABCD,贝又 PBCPD=P,P B,尸。u平面 P8。，所以4M_1平面P B D,又 BOu平面P B D,则A M L B D,所以 NA8O+NDAM=90。，又 NZMM+NMA8=90。，则有所以 RSDABSRIAABM,则 第=黑，所以;B C 2=1,解得Ab L)M 1 vzP,(2)因为D4,DC,DP两两垂直，故以点。位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示,贝 A(g，0,0),B(巾,1,0),M(乎，1,0),P

21、(0,0,1).所以#=(一 45,0,1),减=(一乎,0),丽=(-乎,0,0).前=(一啦，-1,1)设平面4M p的法向量为=(x,y,z),则有w-A=0,-y/x+z=O,令 工=表，则y=l,z=2,故=(6,1,2),设平面BMP的法向量为?=(p,q,r),则有/肱=0,m前=0,一半p=o,、-y2p_ q+r=0.,即1令 4=1,则 r=L 故加=(0,1,1),所业 w以 cos=而-而 一 赤3石=1 4.设二面角A P M B的平面角为a,则 s in a=所以二面角A-P M-B的正弦值为 唔.8.(2018 全 国 HI)如图，边长为2 的正方形ABCD所在的

22、平面与半圆弧也所在平面垂直，M 是 无 上 异于 C,。的点.(1)证明：平面AMO_L平面BMC；(2)当三棱锥M-A B C体积最大时，求面M A B与面M C D所成二面角的正弦值.8.解 析(1)由题设知，平面C M C 平面ABCD,交线为CD.因为 8C_LCO,8Cu平面 4 8 8,所以 8CJ_平面 CM。，故 BC_LOM.因为M 为无 上异于C,的点，且。C 为直径，所以。M L CM.又 8C flC M=C,所以。例J_平面8W C.而 DWu平面AM。，故平面平面8MC.(2)以。为坐标原点，福 的 方向为x 轴正方向，求 的 方向为y 轴正方向，建立如图所示的空间

23、直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M 为0)的中点.由题设得力(0,0,0),42,0,0),8(2,2,0),C(0,2,0),M(0,I,I),破=(-2,I,1),=(0,2,0),次=(2,0,0).磁=0,2x+y+z=0,设=(x,y,z)是平面M 48的法向量，贝 K 即J 可取”=(1,0,2).”.就=0,=房 是平面MCO的一个法向量，因此，cos=坐 sinE=2EA,且二面角 一8。一。的大小为45。,求三棱锥A-BC的体积.9.解 析(1)因为。为8。的中点，所以A0_L8。，又平面A8Z)_L平面B C D,平面ABOn平面BCD=BD,AOu平面BC

24、D,所以AO_L平面B C D,又 CDu平面B C D,所以OA1.CD；z 取 o n 的中点尸，因为。为正三角形，所以CFLOD,过。作 OM/CF与BC交于点M,则 OM_LOO,所以OM,OD,OA两两垂直，以点。为坐标原点，分别以OM,OD,为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，则 8(0,1,0),C(2 1,0),0(0,I,0),设 A(0,0,/),则 E(0,1,y),因为。4,平面B C D,故平面BC。的一个法向量为次=(0,0,r),设平面8CE的法向量为”=(x,y,z),又 就=(坐，0),碇 1=(),*y),贰=0,I 多丫一m=0,2所以由j

25、 得J 令 x=XO A=(X坐、1=乎.10.(2021 全国甲)已知直三棱柱A8CA jB iG 中，侧面44山归为正方形，AB=BC=2,E,F 分别为AC和 C G 的中点,。为棱AiBi上的点，B F LA B.(1)证明：HFLDE-,(2)当 8。为何值时，面 BBiGC与面OFE所成的二面角的正弦值最小？1 0.解 析(1)连接A F,：E,尸分别为直三棱柱A B C 48c l的棱AC和 CC的中点，且A 8=8 C=2,C F=1,BF=A B/A B,：.B FA B,:.A F=7 A B 2+B F2=7 2 2+郃)2=3,A C=yjA F2CF?=7 3 2 F

26、=2 巾,：.A B2+B C2=A C2,即 B A r B C.故以B为原点，B A,B C,3 8 1 所在直线分别为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(2,0,0),8(0,0,0),C(0,2,0),E(l,1,0),尸(0,2,I),设 BQ=m,则拉，0,2),.祥=(0,2,1),I,-2),:济 我=0,：.B FD E.(2)；A 8 _ L平面 B B i G C,.平面 8 B 1 G C 的一个法向量为，=(1,0,0),由知，D fe=(l-z w,1,-2),防=(一 1,1,1),/i-D =0,f(1 m)x+y 2 z=0,设 平 面 的 法

27、 向 量 为 =(x,y,z),则有，即，I”.肆=0,J x+y+z=o.令 x=3,则 y=/%+l,z=2 故=(3,ZH+1,2m ),诉 r/_ mm _ 3 3C m I川 ，9 +(m+1+(2 m)2 ，2-2 2+1 4所以当切=(时，面 B B i G C 与面D F E 所成的二面角的余弦值最大为由，此时正弦值最小为坐.1 1.(2 0 2 1 北京)已知正方体A B C。-AIBIGOI,点 E为中点，直线3G交平面C 0 E 于点F.(1)证明：点 F为 的 中 点；若点M 为棱43上一点，且二面角M-CF-E的余弦值为小，求 修 的值.I I.解析 如图所示，取 8

28、 1 cl 的中点9，连结OE,EF,FC,由于A B C O-为正方体，E,k为中点，故 E 尸C。,从而E,F,C,D,四点共面，所以平面CDE即平面C Q E 9,据此可得，直 线 交 平 面 C Q E 于点产，当直线与平面相交时只有唯一的交点，故点尸与点尸重合，即点F为丛C 中点.（2）以点。为坐标原点，DA,DC,D D ,方向分别为x轴，），轴，z 轴正方形，建立空间直角坐标系Dxyz,不妨设正方体的棱长为2,则，M(2,2 2,2),C(0,2,0),F(l,2,2),E(l,0,2),从而，证=(一 2,2-2 2,-2),存 =(1,0,2),建=(),2,0),设平面MC

29、 77的法向量为2=（汨，y i,z i）,所以 7 砒=0,m-Cp=0,即 2 x +(2 2 z)y)2z 0,x i +2 z i=0,令 句=一 1,则平面M CF的一个法向量为，”=（2,占，D 用=0,设平面C F E 1 的法向量为=（工 2,2,Z2）,所以，n C p 0,即，2j2=0,K2+2Z2 =0,令 2 2=1,则平面C P E 的一个法向量为“=（2,0,-1）.从而”=5,|m|=j 5 +(y 4 j)2,|川=小,.n-m则，c o s=i1 q整理可得：（Z 1-=不 故 4=或（舍去）.12.如图所示的几何体由平面P E C F截棱长为2 的正方体得

30、到,其中P,C为原正方体的顶点，E,尸为原正方体侧棱长的中点，正方形4 3 C D 为原正方体的底面，G为棱3c上的动点.(1)求证：平面A P C _ L平面P E C F；(2)设 瑟 3 进(0 2.1),当2 为何值时，平面E F G与平面A B C D所成的角为加12.解 析(1)由已知可知，EB/FD,且 E B=F D,如图，连接8 0，则四边形E F Z J B 是平行四边形,C.EF/B D.,底面 A B C Q 为正方形，：.B D A C.底面 4 8 8,：.B D A P.又 A C n A P=4,.B O I.平面 A P C,：.E F L A PC.,：E

31、F u平面 P E C F,：.平面 A P C L 平面 PECF.(2)以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则 8(2,2,0),F(0,0,1),E(2,2,1),G(2,2-22,0),F =(2,2,0),G =(0,2九 1),m-F E=0,设 i=(x,y,z)是平面E F G 的法向量，故，jn-GE=0,x=y9z=2A yt即令 丁=-1,可得机=(1,-1,2，)为平面E F G 的一个法向量,而平面A B C O 的一个法向量为=(0,0,1).于是 c o s=|c o s尸/解得:尸率,又 0 2 1,6 ,13 .如图，已知直三棱柱 A B C 4S

32、 G 中，A 4 i=A B=A C=l,A B LA C,M,N,Q分别是CG，B C,A C的中点，点 P在直线4 B i 上运动，且4 =14 a 丘 引 0,1).(1)证明：无论入 取何值，总有A A/_ L平面P N Q；(2)是否存在点P,使得平面PMN与平面A 8 C 的夹角为6 0。？若存在，试确定点P的位置，若不存在,请说明理由.13 .解 析(1)如图，以A为坐标原点，A B,A C,A4所在的直线分别为x 轴、y轴、z 轴建立空间直角坐标系，则 4(0,0,0),4(0,0,I),B i(l,0,1),M(0,1,曲,0),Q(0,0),由否=储 曲=4 1,0,0)=

33、(九0,0),可得点P(2,0,1),所以丽=(；一九I，-1)饱=(一，一 1).又A=(0,1,，所以丽=o+g g=0,丽=o+；3=0,所 以 而，的，而 _ 1_ 丽，即4 W _ LP N,A M 1 P Q,又 P N C P Q=P,所以A M _ L平面P N Q,所以无论力取何值，总有A M _ L平面P N Q.即。，即1+=。，得守闻=0,任 一 2 +知一2=0,z=2_ 2A 令 x=3,所以=(3,1+2A,222)是平面PMN的一个法向量.取平面A 8 C 的一个法向量为,=(0,0,1).假设存在符合条件的点P,则|c o s|=1,化简得4 2214 4+1

34、=0,解得=7.j也 或2=?1+：很(舍去).7 3 由综上，存在点P,且当4尸=产 时，满足平面PMN与平面A B C 的夹角为6 0。.14 .已知在四棱锥 P A 8 C。中，平面尸D C _ L平面 A B C D,A D L D C,A B/CD,A B=2,D C=4,E 为 PC的中点，PD=PC,B C=2yf2.(1)求证：B E 平面用。；(2)若 P 8与平面A B C。所成角为4 5,点 P在平面A B C。上的射影为0,问：BC上是否存在一点F,使平面P O F 与平面以B所成的角为6 0。？若存在，试求点尸的位置；若不存在，请说明理由.14.解 析(1)取 P O

35、 的中点 H,连接 A H,E H,则 E H C ,EH=gc D,又 A B CD,A B=CD=2,：.EH/A B,且 E”=4 8,四边形A B E H 为平行四边形，故 8 E H A.又平面用。，A u 平面 出。，跳；：平面B 4 O.(2)存在，点?为 BC的中点.理由：.平面P Q C J _ 平面A B C。，P D=P C,作 P O J _ C,交 QC于点O,连接08,可知。为点P在平面A 8 C 3 上的射影，则N P 8 O=4 5。.由题可知。8,OC,O P 两两垂直，以。为坐标原点，分别以0 8,0 C,。尸所在直线为x 轴，y轴，z 轴建立空间直角坐标系

36、。一xyz,由题知 O C=2,BC=2 ：,O B=2,由 N P 8 O=4 5。，可知 O P=O B=2,：.P0,0,2),A(2,-2,0),8(2,0,0),C(0,2,0).设 F(x,y,z),B F X B C,则。-2,y,z)=2,2,0),解得 x=2 2A y=24,z=0,可知尸(2一2九 22,0),设平面以8 的一个法向量为/=(xi,zi),：就=(2,-2,-2),矗=(0,2,0),w-B 4=0,(2xi2y l 2zi 0,得 c 令 zi =1,得加=(1,0,1).7宿=0,尸设平面P O 尸的一个法向量为=(X 2,)*Z 2),：讲=(0,0

37、,2),存=(22九 2z,0),可知当尸为BC的中点时，两平面所成的角为6 0。.15.如图所示，在梯形A 8 C O 中，A B/CD,/B C Q=1 2 0。，四边形A C F E 为矩形，且 C F _ L平面A B C Q,A D=C D=B C=C F.(1)求证：E F _ L平面B C F；(2)点 M 在线段EF上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB与平面F C B 所成的锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值.1 5.解 析(l)设 A Z)=a =B C=l,JA B/CD,Z B C D=1 2 0 ,；.A B=2,：.AC2=AB2+BC22AB BCCOS 60

38、=3,：.A B2=A C2+B C2,贝 U B C _LA C.：C F _L平面 A 8 C O,A C u 平面 4 8 c O,：.A C CF,而 C 7 T lB C=C,CF,B C u 平面 3 C F,，A C _L平面 8 C F.：EF/A C,平面 8 C F.(2)以 C为坐标原点，分别以直线C A,CB,CF为x轴、y轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,设则 C(0,0,0),A 巾,0,0),B(0,1,0),M(A,0,1),；.磋=(一 小,I,0),肱=(九 -1,I).f/i-A=O,(一 3 x-y=0,设 =(x,y,z)为平面M 48的法向量，

39、由，得，“丽=0,U r-+2=0,取 x=l,则”=(1,T).易知所=(1,0,0)是平面F C 3 的一个法向量，._ _ 1_ 1_，COSn，心=丽=/+3+小 N x|=3p+4,02A/3,.,.当 2=0 时，c os 取得最小值乎，二当点M 与点尸重合时，平面M AB与平面F C B 所成的锐二面角最大，此时二面角的余弦值为乎.1 6.如图所示，正方形AAQ。与矩形A B C。所在平面互相垂直，4 8=2 4 0=2,点 E为 AB的中点.(1)求证：8 口平面AQ E；(2)设在线段AB上 存 在 点 ，使二面角LMC。的大小为专 求此时AM 的长及点E到平面AM C的距离

40、.1 6.解析 连接A。，交 4。于点0,；四边形A4Q Q 为正方形,二。是 的 中 点，.点E为AB的中点，连接0 E.E 0 为A 8。的中位线，：.E0/BD.又平面A QE,O E u 平面4OE,，引力平面A 0 E.(2)由题意可得。Q J _ 平面A B C C,以点。为原点，DA,DC,所在直线分别为x轴、y轴、z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系，则 0(0,0,0),C(0,2,0),A i(l,0,1),D i(O,0,1),8(1,2,0),E(l,I,0),设 M(l,y o.0)(0 y o 的一个法向量为 2=(),0,1).要使二面角n MC。的大小为去1 m

41、则l c os 兀6=|c oxs 尸 川川.出阿=42市2+F+2尸 曲2，解得 y o=2 一坐(O$y oW2),故 AM=2一坐，此时 1=停，1,2),DE(,1,1).T 7 _故点E到平面M C的距离为4=嚅 旦=品-=要.31 7 .(2 0 1 7 全国H)如图，四棱锥P A 8 C O 中，侧面以。为等边三角形且垂直于底面A 8 C D,A 8=B C=；AD,N B A O=/4 B C=9 0。，E是 的中点.(1)证明：直线C E 平面以8；(2)点 M 在棱P C上，且直线8M 与底面A B C。所成角为4 5。，求二面角例TB。的余弦值.p1 7.解析 取 出 的

42、 中点凡 连接E 尸，BF.因为E是 P O的中点，所以EFA D,EF=A D.由/B A )=N A 8 C=9 0。，得 B C A D,又 BC=%D所以EFJ 8C,四边形8 C E F 是平行四边形，CE/B F,又 B F u 平面B 4 8,C E C 平面用5,故 C E 平面附B.(2)由已知得84,40,以A为坐标原点，A B,AO所在直线分别为x轴，y轴，|初|为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系A x y z,则A(0,0,0),B(l,0,0),C(l,1,0),P(0,1,小),p t=,0,一小)，霜=(1,0,0).设 A/(x,y,z)(0 x l),则

43、 腑=(X1,y,z),PKl x,y 1,z 一木).因为BM 与底面A B C。所成的角为4 5。，而 =(0,0,1)是底面A 8 C O 的法向量,所以|c os|=s i n 45=A=,即(x l A+V z?：。.又 M 在棱P C上，设 丽=2 无，则x=2,-=l,z=小一小入.x=lx=l-乎,由解得j y=l,=_姐I2-2(舍去)或j y=l,lz-2 1所以M 1一坐，1,坐)，从 而 破=(i W，I,坐).设m(xo,jo,z o)是平面ABM的法向量，则，、m屈=0,J(2)x o+2 y o+#z o=0,1%0=0,所以可取加=(0,yb9 2),于是 c

44、os =嬴：；=.由图可知二面角MA B D是锐角，所以二面角M A B D的余弦值 为 1 8.如图所示的几何体中，四边形ABCO是等腰梯形，AB/CD,ZABC=60,AB=2BC=2C D,四边形DCEF是正方形,N,G 分别是线段AB,CE的中点.(1)求证：NG平面A。尸;(2)设二面角A-C D-F 的大小为,当。为何值时,1 8.解 析(1)法一 如图，设 C F 的中点为M,连接AM,GM,因为四边形。CEF是正方形，所以MGJ1CQ,又四边形A8C力是梯形，且 AB=2CD,ABC O,点 N 是4 8 的中点,所以A N jO C,所以M G jA N,所以四边形ANGM是

45、平行四边形，所以NGAM.又AMu平面AQF,NGC平面A Q F,所以NG平面AOF.法 二 如 图，连接NC,NE,A因为N 是 A 8的中点，四边形ABCD是梯形，A8=2C,AB/CD,所以AN.矮C Q,所以四边形ANC。是平行四边形，所以NCAO,因为AOu平面尸，NCC平面A D F,所以NC平面4。尸，同理可得NE 平 面 凡 又N C C N E=N,所以平面NCE平面AO凡因为NGu平面N C E,所以NG平面ADF.(2)设 C的中点为0,尸的中点为P,连接NO,O P,易得NO L C D,以点。为原点，以 0 C 所在直线为x 轴，以N。所在直线为y 轴，以过点。且与

46、平面A8CO垂直的直线为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.因为NO _LC O,O P _ L C O,所以N N OP是二面角A-CD-F的平面角,则N N OP=6,所以N P Oy=兀 一 仇 设 48=4,则 8 C=C D=2,则尸（0,2C O S（K-0）,2 s i n（7 t-9）,E（l,2 c os（兀一。）,2 s i n（兀 一。），C（l,0,0）,8（2,小，0）,设平面BCE的法向量为=（x,y,z）,则C=（0,2 c os（兀 一。），2 s i n（ju。），cS=（l,y3,0）,/i,C S 0,匚（xyf5 y=O,n-Ck=0 1 2 y c o

47、s（7 T 9）+2 z s i n（7 i:9）=0,因为。仔，y r）,所以 C O S（T T令 z=l,则 y=-t a n（兀 一。），犬=/t a n（兀 一夕），所以=（一小t a n（7 i J）,t a n（K0）,I）为平面BC E的一个法向量，又易知平面A C。的一个法向量为加=（0,0,1）,“j i n n 1所以 c os =7 7 7?=-“川I 川-j 4 t a n（7 i 0）+1由图可知二面角ABC-E为锐角，所以-/,1=尊，/4 t a i r（n 6）+1解得t a n 2（L）=3,又；6*兀，所以t a n（兀一逃=，,即兀一。=三，得。=专，所

48、以当二面角A C O一F的大小为争时，二面角AB C E的余弦值为 亭.1 9.已知三棱锥尸一A B C（如 图1）的平面展开图（如图2）中，四边形A8CD为边长等于啦的正方形，4 B E和 B C F均为正三角形.在三棱锥P-ABC中：证明：平面R 1C _ L平面A 8 C；（2）若点M在棱雨上运动，当直线BM与平面B 4 C所成的角最大时;求二面角P-BC-M的余弦值.19.解 析（1）如图，设AC的中点为。，连接。8,0P.由题意，得 M=P B=P C=巾,O P=O B=.因为在 P 0 8中，O P 2+O B 2=PB2,所以o p，。艮因为在抬C中，PA=P C,。为AC的中

49、点，所以。P _ L A C.因为A C C O B=O,A C u 平面A B C,O B u 平面A 8 C,所以。P J _ 平面A 8 C.因为O P u 平面以C,所以平面相C _ L 平面A B C.(2)由(1)知，O 8 _ L O P,由题意可得O B _ L 4 C,所以O 8 J _ 平面B 4 C,所以N8M。是直线8 例 与平面以C所成的角，且 tan/8M0=表,所 以 当 线 段 最 短，即 M 是 玄的中点时，N B M O 最大.由 0 _ 1_ 平面/18。，OBLAC,#OPLOB,OPLOC,O B 1O C,以。为坐标原点，O C,OB,O P 所在的

50、直线分别为x轴、y轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 0(0,0,0),C(l,0,0),8(0,1,0),4(1,0,0),P(0,0,1),A -1,0,),求=(1,-1,0),无=(1,0,-1),流=佚 0,一).m 就=0,设平面M8C的法向量为2 =3，y_ 得9z i),由，x j y i=0,3 x i z i=0,令内=1,得 y 1=l,z =3,即旭=(1,1,3)是平面M3C的一个法向量.设平面P 3 C 的法向量为=(X 2,竺，Z 2),由，炭=0,得，屁=0,冗 2力=。,X 2 Z 2 0,令及=1,得 V2=l,Z 2=l,即 =(1,1,1)是平